اثبات قضیه دو جمله ای، استقرای ریاضی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

یک روش روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، استقرای ریاضی است وقتی که n = 0 است ما داریم

$(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.$

برای گام استقرا فرض می کنیم که قضیه برای m درست، انگاه n = m + 1

$(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,$

$= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

$= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی