​

ما می دانیم که هر تابع یکنواخت مینیمم یا ماکزیمم مقدار خود را در نقاط انتهایی دامنه تعریف تابع در بدست می آورد. یک نتیجه جامع تر این است که "هر تابع پیوسته در یک بازه بسته دارای یک مقدار مینیمم و یک مقدار ماکزیمم است". نقطه بحرانی تابع f نقطه c در دامنه تابع f است که در آن f'(c) = 0 یا f مشتق پذیر نیست. همچنین، اگر f در c پیوسته باشد و f'(c) = 0، آنگاه یک

h > 0 وجود دارد به طوری که f در بازه (c – h، c + h) مشتق پذیر است. در این مقاله قانون کار برای یافتن نقاط ماکزیمم نسبی یا مینیمم های نسبی یعنی ماکزیمم و مینیمم را فقط با کمک مشتقات مرتبه اول یاد خواهید گرفت.

آزمون مشتق مشتقات یک تابع را برای تعیین نقاط بحرانی و نتیجه گیری اینکه آیا هر نقطه یک ماکزیمم نسبی، یک مینیمم نسبی یا یک نقطه زینی است، اعمال می کند. آزمون‌های مشتق، یعنی آزمون‌های مشتق اول و دوم نیز می‌توانند داده‌هایی در مورد تقعر توابع ارائه دهند. اکنون، اولین تعریف آزمون مشتق و نحوه استفاده از آن برای یافتن ماکزیمم یا مینیمم نسبی را مرور می کنیم .

آزمون مشتق اول چیست؟

آزمون مشتق اول خواص یکنواختی را بررسی می‌کند که نشان می‌دهد کجا افزایش یا کاهش می‌یابد، با تمرکز بر یک نقطه خاص در دامنه تابع. اینها را می توان از حقایق زیر مشاهده کرد.

• اگر تابع داده شده از افزایش به کاهش تغییر کند، تابع در نقطه مربوطه به بالاترین یا ماکزیمم مقدار خواهد رسید.
• اگر تابع داده شده از کاهش به افزایش تغییر کند، ناچیزترین یا مینیمم مقدار را در نقطه مربوطه انجام می دهد.
• اگر تابع داده شده تغییر نکند، یعنی در حال افزایش یا کاهش باقی بماند، آنگاه هیچ بالاترین یا ناچیزترین مقدار (یعنی مینیمم مقدار) به دست نمی آید.

بیشتر بخوانید:

• افزایش و کاهش توابع و یکنواختی
• افزایش و کاهش توابع
• مشتقات
• یکنواختی و نقاط بحرانی توابع

اولین آزمون مشتق برای ماکسیمم و مینیمم

از نظر ریاضی، می‌توانیم اولین آزمون مشتق را برای یافتن ماکزیمم و مینیمم نسبی یک تابع با استفاده از نقطه بحرانی و اولین مشتق تابع استخراج کنیم.

فرض کنید f تابعی است که در یک بازه باز I و پیوسته در یک نقطه بحرانی c در I تعریف شده است. سپس، ما می توانیم ماکزیمم نسبی، مینیمم نسبی و نقطه عطف را به صورت زیر تعیین کنیم.

ماکسیمم نسبی

نقطه بحرانی c نقطه ماکزیمم نسبی نامیده می شود اگر f'(x) علامت را از مثبت به منفی با افزایش x از طریق c تغییر دهد. به عبارت دیگر، اگر f'(x) > 0 در هر نقطه به اندازه کافی نزدیک و به سمت چپ c باشد و f'(x) < 0 در هر نقطه به اندازه کافی نزدیک و به سمت راست c باشد، آنگاه c ماکزیمم نسبی است.

مینیمم های نسبی

نقطه بحرانی c نقطه مینیمم نسبی نامیده می شود اگر f'(x) علامت را از منفی به مثبت با افزایش x از طریق c تغییر دهد. به عبارت دیگر، اگر f'(x) < 0 در هر نقطه به اندازه کافی نزدیک و به سمت چپ c باشد و f'(x) > 0 در هر نقطه به اندازه کافی نزدیک و به سمت راست c باشد، آنگاه c مینیمم نسبی است.

نقطه عطف

اگر با افزایش x از طریق f'(x) علامت را تغییر ندهد، آنگاه c نه نقطه‌ی ماکزیمم نسبی است و نه نقطه‌ی مینیمم‌های نسبی. اما چنین نقطه ای را نقطه عطف می نامند.

همچنین، بررسی کنید: Maxima و Minima با استفاده از آزمون مشتق اول

اولین مراحل تست مشتق

در زیر مراحل مربوط به یافتن ماکزیمم و مینیمم نسبی یک تابع معین f(x) با استفاده از اولین آزمون مشتق آمده است.

مرحله 1: اولین مشتق f(x)، یعنی f'(x) را ارزیابی کنید.

مرحله 2: با فرض f'(x) = 0 نقاط بحرانی است، مقدارهای(های) c را شناسایی کنید.

مرحله 3: فواصل زمانی که تابع داده شده در حال افزایش یا کاهش است را تجزیه و تحلیل کنید

مرحله 4: نقاط انتهایی، یعنی ماکزیمم یا مینیمم نسبی را تعیین کنید

نمونه آزمایش مشتق اول

سوال:

مقادیر ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع f را که با f(x) = 3x^ 4 + 4x^ 3 – 12x ^2 + 12 با استفاده از اولین آزمون مشتق داده شده است، بیابید.

راه حل:

داده شده،

f(x) = 3x^ 4 + 4x^ 3 – 12x ^2 + 12

مرحله 1: اولین مشتق f(x)، یعنی f'(x) را ارزیابی کنید.

f'(x) = (d/dx)[f(x) = 3x^ 4 + 4x^ 3 – 12x ^2 + 12 ]

= 3 (4x^ 3 ) + 4 (3x ^2 ) - 12 (2x) + 0

= 12x ^3 + 12x ^2 - 24x

= 12x (x^ 2 + x - 2)

= 12x (x^ 2 + 2x - x - 2)

= 12x[x(x+2) – 1(x+2)]

= 12x (x - 1) (x + 2)

بنابراین، f'(x) = 12x (x - 1) (x + 2)

مرحله 2: با فرض f'(x) = 0 نقاط بحرانی است، مقدار(های) c را شناسایی کنید.

یعنی 12x(x – 1)(x+2) = 0

x = 0، x – 1 = 0 یا x + 2 = 0

یعنی f'(x) = 0 در x = 0، x = 1 و x = -2.

بنابراین نقاط بحرانی 2-، 0 و 1 هستند.

مرحله 3: فواصل زمانی که تابع داده شده در حال افزایش یا کاهش است را تجزیه و تحلیل کنید

فاصله امضا کردن رفتار عملکرد

-∞ < x < -2 f'(x) < 0

در حال کاهش

x = -2 f'(x) = 0

کمترین

-2 < x < 0 f'(x) > 0

در حال افزایش است

x = 0 f'(x) = 0بیشترین

0 < x < 1 f'(x) < 0

در حال کاهش

x = 1 f'(x) = 0

کمترین

1 < x < ∞ f'(x) > 0

در حال افزایش است

این فواصل و رفتار تابع را می توان از نمودار f(x) زیر مشاهده کرد:

یعنی،

f'(x) > 0; -2 < x < 0 یا x >1

f'(x) < 0; x < -2 یا 0 < x < 1

مرحله 4: نقاط انتهایی، یعنی ماکزیمم یا مینیمم نسبی را تعیین کنید

جایگزینی x = -2 در f(x)،

f(-2) = 3(-2) 4 + 4(-2) 3 - 12(-2) 2 + 12

= 48 - 32 - 48 + 12

= -20

مینیمم مقدار

= (-2، -20)

جایگزینی x = 0 در f(x)،

f(0) = 3(0) 4 + 4(0) 3 – 12(0) 2 + 12 = 12

ماکزیمم مقدار

= (0، 12)

جایگزین کردن x = 1 در f(x)،

f(1) = 3(1)^ 4 + 4(1)^ 3 - 12(1) ^2 + 12

= 3 + 4 - 12 + 12

= 7

مینیمم مقدار

= (1، 7)

بنابراین، نقاط اکسترمم نسبی عبارتند از:

مینیمم نسبی = (-2، -20) و (1، 7)

ماکزیمم نسبی = (0، 12)

سوالات متداول - سوالات متداول

Q1

برای مشتق اول مثال بزنید.

Velocity مثالی برای مشتق اول است. این مشتق از موقعیت نسبت به زمان است.

Q2

می توانیم از قضیه فرما در مورد ماکزیمم و مینیمم مشتق توابع متمایز استفاده کنیم. درست یا غلط؟

درست است، واقعی. از قضیه فرما می توان برای یافتن ماکزیمم و مینیمم مشتق توابع متمایز استفاده کرد.

Q3

برای مشتق درزندگی واقعی مثال بزنید.

نمونه‌های واقعی مشتقات عبارتند از ماکزیمم کردن سود، مینیمم رساندن ضرر در هر کسب‌وکاری، تغییرات دما، سرعت در مسابقات برای محاسبه برد.

Q4

وقتی مشتق اول مثبت است به چه معناست؟

اگر تابع در حال افزایش باشد، اولین مشتق مثبت است.

Q5

مشتق اول کمتر از صفر است. این به چه معناست؟

اگر مشتق اول کمتر از صفر باشد، تابع در حال کاهش است.

​

​

اگر مقاله ای با عنوان "آزمون اولین مشتق" را خوانده باشید، می دانید که ما می توانیم از مشتق اول برای تعیین اینکه آیا یک نقطه بحرانی خاص در نمودار یک تابع ماکزیمم نسبی، مینیمم نسبی یا هیچکدام از آنها است استفاده کنیم. می دانیم که برای ماکزیمم نسبی، شیب یک تابع (که در نهایت همان چیزی است که مشتق اول به ما می دهد) در سمت چپ ماکزیمم نسبی (جایی که مقدار تابع در حال افزایش است) مثبت و در سمت راست منفی خواهد بود. ماکزیمم نسبی (جایی که مقدار تابع در حال کاهش است ). برای مینیمم نسبی، دقیقا برعکس اتفاق می افتد. شیب رو به کاهش است سمت چپ مینیمم نسبی و افزایش به سمت راست مینیمم نسبی.

احتمالاً ارزش این را دارد که بیانیه رسمی‌تر ما را در توصیف اولین آزمون مشتق تکرار کنیم. فرض کنید یک تابع ƒ( x ) داریم که در بازه بسته [ a , b ] پیوسته است و در بازه باز ( a , b ) مشتق پذیر است و یک مقدار c وجود دارد به طوری که a < c < b و ( c) وجود دارد. ، ƒ( c )) یک نقطه بحرانی از تابع ƒ( x ) است :

اگر ƒ′( x ) > 0 در سمت چپ ( c , ƒ( c )) و ƒ′( x ) < 0 در سمت راست ( c , ƒ( c )) باشد ، آنگاه ( c , ƒ( c )) ماکزیمم نسبی است.

اگر ƒ′( x ) < 0 در سمت چپ ( c , ƒ( c )) و ƒ′( x ) > 0 در سمت راست ( c , ƒ( c )) باشد ، آنگاه ( c , ƒ( c )) مینیمم نسبی است.

اگر ƒ′( x ) در سمت چپ و راست ( c , ƒ( c )) علامت یکسانی داشته باشد ، آنگاه ( c , ƒ( c )) نه ماکزیمم نسبی است و نه یک مینیمم نسبی.

تصویر زیر را در نظر بگیرید. در اینجا نمودار تابع چند جمله ای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و نمودار اولین تابع مشتق آن ƒ′( x ) = 10 x  4 - 30 x  2 را می بینیم . می بینیم که ƒ( x ) دارای دو منتهی الیه نسبی است که در جایی رخ می دهند که نمودار ƒ′( x ) محور x را قطع می کند . همچنین دارای یک نقطه عطف در x = 0 است ، جایی که نمودار ƒ′( x ) x را لمس می کند.محور در یک نقطه است، اما آن را قطع نمی کند. از آنجایی که ƒ( x ) یک تابع چند جمله ای است و بنابراین "به خوبی رفتار می کند"، می توانیم تمام نقاط بحرانی آن را با حل ƒ'( x ) = 0 پیدا کنیم . سپس فقط باید اولین آزمون مشتق را برای هر نقطه اعمال کنیم تا مشخص کنیم که آیا ماکزیمم نسبی است، یک مینیمم نسبی یا هیچکدام.

نمودارهای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و ƒ′( x ) = 10 x  4 - 30 x  2

بنابراین، می دانیم که می توانیم ماهیت یک نقطه بحرانی را با بررسی علامت مشتق اول در دو طرف آن تعیین کنیم. برای اینکه تست کار کند، تابع باید در بازه زمانی تعریف شده پیوسته باشد. همچنین باید فوراً در سمت چپ و راست نقطه بحرانی که آزمون روی آن اعمال می‌شود مشتق پذیر باشد، اگرچه لازم نیست اولین مشتق در خود نقطه بحرانی وجود داشته باشد. با این حال، اگر در آنجا وجود داشته باشد ، ممکن است بتوانیم ماهیت نقطه بحرانی را با استفاده از آزمون مشتق دوم به راحتی تعیین کنیم .

همانطور که خواهیم دید، مشتق دوم در یک نقطه از یک منحنی می تواند چیزی در مورد تقعر منحنی در آن نقطه به ما بگوید. به طور کلی، یک قطعه خط منحنی اگر تمام یا بخشی از یک کاسه را تشکیل دهد به سمت بالا مقعر گفته می شود و اگر تمام یا بخشی از یک گنبد را تشکیل دهد، به پایین مقعر گفته می شود. می‌توانیم با نگاه کردن به نمودارهای تابع چند جمله‌ای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و مشتق اول آن را یک بار دیگر توضیح دهیم.

نمودار ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 دارای هر دو ناحیه مقعر بالا و پایین مقعر است.

بیایید رابطه بین نمودار خود تابع و اولین مشتق آن را در نظر بگیریم. از تصویر بالا به وضوح می‌بینیم که برای بازه‌هایی که نمودار تابع به پایین مقعر است، با افزایش x ، مقدار اولین مشتق کاهش می‌یابد . برعکس، برای بازه‌هایی که نمودار تابع در آنها مقعر است، با افزایش x ، مقدار اولین مشتق افزایش می‌یابد . علاوه بر این، نقاطی که در آن تقعر تابع از مقعر به پایین به مقعر به بالا تغییر می کند، هر دو با مینیمم های نسبی مطابقت دارند.روی نمودار اولین مشتق به طور مشابه، نقطه ای که در آن تقعر تابع از مقعر به بالا به پایین مقعر تغییر می کند ، مطابق با ماکزیمم نسبی در نمودار اولین مشتق است.

ممکن است قبلاً برای شما پیش آمده باشد که مشتق دوم یک تابع (که به یاد داشته باشید، به سادگی مشتق اولین مشتق تابع است) باید در هر انتها نسبی از مشتق اول به صفر ارزیابی شود . در واقع قضیه همین است. این بدان معنی است که برای هر تابع پیوسته و دوبار متمایز (توجه داشته باشید که همه توابع را نمی توان دو بار متمایز کرد)، منطقی است که فرض کنیم با یافتن صفرهای تابع مشتق دوم، مختصات x نقاط عطف را به ما می دهد. نمودار تابع اصلی ما - یعنی نقاطی که در آنها تقعر آن از مقعر به پایین تغییر می کندمقعر کردن ، و بالعکس. ما در زیر نمودار تابع چند جمله ای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 را یک بار آخر، این بار همراه با نمودار تابع مشتق دوم آن ƒ′′( x ) = 40 x  3 - 60 x ارائه می کنیم .

نمودارهای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و ƒ′′( x ) = 40 x  3 - 60 x

مانند مشتق اول، مشتق دوم می تواند چیزی در مورد آنچه یک تابع در یک نقطه مشخص انجام می دهد به ما بگوید. قبلاً دیده‌ایم که مشتق دوم برای مقادیر x که با نقاط عطف مطابقت دارند (یعنی نقاطی که در آنها تقعر نمودار تابع تغییر می‌کند) به صفر می‌رسد. همچنین می‌توانیم به وضوح از تصویر بالا ببینیم که برای فواصل زمانی که تابع به پایین مقعر است ، مقدار مشتق دوم منفی است . برای بازه هایی که تابع در آنها مقعر است ، مقدار مشتق دوم مثبت است .

بنابراین، می‌توانیم از مشتق دوم استفاده کنیم تا به ما بگوییم که آیا یک تابع در هر نقطه از نمودار تابع مقعر است یا مقعر (یا هیچکدام) - البته به شرطی که تابع در آن نقطه دو بار متمایز باشد. می‌توانیم این را کمی رسمی‌تر بیان کنیم (با استفاده از چیزی که گاهی به عنوان قضیه تقعر شناخته می‌شود ) به صورت زیر:

اگر یک تابع ƒ( x ) دو بار در x = c مشتق پذیر باشد ، نمودار ƒ( x ) در ( c , ƒ(c) مقعر است.)) اگر ƒ′′( c ) > 0 , و مقعر اگر ƒ′′( c ) < 0 .

اگر مشتق دوم در یک نقطه معین صفر باشد یا وجود نداشته باشد، نقطه ممکن است یک نقطه عطف باشد، اما تنها در صورتی که تقعر نمودار در هر دو طرف نقطه متفاوت باشد. شرایطی وجود دارد که در آن مشتق دوم می تواند صفر ارزیابی شود و در عین حال یک نقطه عطف نباشد، همانطور که می بینیم اگر به تصویر زیر نگاه کنیم که نمودارهای تابع ƒ( x) = x 4 و مشتق دوم آن را نشان می  دهد . ƒ′′( x ) = 12 x  2 .

نمودارهای ƒ( x ) = x  4 و ƒ′′( x ) = 12 x  2

مشتق دوم تابع در x = 0 به صفر می رسد ، اما خود تابع در اینجا نقطه عطف ندارد. در واقع x = 0 مربوط به مینیمم نسبی است. شرایطی که تحت آن می توان از مشتقات اول و دوم برای شناسایی یک نقطه عطف استفاده کرد، ممکن است تا حدودی رسمی تر بیان شود، در مواردی که گاهی اوقات به عنوان قضیه نقطه عطف از آن یاد می شود ، به شرح زیر:

اگر نقطه ای در نمودار یک تابع ƒ( x ) وجود داشته باشد که برای آن x = c ، جایی که ƒ′( c ) وجود دارد و ƒ′′( x ) علامت را در x = c تغییر می دهد ، آنگاه نقطه ( c , ƒ( ج )) یک نقطه عطف در نمودار ƒ( x ) است . اگر ƒ′′( c ) در نقطه عطف وجود داشته باشد، ƒ′′( c ) = 0 .

ما می‌توانیم نقاط عطف را با استفاده از مشتق دوم به روشی مشابه با روشی که در آن از مشتق اول برای آزمایش ماکزیممی نسبی استفاده می‌کنیم، آزمایش کنیم. همانطور که قبلاً اشاره کردیم، می‌توانیم از مشتق دوم برای تعیین اینکه آیا یک نقطه بحرانی یک تابع ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی است استفاده کنیم. با فرض اینکه بتوان از آن استفاده کرد، آزمون مشتق دوم جایگزین ساده تری برای آزمون مشتق اول ارائه می دهد. اشکال اصلی این است که تنها در صورتی می توان از آن استفاده کرد که معیارهای خاصی رعایت شود.

شاید قبلاً متوجه شده باشید که توانایی استفاده از مشتق دوم برای تعیین تقعر نمودار یک تابع در یک نقطه معین، چیزی است که ما را قادر می سازد از آن برای شناسایی یک نقطه بحرانی در یک تابع به عنوان ماکزیمم نسبی یا یک تابع استفاده کنیم. مینیمم نسبی اگر در مورد آن فکر کنید، کاملاً واضح است که یک ماکزیمم نسبی باید در قسمتی از نمودار که مقعر است رخ دهد (شما می توانید ماکزیمم نسبی را در بالای یک تپه در نظر بگیرید). به همان اندازه بدیهی است که یک مینیمم نسبی باید در قسمتی از نمودار که به سمت بالا مقعر است رخ دهد (شما می توانید مینیمم نسبی را در پایین یک دره تصور کنید).

پس از شناسایی یک نقطه ثابت روی یک تابع، تنها کاری که ما باید انجام دهیم تا مشخص کنیم که ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی است، این است که مشتق دوم را در آن نقطه بگیریم. اگر مثبت باشد ، مینیمم نسبی داریم، زیرا نمودار در آن نقطه به سمت بالا مقعر است . اگر منفی باشد ، ماکزیمم نسبی داریم، زیرا نمودار به پایین مقعر است . البته اگر مشتق دوم صفر باشد ، نمی‌توانیم نتیجه‌گیری مفیدی داشته باشیم. در این صورت، ما باید چیز دیگری را امتحان کنیم، اما به زودی به آن باز خواهیم گشت. ما می توانیم آزمون مشتق دوم را به صورت رسمی تر توصیف کنیم:

برای یک تابع ƒ( x ) که دو بار در یک نقطه ثابت که برای آن x = c مشتق پذیر است :

اگر ƒ′′( c ) > 0 , آنگاه ƒ( x ) دارای مینیمم نسبی در x = c است .

اگر ƒ′′( c ) < 0 , آنگاه ƒ( x ) دارای ماکزیمم نسبی در x = c است .

اگر ƒ′′( c ) = 0 باشد ، آزمون بی نتیجه است.

همانطور که قبلاً بیان کردیم، قبل از استفاده از آزمون مشتق دوم، شرایط خاصی وجود دارد که باید رعایت شوند. شرط اول این است که هم مشتق اول و هم مشتق دوم باید در نقطه بحرانی که می‌خواهیم آزمایش کنیم وجود داشته باشند. با فرض انجام این کار، مشتق اول باید صفر ارزیابی شود، در حالی که مشتق دوم نباید صفر ارزیابی شود. به عبارت دیگر، برای یک نقطه بحرانی که در x = c رخ می دهد ، جملات ƒ′( c ) = 0 و ƒ′′( c ) ≠ 0 باید صادق باشند. اگر هر یک از این شرایط برآورده نشد، باید به پلان B برگردیم، که معمولاً به معنای استفاده از آن استاولین آزمون مشتق برای تعیین ماهیت نقطه بحرانی.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. ما سعی خواهیم کرد از آزمون مشتق دوم برای شناسایی ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 استفاده کنیم . از آنجایی که این یک تابع چند جمله ای است، می دانیم که "به خوبی رفتار می کند". ما با یافتن نقاط بحرانی تابع شروع می کنیم، به این معنی که باید ریشه های اولین تابع مشتق را پیدا کنیم. با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′( x ) = 4 x  3 - 16 x

حال باید معادله را حل کنیم:

4 x  3 - 16 x = 0

ما بلافاصله می توانیم عبارت 4 x را فاکتور کنیم :

4 x ( x  2 - 4) = 0

این مقادیر ممکن برای x از -2 ، 0 و 2 به ما می دهد . اکنون باید این مقادیر را به مشتق دوم متصل کنیم که با متمایز کردن مشتق اول آن را پیدا می کنیم. با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′′( x ) = 12 x  2 - 16

با وصل کردن مقادیر x نقاط بحرانی خود به تابع مشتق دوم، دریافت می کنیم:

ƒ′′(-2) = (12)(-2  2 ) - 16 = 32

ƒ′′(0) = (12)(0  2 ) - 16 = -16

ƒ′′(2) = (12)(2  2 ) - 16 = 32

با اعمال آزمون مشتق دوم، متوجه می‌شویم که تابع ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 دارای مینیمم نسبی در x = -2 است (زیرا مشتق دوم در اینجا مثبت است)، ماکزیمم نسبی در x = 0 (ثانیه مشتق منفی است)، و مینیمم نسبی دوم در x = 2 (مشتق دوم مثبت است). ما می توانیم مقادیر واقعی تابع را در این نقاط با وصل کردن مقادیر x به تابع اصلی پیدا کنیم:

ƒ(-2) = -2  4 - (8)(-2  2 ) = 16 - 32 = -16

ƒ(0) = 0  4 - (8) (0  2 ) = 0 - 0 = 0

ƒ(2) = 2  4 - (8) (2  2 ) = 16 - 32 = -16

بنابراین، در نمودار تابع ما مینیمم های نسبی در مختصات (2-, -16) و (2, -16) و ماکزیمم نسبی در (0, 0) خواهیم داشت . ما در زیر نمودار تابع ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 را همراه با مشتقات اول و دوم آن ارائه می کنیم. برای این تابع، می‌توانیم ببینیم که صفرهای مشتق دوم در واقع به نظر می‌رسد که با نقاط عطف در نمودار تابع مطابقت دارند. با این حال، همیشه اینطور نخواهد بود. همانطور که با نمودار تابع ƒ( x ) = x  4 دیدیم، صفرهای مشتق دوم نیز می توانند در ماکزیمم یا مینیمم نسبی یک تابع رخ دهند.

نمودارهای ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 ، ƒ′( x ) = 4 x  3 - 16 x و ƒ′′( x ) = 12 x  2 - 16

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. این بار سعی می کنیم از مشتق دوم برای طبقه بندی نقاط بحرانی تابع ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 استفاده کنیم . ما همچنین سعی خواهیم کرد نقاط عطف را شناسایی کنیم. یک بار دیگر، چون این یک تابع چند جمله ای است، می دانیم که "به خوبی رفتار می کند"، یعنی هم پیوسته و هم مشتق پذیر برای تمام x ها خواهد بود . ابتدا مختصات x نقاط بحرانی تابع را با یافتن ریشه های اولین تابع مشتق بدست می آوریم . با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′( x ) = 15 x  4 - 15 x  2

حال باید معادله را حل کنیم:

15 x  4 - 15 x  2 = 0

ما بلافاصله می توانیم عبارت 15 x  2 را در نظر بگیریم :

15 x  2 ( x  2 - 1) = 0

این مقادیر ممکن برای x از منهای یک ، صفر و یک به ما می دهد . حال باید این مقادیر را به مشتق دوم متصل کنیم که با متمایز کردن مشتق اول آن را پیدا می کنیم. با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′′(x) = 60 x  3 - 30 x

با وصل کردن مقادیر x ، دریافت می کنیم:

ƒ′′(-1) = (60)(-1  3 ) - (-30) = -30

ƒ′′(0) = (60)(0  3 ) - 0 = 0

ƒ′′(1) = (60)(1  3 ) - 30 = 30

بنابراین، با اعمال آزمون مشتق دوم، متوجه می‌شویم که تابع ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 دارای ماکزیمم نسبی در x = -1 است (زیرا مشتق دوم در اینجا منفی است)، و مینیمم نسبی در x = 1 (که در آن مشتق دوم مثبت است). ما می توانیم مقادیر واقعی تابع را در این نقاط با وصل کردن مقادیر x به تابع اصلی پیدا کنیم:

ƒ(-1) = (3)(-1  5 ) - (5)(-1  3 ) + 3 = -3 - (-5) + 3 = 5

ƒ(1) = (3)(1  5 ) - (5)(1  3 ) + 3 = 3 - 5 + 3 = 1

از آنجایی که مشتق دوم در x = 0 به صفر ارزیابی می شود، آزمون مشتق دوم برای این نقطه بحرانی خاص بی نتیجه است. ما نمی‌توانیم بگوییم که این یک ماکزیمم نسبی، یک مینیمم نسبی یا یک نقطه عطف است، و در عوض باید به اولین آزمون مشتق برگردیم تا ماهیت آن مشخص شود. ما قبلا هم اولین تابع مشتق و هم لیستی از نقاط بحرانی تابع را بدست آورده ایم. فقط باید علامت اولین مشتق را بلافاصله در دو طرف x = 0 پیدا کنیم . ابتدا یک مقدار دلخواه بین منهای یک و صفر ( xمختصات دو نقطه بحرانی اول) و آن را به تابع مشتق اول وصل کنید. ما از منهای صفر-نقطه-پنج ( -0.5 ) استفاده می کنیم که به ما نشان می دهد:

ƒ′(-0.5) = (15)(-0.5  4 ) - (15)(-0.5  2 ) = -2.8125

بنابراین، اولین تابع مشتق یک مقدار منفی را بلافاصله در سمت چپ x = 0 برمی گرداند . حالا یک مقدار دلخواه بین صفر و یک ( مختصات x دو نقطه بحرانی آخر) را انتخاب می کنیم و آن را به تابع مشتق اول متصل می کنیم. ما از نقطه صفر پنج ( 0.5 ) استفاده می کنیم که به ما می دهد:

ƒ′(0.5) = (15)(0.5  4 ) - (15)(0.5  2 ) = -2.8125

بنابراین، اولین تابع مشتق نیز یک مقدار منفی را بلافاصله در سمت راست x = 0 برمی گرداند . بنابراین اولین آزمایش مشتق به ما می گوید که نقطه بحرانی در x = 0 نه ماکزیمم نسبی است و نه یک مینیمم نسبی. اما آیا این یک نقطه عطف است؟ قضیه نقطه عطف را که در بالا بیان کردیم را به خاطر بسپارید . به ما می گوید که اگر نقطه ای در نمودار تابعی داشته باشیم که مشتق اول وجود داشته باشد و مشتق دوم علامت آن را تغییر دهد، آن نقطه باید یک نقطه عطف باشد. می دانیم که اولین مشتق در x = 0 وجود دارد. فقط باید بررسی کنیم که آیا مشتق دوم علامت آن را تغییر می دهد یا خیر. ما با یافتن صفرهای تابع مشتق دوم شروع می کنیم، زیرا فقط در این نقاط است که علامت مشتق دوم واقعاً می تواند تغییر کند. برای این کار معادله را حل می کنیم:

60 x  ^3 - 30 x = 0

ما می توانیم بلافاصله عبارت 30 x را فاکتور کنیم :

30 x (2 x ^ 2 - 1) = 0

این مقادیر ممکن را برای x از 0.707-، 0 و 0.707 به ما می دهد . مشتق دوم مقدار صفر را در x = 0 برمی گرداند ، به این معنی که مطمئناً می تواند علامت متفاوتی در هر دو طرف این نقطه داشته باشد، اما آیا اینطور است؟ ما می توانیم با انتخاب مقادیر مناسب x در سمت چپ و راست x = 0 و وصل کردن آنها به تابع مشتق دوم، متوجه شویم . ما از مقادیر منهای صفر-نقطه-پنج و صفر-نقطه-پنج استفاده خواهیم کرد . این نتایج زیر را به ما خواهد داد:

ƒ′′(-0.5) = (60)(-0.5  3 ) - (30)(-0.5) = -7.5 + 15 = 7.5

ƒ′′(0.5) = (60)(0.5  3 ) - (30)(0.5) = 7.5 - 15 = -7.5

بنابراین مشتق دوم واقعاً علامت را در x = 0 تغییر می دهد و بنابراین باید یک نقطه عطف باشد. آزمایش مقادیر بازگردانده شده توسط مشتق دوم به دو طرف هر یک از دو نقطه بحرانی دیگر، تأیید می کند که آنها نیز با نقاط عطف در نمودار تابع اصلی مطابقت دارند. شما می توانید روابط بین نمودار تابع ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 و روابط مشتقات اول و دوم آن را در تصویر زیر مشاهده کنید.

نمودارهای ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 ، ƒ′( x ) = 15 x  4 - 15 x  2 ، و ƒ′′(x) = 60 x  3 – 30 x

​

​

• بررسی اجمالی
• وقتی ضریب درجه دوم بزرگتر از یک باشد
• تفاوت دو مربع
• مربع های کامل
• زمانی که عبارت ثابت وجود نداشته باشد

بررسی اجمالی

این واقعیت که بسیاری از معادلات درجه دوم دو راه حل دارند، پتانسیل گیج کننده را دارد. با این حال، به خاطر داشته باشید که ما معمولاً به دنبال تنها یک راه حل برای یک مسئله خاص هستیم. انتخاب راه‌ حل صحیح از بین دو پاسخ ممکن معمولاً به تشخیص اینکه کدام یک از پاسخ‌ها متناسب با مسئله است است. در بسیاری از موارد، پاسخ منفی بی معنی است، بنابراین می توانیم چنین نتیجه ای را نادیده بگیریم. بسیار نادر است که بپرسیم کدام یک از دو پاسخ (در واقع باید دو پاسخ وجود داشته باشد ) پاسخ صحیح است. باید از موارد بالا مشخص شود که آنچه ما به دنبال آن هستیم یک مقدار (یا مقادیر) برای x است که تابع

y = ƒ( x ) = ax^  2 +bx + c = 0 .

را برآورده می کند.

اغلب می‌توانیم سمت چپ معادله را تجزیه کنیم تا دو جمله برای x به ما بدهیم . تجزیه اساساً فرآیند معکوس ضرب پرانتز ها برای ساده کردن عبارتی مانند ( x + 3) ( x - 2) است . چرا می خواهیم این کار را انجام دهیم؟ زیرا معادله ای مانند ( x + 3) ( x - 2) = 0 برای ما باقی می گذارد. برای اینکه چنین معادله ای درست باشد، یک یا هر دو عبارت داخل پرانتز ها باید صفر ارزیابی شوند. بنابراین، یا x به اضافه سه برابر با صفر ( x + 3 = 0 )، یا x منهای دو برابر با صفر ( x - 2 = 0 ) است. نتیجه واضح این است که x برابر با منهای سه یا x برابر با دو است ( x = -3 یا x = 2 ). و بس. معادله درجه دوم را حل کرده ایم. متأسفانه، همه معادلات درجه دوم تجزیه نمی شوند، اما بسیاری از آنها این کار را انجام می دهند.

مهارت در استفاده از تجزیه برای حل معادلات درجه دوم با تمرین و تجربه همراه است، زیرا اول از همه باید بتوانید تعیین کنید که آیا معادله در وهله اول تجزیه می شود یا خیر، و سپس (با فرض تجزیه ) باید دو عدد را پیدا کنید که اگر پرانتزها دوباره ضرب شوند، همان معادله درجه دومی را که با آن شروع کردیم به دست می‌آورند. گاهی اوقات اعداد مناسب به راحتی پیدا می شوند، گاهی اوقات ممکن است تا حدودی دست نیافتنی باشند. البته می‌توانید با ضرب کردن دوباره پرانتزها، پاسخ‌هایی را که به آن‌ها رسیدید بررسی کنید تا ببینید آیا معادله درجه دوم اصلی را به دست می‌آورید یا خیر. ما می توانیم با استفاده از یک مثال ببینیم که چگونه کار می کند. معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

x^ 2 - 4 x - 5 = 0

مقدار جمله ثابت (آخرین ثابت در معادله) منهای پنج ( -5 ) است. هنگامی که پرانتز ها ضرب می شوند، جمله ثابت حاصل ضرب عبارت های صحیح درون هر پرانتز خواهد بود. از آنجا که پنج یک عدد اول است، فقط دو عامل دارد (خود و یک ). از آنجایی که مقدار آن منهای پنج است ، فاکتورها می توانند منهای پنج و یک ، یا پنج و منهای یک

( -5 و 1 ، یا 5 و -1 )

باشند. توجه داشته باشید که ضریب خطی (این عدد با فونت x استدر وسط معادله درجه دوم) منهای چهار است . مقادیر صحیحی که ما به دنبال آن هستیم (که هر دو با ضرب پرانتز ها در x ضرب می شوند) باید منهای چهار جمع شوند ، بنابراین باید از منهای پنج و یک استفاده کنیم . بیایید معادله را به صورت فاکتوریزه بنویسیم:

( x - 5) ( x + 1) = 0

اگر اکنون دوباره پرانتزها را ضرب کنیم، به دست می آید:

x  ^2 + x - 5 x - 5 = 0

حالا مانند اصطلاحات را با هم جمع کنید:

x ^ 2 - 4 x - 5 = 0

کار می کند! بنابراین، ما یک راه حل داریم، یعنی x باید برابر با پنج یا منهای یک باشد ( x = 5 یا x = -1 ). می توانید نمودار این تابع را در زیر مشاهده کنید (حتی ممکن است آن را تشخیص دهید، زیرا به عنوان یکی از نمونه های صفحه "معادلات درجه دوم" در این بخش استفاده شده است). اگر به این نمودار نگاهی بیندازید، خواهید دید که در واقع محور x را در x = 5 و x = -1 قطع می کند .

نمودار y = ƒ( x ) = x ^ 2 - 4 x - 5

روشی که در اینجا برای تجزیه این نوع معادله درجه دوم به وجود آمده است نسبتاً ساده است. ما به دنبال دو مقدار صحیح هستیم که (الف) با ضرب در یک جمله ثابت و (ب) با هم جمع شوند تا ضریب خطی بدست آید . بیایید مثال دیگری را امتحان کنیم:

x  ^2 - 7 x + 12 = 0

اصطلاح ثابت در اینجا دوازده است. عوامل دوازده عبارتند از یک ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده . ما به دنبال دو عامل با حاصلضرب دوازده هستیم، اما می‌توانیم یک و دوازده را کاهش دهیم، زیرا در هیچ ترکیبی از مقادیر مثبت یا منفی، منهای هفت (ضریب خطی) جمع نمی‌شوند . دو و شش هم انجام نمی دهند که فقط سه و چهار باقی می ماند . برای جمع منهای هفت ، هر دو عدد باید منفی باشند، بنابراین منهای سه داریمو منهای چهار . با نوشتن معادله به صورت فاکتوریزه شده، داریم:

( x - 3) ( x - 4) = 0

توجه داشته باشید که چون پرانتزها را در هم ضرب می کنیم، ترتیب نوشتن آنها اهمیت خاصی ندارد. اگر اکنون دوباره پرانتزها را ضرب کنیم، به دست می آید:

x ^ 2 - 4 x - 3 x + 12 = 0

حالا مانند اصطلاحات را با هم جمع کنید:

x  ^2 - 7 x + 12 = 0

یک بار دیگر دو مقدار برای x پیدا کردیم . نمودار تابع درجه دوم مربوطه در زیر نشان داده شده است. تصویر زیر یک اسکرین شات از تسهیلات بسیار مفید "کاوشگر تابع چهارگانه" در وب سایت مرجع ریاضی باز ( http://www.mathopenref.com/quadraticexplorer.html ) است. این بار، جواب ما x برابر سه یا x برابر چهار ( x = 3 یا x = 4 ) به ما می دهد. با تمرین بیشتر در فاکتورگیری معادلات درجه دوم مانند موارد بالا، متوجه خواهید شد که می توانید اعداد مورد نیاز خود را نسبتاً سریع و بدون دردسر انتخاب کنید، اما(می دانستید که یک "اما" در راه است، نه!) به خاطر داشته باشید که معادلاتی که تا به حال به آنها نگاه کردیم، هر دو دارای ضریب درجه دوم یک بودند .

معادله درجه دوم x ^ 2 - 7 x + 12 = 0 دارای ریشه x = 3 و x = 4 است.

وقتی ضریب درجه دوم بزرگتر از یک باشد

وقتی ضریب درجه دوم بزرگتر از یک باشد، زندگی کمی پیچیده تر می شود. معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

3 x ^ 2 + 5 x - 2 = 0

ما همچنان به دنبال دو عدد هستیم که با هم جمع شوند تا ضریب خطی (که در این مورد 5 است ) بدست آید. اما اکنون به جای جست‌وجوی عوامل منهای دو ( جمله ثابت )، باید دو عدد را پیدا کنیم که وقتی با هم ضرب شوند، حاصل ضرب ضریب درجه دوم و جمله ثابت می‌شوند. این بدان معناست که ما به دنبال فاکتورهای منهای شش هستیم ، یعنی سه ضرب در منهای دو

( 3 × -2 = -6 )

. تنها فاکتورهای منفی شش که در واقع منهای شش را با ضرب در یک ورا می توان با هم جمع کرد تا پنج ، شش و منهای یک

( 6 × -1 = -6 ، 6 + -1 = 5 )

تولید شود. و معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

3 x  ^2 + 6 x - x - 2 = 0

اکنون می‌توانیم تجزیه کنیم :

3 x ( x + 2)

که به ما می دهد:

-1 ( x + 2)

بنابراین اکنون عبارات

3 x × ( x + 2)

و

-1 × ( x + 2)

را در سمت چپ معادله داریم. از آنجایی که عبارت ( x + 2) برای هر دو عبارت مشترک است، می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(3 x - 1) ( x + 2) = 0

فقط برای اینکه مطمئن شویم به درستی تجزیه شده ایم، دوباره پرانتز ها را ضرب می کنیم:

3 x  2 + 6 x - x - 2 = 0

اصطلاحات مشابه را با هم جمع کنید:

3 x ^ 2 + 5 x - 2 = 0

بنابراین، از آنجایی که این معادله اصلی ما است، تجزیه ما صحیح است. این بدان معنی است که ما مقادیر کاندید برای x یک سوم یا منهای دو ( x = 1/3 یا x = -2 ) داریم . بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم:

4 x ^ 2 - 6 x - 4 = 0

ما به دنبال دو عدد هستیم که با هم جمع شوند و ضریب خطی ( منهای شش ) را به دست آورند و با ضرب ضرب شوند و حاصل ضرب ضریب درجه دوم ( چهار ) و جمله ثابت ( منهای چهار ) را بدست آورند که منهای شانزده ( 4 ×) خواهد بود. -4 = -16 ). با نگاهی به فاکتورهای منهای شانزده ، انتخاب های آشکار منهای هشت و دو هستند ، زیرا منهای هشت به اضافه دو برابر است با منهای شش ( -8 + 2 = -6 ). اکنون می توانیم معادله درجه دوم خود را بازنویسی کنیم تا عبارت 6 x را به صورت زیر تقسیم کنیم:

4 x ^ 2 - 8 x + 2 x - 4 = 0

اکنون با یافتن بالاترین عامل مشترک، که در این مورد 4 x است ، دو عبارت اول را تجزیه می کنیم :

4 x ( x - 2)

بالاترین عامل مشترک برای دو جمله آخر خواهد بود :

2 ( x - 2)

بنابراین اکنون عبارات

4 x × ( x - 2)

و

2 × ( x - 2)

را در سمت چپ معادله داریم. از آنجایی که عبارت ( x - 2) برای هر دو عبارت مشترک است، می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

(4 x + 2) ( x - 2) = 0

مجدداً، برای اطمینان از اینکه به درستی تجزیه شده ایم، دوباره پرانتز ها را ضرب می کنیم:

4 x ^ 2 - 8 x + 2 x - 4 = 0

با جمع‌آوری اصطلاحات مشابه، دریافت می‌کنیم:

4 x ^ 2 - 6 x - 4 = 0

این همان معادله اصلی ما است، بنابراین تجزیه ما صحیح است. این بار مقادیر کاندید برای x از یک نیمه یا دو ( x = 1/2 یا x = 2 ) داریم .

تفاوت دو مربع

گاهی اوقات شما با یک معادله درجه دوم روبرو می شوید که در آن ضریب خطی صفر است (یا عبارت bx به طور کلی حذف می شود که معادل همان چیزی است) و جمله ثابت خود یک مربع کامل است. معادلات زیر با این سناریو مطابقت دارند و معادل یکدیگر هستند:

x ^ 2 - 9 = 0

x ^ 2 + 0 x - 9 = 0

از آنجایی که عددی را که یک مربع است از عبارت دیگری که آن هم مربع است کم می کنیم، این وضعیت را اختلاف دو مربع یا گاهی اوقات اختلاف مربع های کامل می نامیم . در مثال بالا، نه (که سه مجذور است ) داریم که از  x مجذور ( x2 ) کم می شود. برای تجزیه چنین عبارتی، ما به دنبال دو عددی هستیم که مجموع آنها صفر است (زیرا ضریب خطی آنها صفر است ) و با ضرب در یک جمله ثابت به دست می‌آیند. در مثال بالا، این اعداد سه و منهای سه خواهند بود. می‌توانیم از این اعداد برای تقسیم عبارت 0 x به دو عبارت جداگانه به شرح زیر استفاده کنیم:

x^  2 + 3 x - 3 x - 9 = 0

اگر دو عبارت اول را فاکتورگیری کنیم، به دست می آید:

x ( x + 3)

تجزیه دو عبارت آخر به دست می آید:

-3 ( x + 3)

بنابراین اکنون عبارات

x × ( x + 3)

و

-3 × ( x + 3)

را در سمت چپ معادله داریم. از آنجایی که عبارت ( x + 3) برای هر دو عبارت مشترک است، می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

( x - 3) ( x + 3) = 0

برای اطمینان از اینکه به درستی تجزیه شده ایم، پرانتز ها را دوباره ضرب می کنیم:

x  ^2 + 3 x - 3 x - 9 = 0

با جمع‌آوری اصطلاحات مشابه، دریافت می‌کنیم:

x ^ 2 - 9 = 0 (یا x  ^2 + 0 x - 9 = 0)

این همان معادله اصلی ما است، بنابراین تجزیه ما صحیح است. ما مقادیر کاندید برای x از سه یا منهای سه ( x = 3 یا x = -3 ) داریم. در معادلات درجه دوم از این نوع:

x ^ 2 - a ^ 2 = 0

معادله همیشه به ( x - a )( x + a ) تجزیه می شود .

دو عبارت در اینجا دارای ضریب مشترک دو هستند، بنابراین می توانیم به صورت زیر فاکتورگیری کنیم:

2 ( x  ^2 - 9) = 0

اصطلاح داخل پرانتز ها باید آشنا به نظر برسد زیرا قبلاً آن را دیده ایم (به بالا مراجعه کنید). بنابراین معادله به صورت زیر فاکتور می گیرد:

2 ( x - 3) ( x + 3) = 0

از آنجایی که آشکارا دو برابر با صفر نیست، ما هنوز وضعیتی داریم که در آن ( x - 3) یا ( x + 3) باید برابر با صفر باشد، بنابراین x یا سه یا منهای سه است ( x = 3 یا x = -3 ). البته یک رویکرد جایگزین این است که در وهله اول هر دو طرف معادله را بر دو تقسیم کنیم تا

x ^ 2 - 9 = 0 بدست آوریم . تغییر دیگری در این موضوع زمانی رخ می دهد که ضریب درجه دوم خود یک مربع کامل باشد، مانند معادله زیر:

9 x  ^2 - 16 = 0

از آنجایی که 9 نیز یک مربع کامل است ( 9 = 3 ^ 2 ) ، ، بنابراین ما هنوز اختلاف دو مربع را در سمت چپ معادله داریم بنابراین می توانیم معادله را به صورت زیر تجزیه کنیم:

9 x ^ 2 - 16 = 0 ⇒ (3 x - 4) (3 x + 4)

مربع های عالی

گاهی اوقات تجزیه یک معادله درجه دوم به یک جمله منفرد در خودش ضرب می شود، یعنی مجذور. معادله زیر را در نظر بگیرید:

x ^ 2 - 8 x + 16 = 0

ما به دنبال دو عدد هستیم که با هم ضرب شوند تا شانزده را بدست آورند و با هم جمع شوند و منهای هشت را بدست آورند . اعداد در این مورد هر دو منهای چهار می شوند ، زیرا منهای چهار ضرب در خودش برابر با شانزده است ، و منهای چهار به علاوه منهای چهار برابر با منهای هشت است ( -4 × -4 = 16 و -4 + (-4) = -8 ). بنابراین می‌توانیم معادله را بازنویسی کنیم و عبارت 8- را به صورت زیر تقسیم کنیم:

x  ^2 - 4 x - 4 x + 16 = 0

با تجزیه دو عبارت اول دریافت می کنیم:

x ( x - 4)

و با فاکتور گرفتن دو عبارت آخر به دست می آوریم:

-4 ( x - 4)

اکنون عبارت های x × ( x - 4) و

-4 × ( x - 4)

را در سمت چپ معادله داریم و می توانیم معادله را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

( x - 4) ( x - 4) = 0 ⇒ ( x - 4)^  2 = 0

اگر دوباره پرانتزها را به صورت دوبررسی ضرب کنیم، به دست می آید:

( x - 4)  ^2 = 0 ⇒ ( x - 4) ( x - 4) = 0 ⇒ x  ^2 - 8 x + 16 = 0

زمانی که عبارت ثابت وجود نداشته باشد

یکی دیگر از مواردی که باید در هنگام تجزیه معادلات درجه دوم در نظر گرفت، وضعیتی است که هیچ ترم ثابتی وجود ندارد. در چنین موردی، باید به دنبال عوامل مشترک با عبارت های درجه دوم و خطی در معادله باشید. یک مثال باید اصل را نشان دهد. معادله درجه دوم زیر را در نظر بگیرید:

3 x ^ 2 - 6 x = 0

هر یک از عبارت های 3 x  2 و -6 x دارای ضریب مشترک 3 x هستند . سپس فاکتور مشترک در خارج از پرانتز ها نوشته می شود و عباراتی که در داخل پرانتز ها ظاهر می شوند انتخاب می شوند تا با ضرب دوباره پرانتز ها معادله اصلی ایجاد شود. در این مثال، ( x و -2 )

خواهد بود:

3 x ( x - 2) = 0

این بدان معنی است که یا 3 x برابر با صفر است، یا x - 2 برابر با صفر است، بنابراین x یا صفر است یا دو .

​

اگر صفحه ای با عنوان "آزمون اولین مشتق" را خوانده باشید، می دانید که ما می توانیم از مشتق اول برای تعیین اینکه آیا یک نقطه بحرانی خاص در نمودار یک تابع حداکثر محلی، حداقل محلی یا هیچکدام از آنها استفاده کنیم. می دانیم که برای حداکثر محلی، شیب یک تابع (که در نهایت همان چیزی است که مشتق اول به ما می دهد) به سمت چپ حداکثر محلی (جایی که مقدار تابع در حال افزایش است) مثبت و به سمت راست منفی خواهد بود. حداکثر محلی (جایی که مقدار تابع در حال کاهش است ). برای حداقل محلی، دقیقا برعکس اتفاق می افتد. شیب رو به کاهش است سمت چپ حداقل محلی و افزایش به سمت راست حداقل محلی.

احتمالاً ارزش این را دارد که بیانیه رسمی‌تر ما را در توصیف اولین آزمون مشتق تکرار کنیم. فرض کنید یک تابع ƒ( x ) داریم که در بازه بسته [ a , b ] پیوسته است و در بازه باز ( a , b ) قابل تمایز است و یک مقدار c وجود دارد به طوری که a < c < b و ( c) وجود دارد. ، ƒ( c )) یک نقطه بحرانی از تابع ƒ( x ) است :

اگر ƒ′( x ) > 0 در سمت چپ ( c , ƒ( c )) و ƒ′( x ) < 0 در سمت راست ( c , ƒ( c )) باشد ، آنگاه ( c , ƒ( c )) حداکثر محلی است.

اگر ƒ′( x ) < 0 در سمت چپ ( c , ƒ( c )) و ƒ′( x ) > 0 در سمت راست ( c , ƒ( c )) باشد ، آنگاه ( c , ƒ( c )) حداقل محلی است.

اگر ƒ′( x ) در سمت چپ و راست ( c , ƒ( c )) علامت یکسانی داشته باشد ، آنگاه ( c , ƒ( c )) نه حداکثر محلی است و نه یک حداقل محلی.

تصویر زیر را در نظر بگیرید. در اینجا نمودار تابع چند جمله ای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و نمودار اولین تابع مشتق آن ƒ′( x ) = 10 x  4 - 30 x  2 را می بینیم . می بینیم که ƒ( x ) دارای دو منتهی الیه محلی است که در جایی رخ می دهند که نمودار ƒ′( x ) محور x را قطع می کند . همچنین دارای یک نقطه عطف در x = 0 است ، جایی که نمودار ƒ′( x ) x را لمس می کند.محور در یک نقطه است، اما آن را قطع نمی کند. از آنجایی که ƒ( x ) یک تابع چند جمله ای است و بنابراین "به خوبی رفتار می کند"، می توانیم تمام نقاط بحرانی آن را با حل ƒ'( x ) = 0 پیدا کنیم . سپس فقط باید اولین آزمون مشتق را برای هر نقطه اعمال کنیم تا مشخص کنیم که آیا حداکثر محلی است، یک حداقل محلی یا هیچکدام.

نمودارهای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و ƒ′( x ) = 10 x  4 - 30 x  2

بنابراین، می دانیم که می توانیم ماهیت یک نقطه بحرانی را با بررسی علامت مشتق اول در دو طرف آن تعیین کنیم. برای اینکه تست کار کند، تابع باید در بازه زمانی تعریف شده پیوسته باشد. همچنین باید فوراً در سمت چپ و راست نقطه بحرانی که آزمون روی آن اعمال می‌شود قابل تمایز باشد، اگرچه لازم نیست اولین مشتق در خود نقطه بحرانی وجود داشته باشد. با این حال، اگر در آنجا وجود داشته باشد ، ممکن است بتوانیم ماهیت نقطه بحرانی را با استفاده از آزمون مشتق دوم به راحتی تعیین کنیم .

همانطور که خواهیم دید، مشتق دوم در یک نقطه از یک منحنی می تواند چیزی در مورد تقعر منحنی در آن نقطه به ما بگوید. به طور کلی، یک قطعه خط منحنی اگر تمام یا بخشی از یک کاسه را تشکیل دهد به سمت بالا مقعر گفته می شود و اگر تمام یا بخشی از یک گنبد را تشکیل دهد، به پایین مقعر گفته می شود. می‌توانیم با نگاه کردن به نمودارهای تابع چند جمله‌ای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و مشتق اول آن را یک بار دیگر توضیح دهیم.

نمودار ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 دارای هر دو ناحیه مقعر بالا و پایین مقعر است.

بیایید رابطه بین نمودار خود تابع و اولین مشتق آن را در نظر بگیریم. از تصویر بالا به وضوح می‌بینیم که برای بازه‌هایی که نمودار تابع به پایین مقعر است، با افزایش x ، مقدار اولین مشتق کاهش می‌یابد . برعکس، برای بازه‌هایی که نمودار تابع در آنها مقعر است، با افزایش x ، مقدار اولین مشتق افزایش می‌یابد . علاوه بر این، نقاطی که در آن تقعر تابع از مقعر به پایین به مقعر به بالا تغییر می کند، هر دو با حداقل های محلی مطابقت دارند.روی نمودار اولین مشتق به طور مشابه، نقطه ای که در آن تقعر تابع از مقعر به بالا به پایین مقعر تغییر می کند ، مطابق با حداکثر محلی در نمودار اولین مشتق است.

ممکن است قبلاً برای شما پیش آمده باشد که مشتق دوم یک تابع (که به یاد داشته باشید، به سادگی مشتق اولین مشتق تابع است) باید در هر انتها محلی از مشتق اول به صفر ارزیابی شود . در واقع قضیه همین است. این بدان معنی است که برای هر تابع پیوسته و دوبار متمایز (توجه داشته باشید که همه توابع را نمی توان دو بار متمایز کرد)، منطقی است که فرض کنیم با یافتن صفرهای تابع مشتق دوم، مختصات x نقاط عطف را به ما می دهد. نمودار تابع اصلی ما - یعنی نقاطی که در آنها تقعر آن از مقعر به پایین تغییر می کندمقعر کردن ، و بالعکس. ما در زیر نمودار تابع چند جمله ای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 را یک بار آخر، این بار همراه با نمودار تابع مشتق دوم آن ƒ′′( x ) = 40 x  3 - 60 x ارائه می کنیم .

نمودارهای ƒ( x ) = 2 x  5 - 10 x  3 و ƒ′′( x ) = 40 x  3 - 60 x

مانند مشتق اول، مشتق دوم می تواند چیزی در مورد آنچه یک تابع در یک نقطه مشخص انجام می دهد به ما بگوید. قبلاً دیده‌ایم که مشتق دوم برای مقادیر x که با نقاط عطف مطابقت دارند (یعنی نقاطی که در آنها تقعر نمودار تابع تغییر می‌کند) به صفر می‌رسد. همچنین می‌توانیم به وضوح از تصویر بالا ببینیم که برای فواصل زمانی که تابع به پایین مقعر است ، مقدار مشتق دوم منفی است . برای بازه هایی که تابع در آنها مقعر است ، مقدار مشتق دوم مثبت است .

بنابراین، می‌توانیم از مشتق دوم استفاده کنیم تا به ما بگوییم که آیا یک تابع در هر نقطه از نمودار تابع مقعر است یا مقعر (یا هیچکدام) - البته به شرطی که تابع در آن نقطه دو بار متمایز باشد. می‌توانیم این را کمی رسمی‌تر بیان کنیم (با استفاده از چیزی که گاهی به عنوان قضیه تقعر شناخته می‌شود ) به صورت زیر:

اگر یک تابع ƒ( x ) دو بار در x = c قابل تمایز باشد ، نمودار ƒ( x ) در ( c , ƒ(c) مقعر است.)) اگر ƒ′′( c ) > 0 , و مقعر اگر ƒ′′( c ) < 0 .

اگر مشتق دوم در یک نقطه معین صفر باشد یا وجود نداشته باشد، نقطه ممکن است یک نقطه عطف باشد، اما تنها در صورتی که تقعر نمودار در هر دو طرف نقطه متفاوت باشد. شرایطی وجود دارد که در آن مشتق دوم می تواند صفر ارزیابی شود و در عین حال یک نقطه عطف نباشد، همانطور که می بینیم اگر به تصویر زیر نگاه کنیم که نمودارهای تابع ƒ( x) = x 4 و مشتق دوم آن را نشان می  دهد . ƒ′′( x ) = 12 x  2 .

نمودارهای ƒ( x ) = x  4 و ƒ′′( x ) = 12 x  2

مشتق دوم تابع در x = 0 به صفر می رسد ، اما خود تابع در اینجا نقطه عطف ندارد. در واقع x = 0 مربوط به حداقل محلی است. شرایطی که تحت آن می توان از مشتقات اول و دوم برای شناسایی یک نقطه عطف استفاده کرد، ممکن است تا حدودی رسمی تر بیان شود، در مواردی که گاهی اوقات به عنوان قضیه نقطه عطف از آن یاد می شود ، به شرح زیر:

اگر نقطه ای در نمودار یک تابع ƒ( x ) وجود داشته باشد که برای آن x = c ، جایی که ƒ′( c ) وجود دارد و ƒ′′( x ) علامت را در x = c تغییر می دهد ، آنگاه نقطه ( c , ƒ( ج )) یک نقطه عطف در نمودار ƒ( x ) است . اگر ƒ′′( c ) در نقطه عطف وجود داشته باشد، ƒ′′( c ) = 0 .

ما می‌توانیم نقاط عطف را با استفاده از مشتق دوم به روشی مشابه با روشی که در آن از مشتق اول برای آزمایش حداکثری محلی استفاده می‌کنیم، آزمایش کنیم. همانطور که قبلاً اشاره کردیم، می‌توانیم از مشتق دوم برای تعیین اینکه آیا یک نقطه بحرانی یک تابع حداکثر محلی یا حداقل محلی است استفاده کنیم. با فرض اینکه بتوان از آن استفاده کرد، آزمون مشتق دوم جایگزین ساده تری برای آزمون مشتق اول ارائه می دهد. اشکال اصلی این است که تنها در صورتی می توان از آن استفاده کرد که معیارهای خاصی رعایت شود.

شاید قبلاً متوجه شده باشید که توانایی استفاده از مشتق دوم برای تعیین تقعر نمودار یک تابع در یک نقطه معین، چیزی است که ما را قادر می سازد از آن برای شناسایی یک نقطه بحرانی در یک تابع به عنوان حداکثر محلی یا یک تابع استفاده کنیم. حداقل محلی اگر در مورد آن فکر کنید، کاملاً واضح است که یک حداکثر محلی باید در قسمتی از نمودار که مقعر است رخ دهد (شما می توانید حداکثر محلی را در بالای یک تپه در نظر بگیرید). به همان اندازه بدیهی است که یک حداقل محلی باید در قسمتی از نمودار که به سمت بالا مقعر است رخ دهد (شما می توانید حداقل محلی را در پایین یک دره تصور کنید).

پس از شناسایی یک نقطه ثابت روی یک تابع، تنها کاری که ما باید انجام دهیم تا مشخص کنیم که حداکثر محلی یا حداقل محلی است، این است که مشتق دوم را در آن نقطه بگیریم. اگر مثبت باشد ، حداقل محلی داریم، زیرا نمودار در آن نقطه به سمت بالا مقعر است . اگر منفی باشد ، حداکثر محلی داریم، زیرا نمودار به پایین مقعر است . البته اگر مشتق دوم صفر باشد ، نمی‌توانیم نتیجه‌گیری مفیدی داشته باشیم. در این صورت، ما باید چیز دیگری را امتحان کنیم، اما به زودی به آن باز خواهیم گشت. ما می توانیم آزمون مشتق دوم را به صورت رسمی تر توصیف کنیم:

برای یک تابع ƒ( x ) که دو بار در یک نقطه ثابت که برای آن x = c قابل تمایز است :

اگر ƒ′′( c ) > 0 , آنگاه ƒ( x ) دارای حداقل محلی در x = c است .

اگر ƒ′′( c ) < 0 , آنگاه ƒ( x ) دارای حداکثر محلی در x = c است .

اگر ƒ′′( c ) = 0 باشد ، آزمون بی نتیجه است.

همانطور که قبلاً بیان کردیم، قبل از استفاده از آزمون مشتق دوم، شرایط خاصی وجود دارد که باید رعایت شوند. شرط اول این است که هم مشتق اول و هم مشتق دوم باید در نقطه بحرانی که می‌خواهیم آزمایش کنیم وجود داشته باشند. با فرض انجام این کار، مشتق اول باید صفر ارزیابی شود، در حالی که مشتق دوم نباید صفر ارزیابی شود. به عبارت دیگر، برای یک نقطه بحرانی که در x = c رخ می دهد ، جملات ƒ′( c ) = 0 و ƒ′′( c ) ≠ 0 باید صادق باشند. اگر هر یک از این شرایط برآورده نشد، باید به پلان B برگردیم، که معمولاً به معنای استفاده از آن استاولین آزمون مشتق برای تعیین ماهیت نقطه بحرانی.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. ما سعی خواهیم کرد از آزمون مشتق دوم برای شناسایی حداکثر و مینیمم محلی تابع ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 استفاده کنیم . از آنجایی که این یک تابع چند جمله ای است، می دانیم که "به خوبی رفتار می کند". ما با یافتن نقاط بحرانی تابع شروع می کنیم، به این معنی که باید ریشه های اولین تابع مشتق را پیدا کنیم. با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′( x ) = 4 x  3 - 16 x

حال باید معادله را حل کنیم:

4 x  3 - 16 x = 0

ما بلافاصله می توانیم عبارت 4 x را فاکتور کنیم :

4 x ( x  2 - 4) = 0

این مقادیر ممکن برای x از -2 ، 0 و 2 به ما می دهد . اکنون باید این مقادیر را به مشتق دوم متصل کنیم که با متمایز کردن مشتق اول آن را پیدا می کنیم. با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′′( x ) = 12 x  2 - 16

با وصل کردن مقادیر x نقاط بحرانی خود به تابع مشتق دوم، دریافت می کنیم:

ƒ′′(-2) = (12)(-2  2 ) - 16 = 32

ƒ′′(0) = (12)(0  2 ) - 16 = -16

ƒ′′(2) = (12)(2  2 ) - 16 = 32

با اعمال آزمون مشتق دوم، متوجه می‌شویم که تابع ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 دارای حداقل محلی در x = -2 است (زیرا مشتق دوم در اینجا مثبت است)، حداکثر محلی در x = 0 (ثانیه مشتق منفی است)، و حداقل محلی دوم در x = 2 (مشتق دوم مثبت است). ما می توانیم مقادیر واقعی تابع را در این نقاط با وصل کردن مقادیر x به تابع اصلی پیدا کنیم:

ƒ(-2) = -2  4 - (8)(-2  2 ) = 16 - 32 = -16

ƒ(0) = 0  4 - (8) (0  2 ) = 0 - 0 = 0

ƒ(2) = 2  4 - (8) (2  2 ) = 16 - 32 = -16

بنابراین، در نمودار تابع ما حداقل های محلی در مختصات (2-, -16) و (2, -16) و حداکثر محلی در (0, 0) خواهیم داشت . ما در زیر نمودار تابع ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 را همراه با مشتقات اول و دوم آن ارائه می کنیم. برای این تابع، می‌توانیم ببینیم که صفرهای مشتق دوم در واقع به نظر می‌رسد که با نقاط عطف در نمودار تابع مطابقت دارند. با این حال، همیشه اینطور نخواهد بود. همانطور که با نمودار تابع ƒ( x ) = x  4 دیدیم، صفرهای مشتق دوم نیز می توانند در حداکثر یا حداقل محلی یک تابع رخ دهند.

نمودارهای ƒ( x ) = x  4 - 8 x  2 ، ƒ′( x ) = 4 x  3 - 16 x و ƒ′′( x ) = 12 x  2 - 16

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. این بار سعی می کنیم از مشتق دوم برای طبقه بندی نقاط بحرانی تابع ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 استفاده کنیم . ما همچنین سعی خواهیم کرد نقاط عطف را شناسایی کنیم. یک بار دیگر، چون این یک تابع چند جمله ای است، می دانیم که "به خوبی رفتار می کند"، یعنی هم پیوسته و هم قابل تمایز برای تمام x ها خواهد بود . ابتدا مختصات x نقاط بحرانی تابع را با یافتن ریشه های اولین تابع مشتق بدست می آوریم . با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′( x ) = 15 x  4 - 15 x  2

حال باید معادله را حل کنیم:

15 x  4 - 15 x  2 = 0

ما بلافاصله می توانیم عبارت 15 x  2 را در نظر بگیریم :

15 x  2 ( x  2 - 1) = 0

این مقادیر ممکن برای x از منهای یک ، صفر و یک به ما می دهد . حال باید این مقادیر را به مشتق دوم متصل کنیم که با متمایز کردن مشتق اول آن را پیدا می کنیم. با اعمال قوانین اساسی تمایز، دریافت می کنیم:

ƒ′′(x) = 60 x  3 - 30 x

با وصل کردن مقادیر x ، دریافت می کنیم:

ƒ′′(-1) = (60)(-1  3 ) - (-30) = -30

ƒ′′(0) = (60)(0  3 ) - 0 = 0

ƒ′′(1) = (60)(1  3 ) - 30 = 30

بنابراین، با اعمال آزمون مشتق دوم، متوجه می‌شویم که تابع ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 دارای حداکثر محلی در x = -1 است (زیرا مشتق دوم در اینجا منفی است)، و حداقل محلی در x = 1 (که در آن مشتق دوم مثبت است). ما می توانیم مقادیر واقعی تابع را در این نقاط با وصل کردن مقادیر x به تابع اصلی پیدا کنیم:

ƒ(-1) = (3)(-1  5 ) - (5)(-1  3 ) + 3 = -3 - (-5) + 3 = 5

ƒ(1) = (3)(1  5 ) - (5)(1  3 ) + 3 = 3 - 5 + 3 = 1

از آنجایی که مشتق دوم در x = 0 به صفر ارزیابی می شود، آزمون مشتق دوم برای این نقطه بحرانی خاص بی نتیجه است. ما نمی‌توانیم بگوییم که این یک حداکثر محلی، یک حداقل محلی یا یک نقطه عطف است، و در عوض باید به اولین آزمون مشتق برگردیم تا ماهیت آن مشخص شود. ما قبلا هم اولین تابع مشتق و هم لیستی از نقاط بحرانی تابع را بدست آورده ایم. فقط باید علامت اولین مشتق را بلافاصله در دو طرف x = 0 پیدا کنیم . ابتدا یک مقدار دلخواه بین منهای یک و صفر ( xمختصات دو نقطه بحرانی اول) و آن را به تابع مشتق اول وصل کنید. ما از منهای صفر-نقطه-پنج ( -0.5 ) استفاده می کنیم که به ما نشان می دهد:

ƒ′(-0.5) = (15)(-0.5  4 ) - (15)(-0.5  2 ) = -2.8125

بنابراین، اولین تابع مشتق یک مقدار منفی را بلافاصله در سمت چپ x = 0 برمی گرداند . حالا یک مقدار دلخواه بین صفر و یک ( مختصات x دو نقطه بحرانی آخر) را انتخاب می کنیم و آن را به تابع مشتق اول متصل می کنیم. ما از نقطه صفر پنج ( 0.5 ) استفاده می کنیم که به ما می دهد:

ƒ′(0.5) = (15)(0.5  4 ) - (15)(0.5  2 ) = -2.8125

بنابراین، اولین تابع مشتق نیز یک مقدار منفی را بلافاصله در سمت راست x = 0 برمی گرداند . بنابراین اولین آزمایش مشتق به ما می گوید که نقطه بحرانی در x = 0 نه حداکثر محلی است و نه یک حداقل محلی. اما آیا این یک نقطه عطف است؟ قضیه نقطه عطف را که در بالا بیان کردیم را به خاطر بسپارید . به ما می گوید که اگر نقطه ای در نمودار تابعی داشته باشیم که مشتق اول وجود داشته باشد و مشتق دوم علامت آن را تغییر دهد، آن نقطه باید یک نقطه عطف باشد. می دانیم که اولین مشتق در x = 0 وجود دارد. فقط باید بررسی کنیم که آیا مشتق دوم علامت آن را تغییر می دهد یا خیر. ما با یافتن صفرهای تابع مشتق دوم شروع می کنیم، زیرا فقط در این نقاط است که علامت مشتق دوم واقعاً می تواند تغییر کند. برای این کار معادله را حل می کنیم:

60 x  3 - 30 x = 0

ما می توانیم بلافاصله عبارت 30 x را فاکتور کنیم :

30 x (2 x  2 - 1) = 0

این مقادیر ممکن را برای x از 0.707-، 0 و 0.707 به ما می دهد . مشتق دوم مقدار صفر را در x = 0 برمی گرداند ، به این معنی که مطمئناً می تواند علامت متفاوتی در هر دو طرف این نقطه داشته باشد، اما آیا اینطور است؟ ما می توانیم با انتخاب مقادیر مناسب x در سمت چپ و راست x = 0 و وصل کردن آنها به تابع مشتق دوم، متوجه شویم . ما از مقادیر منهای صفر-نقطه-پنج و صفر-نقطه-پنج استفاده خواهیم کرد . این نتایج زیر را به ما خواهد داد:

ƒ′′(-0.5) = (60)(-0.5  3 ) - (30)(-0.5) = -7.5 + 15 = 7.5

ƒ′′(0.5) = (60)(0.5  3 ) - (30)(0.5) = 7.5 - 15 = -7.5

بنابراین مشتق دوم واقعاً علامت را در x = 0 تغییر می دهد و بنابراین باید یک نقطه عطف باشد. آزمایش مقادیر بازگردانده شده توسط مشتق دوم به دو طرف هر یک از دو نقطه بحرانی دیگر، تأیید می کند که آنها نیز با نقاط عطف در نمودار تابع اصلی مطابقت دارند. شما می توانید روابط بین نمودار تابع ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 و روابط مشتقات اول و دوم آن را در تصویر زیر مشاهده کنید.

نمودارهای ƒ( x ) = 3 x  5 - 5 x  3 + 3 ، ƒ′( x ) = 15 x  4 - 15 x  2 ، و ƒ′′(x) = 60 x  3 – 30 x

منبع

https://www.technologyuk.net/mathematics/differential-calculus/second-derivative-test.shtml

آزمون مشتق دوم برای تعیین اینکه آیا یک نقطه بحرانی یک تابع یک حداقل یا حداکثر محلی است با استفاده از تقعر تابع و همچنین مشتق اول آن استفاده می شود. به یاد بیاورید که مشتق یک تابع میزان تغییر تابع را نشان می دهد. اولین مشتق f'(x) نرخ تغییر f(x ) یا شیب آن است، در حالی که مشتق دوم f'(x) نشان دهنده نرخ تغییر f'(x) و همچنین تقعر f(x).

اکسترم های محلی در نقاطی از تابع که مشتق آن تغییر نمی کند رخ می دهد، یا f'(x) = 0. از این نقاط به عنوان نقاط بحرانی یاد می شود. اگر ماکزیمم و مینیمم محلی را در نظر بگیریم، این منطقی است. برای اینکه یک تابع در نقطه ای از یک بازه حداکثر محلی داشته باشد، تمام نقاط اطراف آن بازه باید کمتر از نقطه مورد نظر باشند. به طور مشابه، برای اینکه یک تابع در نقطه ای از یک بازه یک حداقل محلی داشته باشد، تمام نقاط اطراف باید بالاتر باشند. بنابراین، ماکزیمم و مینیمم فقط در نقاطی رخ می دهد که شیب تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد. در غیر این صورت، نقطه نمی تواند حداکثر یا حداقل باشد زیرا نقاط اطراف بالاتر و پایین تر از نقطه مورد نظر خواهند بود.

در حالی که مشتق اول به ما کمک می کند تا نقاطی را که یک تابع ممکن است دارای یک انتها محلی باشد، تعیین کنیم، مشتق دوم تقعر در نقاط گفته شده را به ما می گوید:

• اگر f''(x) مثبت باشد ، f'(x) در حال افزایش است ، و نمودار تابع، f(x)، به سمت بالا مقعر است .
• اگر f''(x) منفی باشد ، f'(x) کاهش می یابد ، و نمودار تابع، f(x) مقعر است .

سپس می توان از تقعر در یک نقطه معین برای تعیین اینکه آیا نقطه حداکثر محلی، حداقل یا چیز دیگری است استفاده کرد. شکل زیر را در نظر بگیرید:

همانطور که از شکل مشاهده می شود، اگر f(x) در یک بازه به سمت بالا مقعر باشد، یک حداقل محلی در آن بازه دارد. اگر f(x) در یک بازه به پایین مقعر باشد، در آن بازه حداکثر محلی دارد. استفاده از مشتق اول برای یافتن نقاط بحرانی، سپس استفاده از مشتق دوم برای تعیین تقعر در آن نقاط، اساس آزمون مشتق دوم است.

آزمون مشتق دوم:

فرض کنید f(x) تابعی باشد که هم f'(x) و هم f''(x) وجود داشته باشد. برای تمام نقاط بحرانی، f'(x) = 0،

• اگر f''(x) > 0، f(x) در آن نقطه حداقل محلی دارد.
• اگر f''(x) < 0، f(x) دارای حداکثر محلی در آن نقطه است.
• اگر f''(x) = 0 در یک نقطه بحرانی، آنگاه آزمون بی نتیجه است. اگر علامت f''(x) از منفی به مثبت یا برعکس تغییر کند، ممکن است نقطه یک نقطه عطف باشد. اگر علامت تغییر نکند، تقعر f(x) ثابت می ماند و نقطه نقطه عطف نیست.

مثال

هر حداکثر نسبی را برای f(x) = 3x ^5 - 5x ^3 بیابید .

ابتدا نقاط بحرانی را با حل f'(x) = 0 پیدا کنید:

با تنظیم هر عامل برابر با 0 و حل x، متوجه می‌شویم که x = -1، 1 یا 0. اینها نقاط بحرانی f(x) هستند، و جایی که تابع ممکن است حداقل یا حداکثر داشته باشد.

بعد، مشتق دوم f(x) را پیدا کنید و مقدار f''(x) را برای هر نقطه بحرانی تعیین کنید:

بنابراین، طبق آزمون مشتق دوم، f(x) دارای حداکثر در x = -1 و حداقل در x = 1 است. در x = 0، نتیجه آزمون مشتق دوم غیرقطعی است. برای تعیین اینکه x = 0 یک نقطه عطف است یا خیر، با انتخاب یک نقطه آزمایش در بازه مناسب، تقعر f(x) را قبل و بعد از نقطه عطف آزمایش کنید. از آنجایی که نقاط بحرانی 1-، 0 و 1 هستند، فواصلی که باید آزمایش کنیم (1-، 0) و (0، 1) است. در این فواصل، تقعر تغییر نمی کند، بنابراین ما فقط باید یک مقدار را در هر بازه آزمایش کنیم. با انتخاب x = -0.5 و 0.5، تقعر در فواصل مربوطه عبارتند از:

بنابراین، f(x) در بازه (1-، 0) به سمت بالا مقعر و در بازه (0، 1) به پایین مقعر است. از آنجایی که تقعر در x = 0 از مقعر به بالا به مقعر تغییر می کند، x = 0 یک نقطه عطف است. توجه داشته باشید که تغییر f''(x) از مثبت به منفی یا بالعکس، مهم نیست. تا زمانی که علامت تغییر کند، نقطه بحرانی یک نقطه عطف است. در زیر نمودار f(x) آمده است:

بررسی اجمالی آموزش

این آموزش به سه بخش تقسیم می شود؛ آن ها هستند:

1. تعریف و نمادی که برای مشتقات توابع استفاده می شود
2. نحوه محاسبه مشتق یک تابع با استفاده از تعریف
3. چرا برخی از توابع در یک نقطه مشتق ندارند؟

مشتق تابع چیست؟

به عبارت بسیار ساده، مشتق تابع f(x) نرخ تغییر آن را نشان می‌دهد و با f'(x) یا df/dx نشان داده می‌شود. بیایید ابتدا به تعریف آن و یک تصویر تصویری از مشتق نگاه کنیم.

تصویری از تعریف یک مشتق تابع

در شکل Δx نشان دهنده تغییر در مقدار x است. ما فاصله بین x و (x+Δx) را کوچکتر و کوچکتر می کنیم تا زمانی که بینهایت کوچک شود. بنابراین، ما محدودیت داریم (Δ𝑥 0). صورت‌گر f(x+Δx)-f(x) تغییر متناظر در مقدار تابع f را در بازه Δx نشان می‌دهد. این باعث می شود که مشتق تابع f در نقطه x، نرخ تغییر f در آن نقطه باشد.

نکته مهمی که باید به آن توجه داشت این است که Δx، تغییر x می تواند منفی یا مثبت باشد. از این رو:

0<|Δx|< 𝜖،

جایی که 𝜖 یک مقدار بی نهایت کوچک است.

درباره علامت گذاری

مشتق یک تابع را می توان با f'(x) و df/dx نشان داد. نیوتن غول ریاضی از f'(x) برای نشان دادن مشتق یک تابع استفاده کرد. لایب نیتس، یکی دیگر از قهرمانان ریاضی، از df/dx استفاده کرد. بنابراین df/dx یک عبارت واحد است که نباید با کسری اشتباه گرفته شود. به عنوان مشتق تابع f نسبت به x خوانده می شود و همچنین نشان می دهد که x متغیر مستقل است.

ارتباط با سرعت

یکی از متداول‌ترین نمونه‌هایی که از مشتقات ذکر شده، سرعت است. سرعت، میزان تغییر فاصله زمانی است. بنابراین اگر f(t) نشان دهنده مسافت طی شده در زمان t باشد، آنگاه f'(t) سرعت در زمان t است. بخش های زیر نمونه های مختلفی از محاسبه مشتق را نشان می دهد.

مثال های مشتق

روش یافتن مشتق تابع را تمایز می گویند. در این بخش، خواهیم دید که چگونه می توان از تعریف مشتق برای یافتن مشتق توابع مختلف استفاده کرد. بعداً، وقتی با تعریف راحت‌تر شدید، می‌توانید از قوانین تعریف‌شده برای مشتق گیری یک تابع استفاده کنید.

مثال 1: m(x) = 2x+5

بیایید با یک مثال ساده از یک تابع خطی m(x) = 2x+5 شروع کنیم. می‌توانیم ببینیم که m(x) با یک نرخ ثابت تغییر می‌کند. ما می توانیم این تابع را به صورت زیر مشتق گیری کنیم.

مشتق m(x) = 2x+5

شکل بالا نشان می دهد که تابع m(x) چگونه در حال تغییر است و همچنین نشان می دهد که مهم نیست کدام مقدار از x، نرخ تغییر m(x) را انتخاب می کنیم همیشه 2 باقی می ماند.

مثال 2: g(x) = x^2

فرض کنید تابع g(x) را داریم: g(x) = x^2. شکل زیر نحوه محاسبه مشتق g(x) را نشان می دهد. همچنین نمودار تابع و مشتق آن در شکل وجود دارد.

مشتق g(x) = x^2

به عنوان g'(x) = 2x، بنابراین g'(0) = 0، g'(1) = 2، g'(2) = 4 و g'(-1) = -2، g'(-2) = -4

از شکل می بینیم که مقدار g(x) برای مقادیر منفی بزرگ x بسیار بزرگ است . وقتی x <0، افزایش x باعث کاهش g(x) و از این رو g'(x) < 0 برای x<0 می شود. نمودار برای x=0 مسطح می شود، جایی که مشتق یا نرخ تغییر g(x) صفر می شود. هنگامی که x> 0، g(x) با افزایش x به طور درجه دوم افزایش می یابد، و از این رو، مشتق نیز مثبت است.

مثال 3: h(x) = 1/x

فرض کنید تابع h(x) = 1/x را داریم. در زیر مشتق h(x) (برای x ≠0) و شکلی که مشتق را نشان می دهد نشان داده شده است. منحنی آبی نشان دهنده h(x) و منحنی قرمز مشتق مربوط به آن است.

مشتق h(x) = 1/x

مشتق و پیوستگی

برای مثال 3، تابع h(x) = 1/x در نقطه x=0 تعریف نشده است. بنابراین، مشتق آن نیز در x=0 تعریف نشده است. اگر تابعی در نقطه ای پیوسته نباشد، در آن نقطه مشتق ندارد. در زیر چند سناریو وجود دارد که در آن یک تابع قابل مشتق گیری نیست:

1. اگر تابع در نقطه ای تعریف نشده باشد
2. عملکرد در آن نقطه محدودیتی ندارد
3. اگر تابع در نقطه ای پیوسته نباشد
4. تابع دارای یک پرش ناگهانی در یک نقطه است

در زیر چند نمونه آورده شده است:

نمونه هایی از نقاطی که هیچ مشتقی در آنها وجود ندارد

اسکناس های سری 2003 به بعد که در حال حاضر در چرخه مالی کشور عراق حضور دارند:

اسکناس 50 دینار عراق

اسکناس 50 دینار عراق

اسکناس 50 دینار عراق

ارزش ریالی 50 دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

اسکناس 250 دینار عراق

اسکناس 250 دینار عراق

روی این اسکناس تصویر Astrolabe ، یک قطب نمای باستانی اختراع شده توسط یونانیان وجود دارد. رنگ غالب اسکناس آبی است.

اسکناس 250 دینار عراق

پشت این اسکناس تصویر مسجد جامع باستانی سامره به چشم می خورد.

ارزش ریالی 250دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

اسکناس 500 دینار عراق

اسکناس 500 دینار عراق

روی این اسکناس سبزآبی تصویر سد دوکان دیده می شود، این سد روی رود زاب کوچک ساخته شده است.

اسکناس 500 دینار عراق

ارزش ریالی500دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

پشت این اسکناس تصویر گاو بالدار (lamassu) دیده می شود.
گاو بالدار یا لاماسو در اساطیر کهن یک خدای محافظ بوده است، که معمولاً با گاو نر، بدن شیر، بال عقاب و سر انسان نشان داده شده است. در فرهنگ‌های مختلف به نام‌ها و شکل‌های گوناگون وجود دارد. از جمله این فرهنگ‌ها می‌توان به پارسی آشوری، هندی، یونانی و مصری نام برد همچنین نمونه‌هایی از آن‌ها در برخی از فرهنگ‌های اروپایی نیز وجود دارد. در برخی از نوشته‌ها آن را به صورت یک خدای زن به تصویر کشیده‌اند.

اسکناس 1000 دینار عراق

اسکناس 1000 دینار عراق

روی این اسکناس قهوه ای رنگ تصویر سکه دینار طلا وجود دارد.
اولین سکه‌های طلای قابل انتساب به مسلمانان کپی‌های درهم‌های نقرهٔ یزدگرد سوم فرمانروای ساسانی است که در دورهٔ خلافت عثمان بن عفان ضرب شده‌اند. تقاوت این سکه‌ها با نمونه‌های اصلی در نوشته‌های عربی یافت شده در حاشیه‌های آن است که معمولاً نوشته «بسم الله». اولین سکه‌های طلای ضرب شده با استاندارد کنونی ۴٫۴ گرم و با یک یا چند نشان عربی به تاریخ ۷۴ هجری بودند و دینار نام داشتند.

اسکناس 1000 دینار عراق

ارزش ریالی 1000دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

اسکناس 5000 دینار عراق

اسکناس 5000 دینار عراق

اسکناس 5000 دینار عراق

ارزش ریالی 5000دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

اسکناس 10000 دینار عراق

اسکناس 10000 دینار عراق

روی این اسکناس سبز رنگ تصویر بوعلی محمد بن حسن بن هیثم بصری، ناموَر به ابن هیثم (۳۵۴–۴۳۰) از بزرگترین ریاضیدانان، و بنا بر دائرةالمعارف الاسلامیه بی گمان بهترین فیزیکدان مسلمان عرب یا ایرانی است. او اولین دانشمند فیزیک نور در جهان است که در زمینه شناخت نور و قانون‌های شکست و بازتاب آن نقش مهمی ایفا کرده‌ است.

اسکناس 10000 دینار عراق

ارزش ریالی 10000دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

اسکناس 25000 دینار عراق

اسکناس 25000 دینار عراق

اسکناس 25000 دینار عراق

ارزش ریالی 25000دینار عراقی در امروز را حساب کنید (به سایت های ارز مراجعه شود)

اسکناس ربع دینار (1/4 دینار) ، اسکناس نصف دینار (1/2 دینار) ،اسکناس یک، پنج، ده، بیست و پنج، پنجاه، صد و 10.000،5.000،1.000،500،250, 25000و 50000دینار را به ریال تبدیل کنید.

توضیح: ستون سمت چپ دینار است و هر عدد در 365 ریال ضرب می شود تا ستون سمت راست بدست آیدکه برحسب ریال است.

توضیح:برای تبدیل به تومان یک رقم یکان را حذف کنید

10000x365=3650000ریال

که مساوی 365000 تومان است.

25000x365=9125000ریال

که مساوی 912500 تومان است.