دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی  

متوجه شدم. درخواست شما طرح مسائلی پیرامون احتمال شرطی است، اما پاسخ‌ها باید کاملاً توصیفی و بدون استفاده از نمادها یا فرمول‌های ریاضیاتی ارائه شوند. در اینجا سه مثال تشریحی برای توضیح مفهوم احتمال شرطی ارائه شده است:

۱. مسئلهٔ مقدماتی: کارت‌های بازی 🃏

صورت مسئله

فرض کنید یک دسته کارت (۴ آس، ۴ شاه، ۴ بی بی، و ۴ سرباز) داریم که مجموعاً ۱۶ کارت هستند. ما می‌دانیم که کارتی که به صورت تصادفی کشیده‌اید، یک آس یا یک شاه است. حال، با دانستن این اطلاعات، احتمال اینکه کارت کشیده شده دقیقاً آس باشد چقدر است؟

تحلیل توصیفی (احتمال شرطی)

1. فضای اولیه: در ابتدا، ۱۶ کارت در دست داریم (۴ آس، ۴ شاه، ۴ بی بی، ۴ سرباز).

2. اطلاعات شرطی (شرط E): به ما گفته شده است که کارت کشیده شده حتماً یکی از آس‌ها یا شاه‌ها است. این اطلاعات، فضای نمونهٔ ما را محدود می‌کند.

3. فضای جدید (کاهش‌یافته): اکنون، تنها ۸ کارت می‌توانند پاسخ باشند (۴ آس + ۴ شاه). کارت‌های بی بی و سرباز کاملاً از دایرهٔ احتمال خارج شده‌اند.

4. پیشامد مورد نظر: ما می‌خواهیم احتمال اینکه کارت آس باشد را بدانیم.

5. نتیجه: در فضای نمونهٔ جدید (که ۸ کارت دارد)، تعداد آس‌ها ۴ عدد است. بنابراین، احتمال مورد نظر، تعداد آس‌ها نسبت به کل کارت‌های مجاز (آس و شاه) است.

پاسخ توصیفی: اگر می‌دانیم کارت کشیده‌شده آس یا شاه است، احتمال اینکه آس باشد، چهار از هشت (یا یک دوم) خواهد بود، زیرا تعداد آس‌ها نصف کل کارت‌های مجاز است.

۲. مسئلهٔ متوسط: تشخیص بیماری کمیاب 🩺

صورت مسئله

فرض کنید یک بیماری بسیار نادر (که فقط در ۱ نفر از ۱۰۰ نفر شایع است) وجود دارد. یک آزمایش جدید برای این بیماری ساخته شده است که در تشخیص افراد بیمار بسیار خوب عمل می‌کند (۹۹٪ مواقع درست می‌گوید)، اما متأسفانه ۱۰٪ مواقع به اشتباه به افراد سالم نیز نتیجهٔ مثبت می‌دهد. اگر شما این آزمایش را انجام دهید و نتیجه مثبت شود، احتمال ابتلای شما به بیماری چقدر است؟

تحلیل توصیفی (قضیهٔ بیز)

1. شیوع اولیه (پایه): بیماری بسیار نادر است (۱ از ۱۰۰). این بیشترین تأثیر را بر احتمال نهایی دارد.

2. تأثیر آزمایش بر افراد سالم (مثبت کاذب): آزمایش در ۱۰ نفر از هر ۱۰۰ فرد سالم، به اشتباه مثبت می‌شود.

3. تصور یک جمعیت: فرض کنید ۱۰۰۰ نفر را آزمایش می‌کنیم:

   • تعداد واقعی بیماران: حدود ۱۰ نفر. از این ۱۰ نفر، آزمایش ۹۹٪ مواقع (حدود ۱۰ نفر) را درست مثبت می‌کند.

   • تعداد واقعی سالم‌ها: حدود ۹۹۰ نفر.

   • تعداد مثبت‌های کاذب: آزمایش ۱۰٪ از ۹۹۰ نفر سالم (حدود ۹۹ نفر) را به اشتباه مثبت می‌کند.

4. فضای مثبت‌ها: کل نتایج مثبت در این ۱۰۰۰ نفر، حاصل جمع مثبت‌های درست (از بیماران، حدود ۱۰ نفر) و مثبت‌های کاذب (از سالم‌ها، حدود ۹۹ نفر) است؛ یعنی حدود ۱۰۹ نفر.

5. احتمال شرطی: از بین تمام افرادی که نتیجهٔ آزمایش آن‌ها مثبت شده (۱۰۹ نفر)، فقط ۱۰ نفر واقعاً بیمار هستند.

پاسخ توصیفی: با وجود مثبت شدن آزمایش، احتمال اینکه شما واقعاً بیمار باشید، بسیار کم است؛ زیرا تعداد مثبت‌های کاذب (افراد سالم با نتیجه مثبت) در جمعیت بسیار زیاد است و بر کل نتایج مثبت غلبه می‌کند. احتمال ابتلای واقعی شما، حدوداً ۱۰ از ۱۰۹ نفر است که این میزان به مراتب کمتر از نود درصد یا حتی ۵۰٪ است.

۳. مسئلهٔ پیشرفته: کارت‌های رنگی در جعبه 🎨

صورت مسئله

سه جعبه در مقابل شما قرار دارد که هر کدام دو کارت در خود جای داده‌اند:

• جعبه ۱ (GG): دو کارت سبز

• جعبه ۲ (RR): دو کارت قرمز

• جعبه ۳ (GR): یک کارت سبز و یک کارت قرمز

شما به صورت تصادفی یکی از جعبه‌ها را انتخاب کرده و سپس به صورت تصادفی یکی از دو کارت آن جعبه را بیرون می‌کشید. اگر ببینید که کارت بیرون کشیده‌شده قرمز است، احتمال اینکه کارت دیگر باقی‌مانده در همان جعبه نیز قرمز باشد چقدر است؟

تحلیل توصیفی (استدلال به جای فرمول)

1. فضای اولیه: سه جعبه وجود دارد و احتمال انتخاب هر یک یک سوم است. در مجموع، شش کارت داریم که سه تا قرمز و سه تا سبز هستند.

2. اطلاعات شرطی (شرط E): می‌دانیم کارتی که بیرون آمده قرمز است. این بدان معناست که جعبهٔ انتخابی شما نمی‌تواند جعبهٔ ۱ (GG) باشد.

3. فضای جدید (کارت‌های قرمز ممکن): این کارت قرمز کشیده‌شده از یکی از سه کارت قرمز موجود در کل جعبه‌ها آمده است:

   • کارت RA​ (از جعبهٔ ۲)

   • کارت RB​ (از جعبهٔ ۲)

   • کارت RC​ (از جعبهٔ ۳)

4. پیشامد مورد نظر: می‌خواهیم بدانیم که کارت باقی‌مانده در همان جعبه نیز قرمز است.

   • اگر کارت کشیده‌شده RA​ یا RB​ باشد (یعنی جعبهٔ ۲ انتخاب شده باشد)، کارت باقی‌مانده قرمز خواهد بود. (۲ حالت)

   • اگر کارت کشیده‌شده RC​ باشد (یعنی جعبهٔ ۳ انتخاب شده باشد)، کارت باقی‌مانده سبز خواهد بود. (۱ حالت)

پاسخ توصیفی: در کل، سه حالت وجود دارد که شما بتوانید یک کارت قرمز بکشید. در دو مورد از این سه حالت (زمانی که جعبهٔ دو کارت قرمز را انتخاب کرده باشید)، کارت باقی‌مانده نیز قرمز خواهد بود. بنابراین، احتمال مورد نظر دو سوم است.

مثال احتمال شرطی (Conditional Probability)

احتمال شرطی، احتمال وقوع یک رویداد (B) است، به شرطی که بدانیم رویداد دیگری (A) از قبل اتفاق افتاده است. این احتمال با نماد P(B|A) نشان داده می‌شود.

مثال: سکه پرتاب شده و تاس ریخته شده 🎲

فرض کنید دو عمل مستقل انجام می‌دهیم:

1. پرتاب یک سکه سالم (H: شیر، T: خط).

2. ریختن یک تاس سالم (اعداد ۱ تا ۶).

حال، می‌خواهیم احتمال وقوع دو رویداد را به صورت شرطی بررسی کنیم.

سناریو: محاسبه

P({عدد تاس زوج باشد} | {سکه شیر آمده باشد})

تعریف رویدادها:

• رویداد A: سکه، شیر (H) آمده است.

• رویداد B: عدد تاس، زوج (۲، ۴ یا ۶) آمده است.

ما می‌خواهیم P(B|A) را محاسبه کنیم.

۱. رویداد A (سکه شیر آمده باشد)

احتمال اینکه سکه، شیر بیاید، بدون توجه به تاس:

P(A) = P({شیر}) = 1/2

۲. رویداد B (عدد تاس زوج باشد)

احتمال اینکه عدد تاس زوج باشد، بدون توجه به سکه:

P(B) = تعداد اعداد زوج/تعداد کل حالات = 3/6 = 1/2

(اعداد زوج: {۲، ۴، ۶})

۳. محاسبه احتمال شرطی P(B|A)

فرمول کلی احتمال شرطی به این صورت است:

P(B|A) = P(A nB)/P(A)

در این مثال، چون پرتاب سکه و ریختن تاس دو رویداد مستقل هستند (نتیجه یکی بر دیگری تأثیری ندارد):

• وقوع رویداد A (شیر آمدن) هیچ تأثیری بر احتمال وقوع رویداد B (زوج بودن تاس) ندارد.

بنابراین، برای رویدادهای مستقل، احتمال شرطی برابر با احتمال وقوع خود رویداد است:

P(B|A) = P(B)

نتیجه:

P( | {سکه شیر آمده باشد}) = P({عدد تاس زوج باشد}) =1/2

متوجه شدم. شما درخواست طرح مسائلی پیرامون احتمال شرطی (Problems concerning Conditional Probability) را دارید. 🧠

در اینجا سه مسئله با سطوح دشواری متفاوت (مقدماتی، متوسط، و پیشرفته) در حوزه احتمال شرطی ارائه شده است.

۱. مسئلهٔ مقدماتی: آزمایش پزشکی (تشخیص بیماری)

صورت مسئله

فرض کنید یک بیماری خاص در ۱ درصد (P(B)=0.01) از جامعه وجود دارد. یک آزمایش پزشکی برای تشخیص این بیماری طراحی شده است که دارای ویژگی‌های زیر است:

• حساسیت (Sensitivity): اگر فرد بیمار باشد، آزمایش در ۹۵% موارد نتیجه مثبت می‌دهد. (P(+∣B)=0.95).

• اختصاصیت (Specificity): اگر فرد سالم باشد، آزمایش در ۹۰% موارد نتیجه منفی می‌دهد. (P(−∣B′)=0.90).

اگر نتیجهٔ آزمایش فردی مثبت (+) باشد، احتمال اینکه او واقعاً به بیماری مبتلا باشد چقدر است؟ (یعنی P(B∣+) را بیابید).

حل (با استفاده از قضیهٔ بیز)

1. احتمالات اولیه:

   • P(B)=0.01 (احتمال بیماری)

   • P(B′)=1−0.01=0.99 (احتمال سلامت)

2. احتمالات شرطی و خطای نوع اول:

   • P(+∣B)=0.95 (آزمایش مثبت در صورت بیماری)

   • P(+∣B′)=1−P(−∣B′)=1−0.90=0.10 (آزمایش مثبت کاذب، یعنی فرد سالم است اما نتیجه مثبت)

3. احتمال کل وقوع (+):

   P(+)=P(+∣B)P(B)+P(+∣B′)P(B′)

   P(+)=(0.95)(0.01)+(0.10)(0.99)

   P(+)=0.0095+0.099=0.1085

4. احتمال شرطی مورد نیاز (قضیهٔ بیز):

   P(B∣+)=P(+)P(+∣B)P(B)​

   P(B∣+)=0.10850.0095​≈0.0875

پاسخ: احتمال اینکه فرد واقعاً بیمار باشد، با وجود نتیجه مثبت، تنها حدود ۸.۷۵% است. (این مثال اهمیت شیوع اولیه (Base Rate) را در احتمال شرطی نشان می‌دهد).

۲. مسئلهٔ متوسط: پرتاب تاس و سکه (ترکیب پیشامدها)

صورت مسئله

شما یک تاس شش‌وجهی (Dice) و یک سکه (Coin) در اختیار دارید. مراحل زیر را دنبال می‌کنید:

1. تاس را پرتاب می‌کنید.

2. اگر نتیجهٔ تاس عددی زوج باشد، سکه را یک بار پرتاب می‌کنید.

3. اگر نتیجهٔ تاس عددی فرد باشد، سکه را دو بار پرتاب می‌کنید.

اگر در نهایت دقیقاً یک شیر (H) مشاهده کرده باشیم، احتمال اینکه پرتاب تاس عدد ۴ بوده باشد چقدر است؟

حل

1. تعریف پیشامدها:

   • E: پیشامد اینکه تاس عدد زوج باشد (۲، ۴، ۶). P(E)=3/6=1/2.

   • O: پیشامد اینکه تاس عدد فرد باشد (۱، ۳، ۵). P(O)=3/6=1/2.

   • A: پیشامد مشاهدهٔ دقیقاً یک شیر.

2. محاسبهٔ احتمال پیشامد A به شرط E و O:

   • P(A∣E): اگر تاس زوج باشد، سکه یک بار پرتاب می‌شود. احتمال H یا T بودن هرکدام 1/2 است.

     P(A∣E)=P(دقیقاً یک شیر در یک پرتاب)=1/2

   • P(A∣O): اگر تاس فرد باشد، سکه دو بار پرتاب می‌شود. فضای نمونه (HH,HT,TH,TT) و پیشامد {HT,TH} است.

     P(A∣O)=P(دقیقاً یک شیر در دو پرتاب)=2/4=1/2

3. محاسبهٔ احتمال کل پیشامد A:

   P(A)=P(A∣E)P(E)+P(A∣O)P(O)

   P(A)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/4+1/4=1/2

4. احتمال شرطی مورد نیاز: ما P(تاس=4∣A) را می‌خواهیم. توجه کنید که (تاس=4) زیرمجموعه‌ای از E است.

   P(تاس=4∣A)=P(A)P(A∩(تاس=4))​

   P(A∩(تاس=4))=P(A∣تاس=4)×P(تاس=4)

   • P(تاس=4)=1/6

   • P(A∣تاس=4)=P(دقیقاً یک شیر در یک پرتاب)=1/2

   P(A∩(تاس=4))=(1/2)(1/6)=1/12

   P(تاس=4∣A)=1/21/12​=1/6

پاسخ: احتمال اینکه پرتاب تاس عدد ۴ بوده باشد، در صورت مشاهدهٔ دقیقاً یک شیر، ۱/۶ است.

۳. مسئلهٔ پیشرفته: خانواده و جنسیت فرزندان (پارادوکس شرطی)

صورت مسئله (مسئلهٔ پسر بزرگ‌تر)

فرض کنید می‌دانیم یک خانواده دو فرزند دارد. اگر می‌دانیم یکی از فرزندان حتماً پسر است، احتمال اینکه هر دو فرزند پسر باشند چقدر است؟ (فرض کنید P(پسر)=P(دختر)=1/2

و جنسیت فرزندان مستقل است).

حل

1. فضای نمونهٔ اولیه: فضای نمونه برای دو فرزند:

   S={(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}

   که B نشان‌دهندهٔ پسر و G نشان‌دهندهٔ دختر است. (به ترتیب فرزند اول و دوم).

2. تعریف پیشامدها:

   • A: پیشامد اینکه هر دو فرزند پسر باشند: A={(B,B)}.

   • E: پیشامد اینکه حداقل یکی از فرزندان پسر باشد: E={(B,B),(B,G),(G,B)}.

3. محاسبهٔ احتمال پیشامدها:

   • P(A)=1/4

   • P(E)=3/4

4. محاسبهٔ احتمال اشتراک:

   A∩E=A={(B,B)}

   P(A∩E)=P(A)=1/4

5. محاسبهٔ احتمال شرطی:

   P(A∣E)=P(E)P(A∩E)​=3/41/4​=1/3

پاسخ: احتمال اینکه هر دو فرزند پسر باشند، به شرط اینکه حداقل یکی از آن‌ها پسر باشد، ۱/۳ است.

توضیح نکتهٔ مهم (پارادوکس):

اگر سؤال این بود که "خانواده‌ای دو فرزند دارد و فرزند بزرگ‌تر پسر است"، پاسخ ۱/۲ می‌شد.

• در آن حالت، فضای نمونهٔ شرطی جدید E′ فقط {(B,B),(B,G)} می‌شد و P(A∣E′)=(1/4)/(2/4)=1/2 بود.

اما در این مسئله، اطلاعات فقط این است که "یکی" پسر است، و مشخص نمی‌کند که کدام فرزند (اول یا دوم). این تفاوت ظریف در تعریف پیشامد شرطی، پاسخ را از 1/2 به 1/3 تغییر می‌دهد و یکی از مثال‌های کلاسیک برای نشان دادن اهمیت تعریف دقیق پیشامد در احتمال شرطی است.

برای محاسبه احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۹ باشد، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

🎲 فضای نمونه:

هر تاس ۶ وجه دارد، پس تعداد کل حالت‌های ممکن برای دو تاس:

[ 6 * 6 = 36 { حالت} ]

✅ حالات مطلوب: مجموع کمتر از ۹

مجموع‌هایی که کمتر از ۹ باشند عبارت‌اند از: 2 تا 8.

بیایید تعداد حالت‌های ممکن برای هر مجموع را بشماریم:

مجموع /حالت‌ها / تعداد

2(1,1)1

3(1,2), (2,1)2

4(1,3), (2,2), (3,1)3

5(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)4

6(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)5

7(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)6

8(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)5

✅ مجموع حالات مطلوب:

[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 = 26 { حالت} ]

📐 محاسبه احتمال:

[ P = {26}/{36} = {13}/{18}=0.7222 ]

✅ نتیجه نهایی:

احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۹ باشد برابر است با:

[72.22% ]

اگر خواستی، می‌تونم نمودار تصویری یا جدول کامل همه حالت‌ها رو هم برات رسم کنم.

برای محاسبه احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۸ باشد، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

🎲 فضای نمونه:

هر تاس ۶ وجه دارد، پس تعداد کل حالت‌های ممکن برای دو تاس:

[ 6 * 6 = 36 { حالت} ]

✅ حالات مطلوب: مجموع کمتر از ۸

مجموع‌های ممکن از پرتاب دو تاس بین 2 تا 12 هستند. مجموع‌هایی که کمتر از ۸ باشند عبارت‌اند از: 2 تا 7.

بیایید حالت‌های مطلوب را بشماریم:

• مجموع 2 → (1,1) → 1 حالت
• مجموع 3 → (1,2), (2,1) → 2 حالت
• مجموع 4 → (1,3), (2,2), (3,1) → 3 حالت
• مجموع 5 → (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 حالت
• مجموع 6 → (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 حالت
• مجموع 7 → (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 حالت

✅ مجموع حالات مطلوب:
[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 { حالت} ]

📐 محاسبه احتمال:

[ P = {21}/{36} = {7}/{12} = 0.5833 ]

✅ نتیجه نهایی:

احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۸ باشد برابر است با:

[ 58.33% ]

اگر خواستی، می‌تونم جدول کامل حالات یا نمودار تصویری احتمال‌ها رو هم برات رسم کنم.

برای محاسبه احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۱۰ باشد، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

🎲 فضای نمونه:

هر تاس ۶ وجه دارد، پس تعداد کل حالت‌های ممکن برای دو تاس:

[ 6 *6 = 36 { حالت} ]

✅ حالات مطلوب: مجموع کمتر از ۱۰

مجموع‌های ممکن از پرتاب دو تاس بین 2 تا 12 هستند. بنابراین، مجموع‌هایی که کمتر از ۱۰ باشند عبارت‌اند از: 2 تا 9.

حالت‌های نامطلوب:

• مجموع 10 → (4,6), (5,5), (6,4)
• مجموع 11 → (5,6), (6,5)
• مجموع 12 → (6,6)

تعداد حالت‌هایی با مجموع 10: 3
تعداد حالت‌هایی با مجموع 11: 2
تعداد حالت‌هایی با مجموع 12: 1
پس تعداد حالات نامطلوب: ( 3 + 2 + 1 = 6 )

📐 محاسبه احتمال:

تعداد حالات مطلوب:

[ 36 - 6 = 30 { حالت} ]

احتمال:

[ P = {30}/{36} ={5}/{6} = 0.8333 ]

✅ نتیجه نهایی:

احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۱۰ باشد برابر است با:

[ 83.33% ]

اگر خواستی، می‌تونم جدول کامل حالات یا نمودار تصویری احتمال‌ها رو هم برات رسم کنم.

برای محاسبه احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۱۱ باشد، بیایید مرحله‌به‌مرحله پیش برویم:

🎲 فضای نمونه:

هر تاس ۶ وجه دارد، پس تعداد کل حالت‌های ممکن برای دو تاس:

[ 6 * 6 = 36 { حالت} ]

✅ حالات مطلوب: مجموع کمتر از ۱۱

مجموع‌های ممکن از پرتاب دو تاس بین 2 تا 12 هستند. بنابراین، مجموع‌هایی که کمتر از 11 باشند عبارت‌اند از: 2 تا 10.

تنها حالت‌هایی که نامطلوب هستند:

• مجموع 11 → (5,6), (6,5)
• مجموع 12 → (6,6)

تعداد حالت‌هایی با مجموع 11: 2
تعداد حالت‌هایی با مجموع 12: 1
پس تعداد حالت‌های نامطلوب: ( 2 + 1 = 3 )

📐 محاسبه احتمال:

تعداد حالات مطلوب:

[ 36 - 3 = 33 { حالت} ]

احتمال:

[ P ={33/36} = {11/12}= 0.9167 ]

✅ نتیجه نهایی:

احتمال اینکه مجموع عددهای ظاهرشده روی دو تاس کمتر از ۱۱ باشد برابر است با:

[ 91.67% ]

اگر خواستی، می‌تونم جدول کامل حالات یا نمودار تصویری احتمال‌ها رو هم برات رسم کنم.

اگر منظور شما بررسی حالات مطلوب برای مجموع کمتر از ۱۲ در پرتاب دو تاس باشد، بیایید آن را مرحله‌به‌مرحله بررسی کنیم:

🎲 فضای نمونه:

در پرتاب دو تاس، هر تاس ۶ وجه دارد، پس تعداد کل حالت‌های ممکن برابر است با:

[ 6 * 6 = 36 حالت} ]

✅ حالات مطلوب: مجموع کمتر از ۱۲

مجموع دو عدد روی تاس‌ها می‌تواند از 2 تا 12 باشد. بنابراین، تمام حالت‌هایی که مجموعشان کمتر از ۱۲ باشد، شامل مجموع‌های 2 تا 11 هستند.

تنها حالتی که نامطلوب است، مجموع برابر با 12 است که فقط در حالت (6,6) رخ می‌دهد.

پس تعداد حالات مطلوب:

[ 36-1 = 35 ]

📌 نتیجه‌گیری:

• تعداد کل حالات ممکن: 36
• تعداد حالات مطلوب (مجموع < 12): 35
• احتمال رخ دادن حالت مطلوب:

35/36یعنی با احتمال حدود 97.2٪، مجموع دو تاس کمتر از ۱۲ خواهد بود.

• هر تاس ۶ وجه دارد، پس تعداد کل حالت‌های ممکن برای دو تاس برابر با ( 6 * 6 = 36 ) است.

سپس به سراغ حالات مطلوب می‌رود؛ یعنی تمام جفت‌هایی از اعداد که مجموعشان کمتر از ۶ باشد. این حالت‌ها به صورت جدولی یا لیستی نمایش داده شده‌اند، مانند:

• (1,1) → مجموع 2
• (1,2), (2,1) → مجموع 3
• (1,3), (2,2), (3,1) → مجموع 4
• (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → مجموع 5

در مجموع، ۱۰ حالت وجود دارد که مجموعشان کمتر از ۶ است.

عبارت «🎯 مثال: محاسبه حجم قطعه کروی» در متن صفحه‌ای که درباره آموزش ریاضی و هندسه کروی است، آغازگر یک مثال عددی برای محاسبه حجم یک قطعه کروی می‌باشد. این قطعه بخشی از یک کره است که توسط دو صفحه موازی بریده شده و شامل دو پایه دایره‌ای و یک سطح منحنی جانبی است.

این مثال به صورت مرحله‌به‌مرحله توضیح می‌دهد که چگونه با استفاده از فرمول زیر حجم قطعه کروی را محاسبه کنیم:

که در آن:

• ( V ): حجم قطعه کروی
• ( h ): ارتفاع قطعه (فاصله بین دو صفحه موازی)
• ( r1 ) و ( r2 ): شعاع‌های دایره‌های حاصل از برخورد صفحات با سطح کره

در ادامه این عبارت، مقادیر عددی برای ( R )، ( r1 )، ( r2 )، و ( h ) داده می‌شود و سپس با جای‌گذاری در فرمول، حجم نهایی محاسبه می‌گردد. هدف این مثال، درک بهتر کاربرد فرمول حجم قطعه کروی در مسائل واقعی هندسی است.

حتماً! بیایید یک مثال عددی کامل از محاسبه حجم قطعه کروی را با هم بررسی کنیم.

🎯 مثال: محاسبه حجم قطعه کروی

فرض کنید:

• شعاع کره: ( R = 10 ) سانتی‌متر
• شعاع دایره پایینی: ( r1 = 6 ) سانتی‌متر
• شعاع دایره بالایی: ( r2 = 8 ) سانتی‌متر
• ارتفاع قطعه: ( h = 5 ) سانتی‌متر

فرمول حجم قطعه کروی:

🧮 مرحله‌به‌مرحله:

1. محاسبه مربع‌ها:

   • ( r1^2 = 36 )
   • ( r2^2 = 64 )
   • ( h^2 = 25 )

2. جای‌گذاری در فرمول:

ضرب عددی:

✅ نتیجه نهایی:

حجم قطعه کروی تقریباً برابر است با 850.68 سانتی‌متر مکعب.

🟢 تعریف ناحیه کروی (Spherical Zone)

وقتی یک کره توسط دو صفحه موازی بریده شود، بخشی از آن که بین این دو صفحه قرار دارد، قطعه کروی نامیده می‌شود. این قطعه دارای دو پایه دایره‌ای (در بالا و پایین) و یک سطح منحنی جانبی است.

• سطح منحنی جانبی که بین دو دایره قرار دارد و بخشی از سطح کره را تشکیل می‌دهد، ناحیه کروی یا Spherical Zone نامیده می‌شود.
• این سطح، شامل هیچ‌یک از دو پایه نیست؛ یعنی فقط بخش منحنی بین آن‌هاست.

📐 ویژگی مهم از محتوای صفحه:

طبق توضیحات صفحه، مساحت این ناحیه منحنی فقط به فاصله بین دو صفحه (ارتفاع قطعه) بستگی دارد و نه به موقعیت دقیق آن‌ها روی کره. این نکته نشان می‌دهد که ناحیه کروی یک ویژگی هندسی مستقل از محل برش است.

بیایید یک مثال عددی از ناحیه کروی (Spherical Zone) بررسی کنیم — یعنی سطح منحنی جانبی قطعه‌ای از کره که بین دو صفحه موازی بریده شده است.

🎯 مثال: محاسبه مساحت ناحیه کروی

فرض کنید:

• شعاع کره: ( R = 10 ) سانتی‌متر
• ارتفاع ناحیه کروی (فاصله بین دو صفحه): ( h = 6 ) سانتی‌متر

فرمول مساحت ناحیه کروی:

[ A = 2pi R h ]

🧮 مرحله‌به‌مرحله:

جای‌گذاری در فرمول:

[ A = 2.pi.10 . 6 = 120pi ]

اگر بخواهیم مقدار تقریبی عددی را با استفاده از (pi =3.1416 ) حساب کنیم:

[ A = 120 . 3.1416 =376.99 ]

✅ نتیجه نهایی:

مساحت ناحیه کروی تقریباً برابر است با 376.99 سانتی‌متر مربع.

اگر خواستی، می‌تونم همین مثال رو با تصویر آموزشی یا مدل سه‌بعدی برات نمایش بدم تا بهتر درک بشه.

بیایید یک مثال عددی از محاسبه حجم قطعه کروی را بررسی کنیم. این قطعه بین دو صفحه موازی از یک کره بریده شده است.

🎯 مثال: محاسبه حجم قطعه کروی

فرض کنید:

• شعاع کره: ( R = 10 ) سانتی‌متر
• شعاع دایره پایینی: ( r1 = 6 ) سانتی‌متر
• شعاع دایره بالایی: ( r2 = 8 ) سانتی‌متر
• ارتفاع قطعه: ( h = 5 ) سانتی‌متر

فرمول حجم قطعه کروی:

[ V ={pi h}/{6} (3r1^2 + 3r2^2 + h^2) ]

🧮 مرحله‌به‌مرحله:

1. محاسبه مربع‌ها:

   • ( r1^2 = 36 )
   • ( r2^2 = 64 )
   • ( h^2 = 25 )

2. جای‌گذاری در فرمول وضرب عددی:

✅ نتیجه نهایی:

حجم قطعه کروی تقریباً برابر است با 850.68 سانتی‌متر مکعب.

بیایید یک مثال عددی از محاسبه حجم قطعه کروی را بررسی کنیم. این قطعه بین دو صفحه موازی از یک کره بریده شده است.

🎯 مثال: محاسبه حجم قطعه کروی

فرض کنید:

• شعاع کره: ( R = 10 ) سانتی‌متر
• شعاع دایره پایینی: ( r1 = 6 ) سانتی‌متر
• شعاع دایره بالایی: ( r2 = 8 ) سانتی‌متر
• ارتفاع قطعه: ( h = 5 ) سانتی‌متر

فرمول حجم قطعه کروی:

[ V ={pi h}/{6} (3r1^2 + 3r2^2 + h^2) ]

🧮 مرحله‌به‌مرحله:

1. محاسبه مربع‌ها:

   • ( r1^2 = 36 )
   • ( r2^2 = 64 )
   • ( h^2 = 25 )

2. جای‌گذاری در فرمول وضرب عددی:

✅ نتیجه نهایی:

حجم قطعه کروی تقریباً برابر است با 850.68 سانتی‌متر مکعب.

حتماً! بیایید یک مثال عددی از محاسبه حجم کلاهک کروی را با هم بررسی کنیم:

🎯 مثال: محاسبه حجم کلاهک کروی

فرض کنید کره‌ای با شعاع ( R = 10 ) سانتی‌متر داریم، و ارتفاع کلاهک ( h = 4 ) سانتی‌متر باشد.

از فرمول:عدد پی:

π≈3.1416

[ V ={π h^2}/{3} (3R - h) ]

جای‌گذاری می‌کنیم:

✅ نتیجه:

حجم این کلاهک کروی تقریباً برابر با 435.35 سانتی‌متر مکعب است.

در هندسه، قطعه کروی جامدی است که با بریدن یک کره یا یک توپ با یک جفت موازی تعریف می‌شود.صفحه های موازی را می‌توان آن را به‌عنوان یک کلاهک کروی در نظر گرفت که قسمت بالایی آن کوتاه شده است، و بنابراین با کلاهک کروی مطابقت دارد.

یک قطعه کروی

سطح "قطعه کروی" (به استثنای پایه ها) "منطقه کروی" نامیده می شود. اگر شعاع کره R نامیده شود، شعاع پایه های قطعه کروی r1 و r2، و ارتفاع پاره (فاصله یک صفحه موازی تا صفحه موازی) به نام hاست.

سپس حجم از بخش کروی اینگونه است: .

منحنی سطح ناحیه کروی - که پایه های بالا و پایین را بر می دارد برابر با رابطه زیر است:

.

برای محاسبه حجم کلاهک کروی در هندسه، از فرمول زیر استفاده می‌شود:

[ V = πh^2/3} (3R - h) ]

که در آن:

• ( V ) حجم کلاهک کروی است
• ( R ) شعاع کره
• ( h ) ارتفاع کلاهک (فاصله از صفحه برش تا بالاترین نقطه کلاهک)

این فرمول زمانی کاربرد دارد که کلاهک از یک کره کامل بریده شده باشد و صفحه برش موازی با سطح پایه کره باشد