ایده اصلی
مثال. از قضیه فشار برای نشان دادن اینکه lim x→1 x^ √2 = 1 استفاده کنید.
خواندن ایده ها: حتی خود قضیه نیز واضح نیست.
توضیح تصویری:
بردن. اگر تابع g بین توابع f و h قرار داشته باشد و f و h در نقطه‌ای یک حد داشته باشند، از آنجایی که g بین آنها قرار دارد، باید در آن نقطه نیز آن حد را داشته باشد.
در اینجا نحوه استفاده از این ایده برای نشان دادن اینکه lim x→1 x √2 = 1 آورده شده است:
اگر n ≥ 0 یک عدد صحیح باشد و f تابعی است که n برابر به طور پیوسته در بازه بسته [ a , x ] و n + 1 برابر در بازه باز ( a , x ) قابل تمایز است، آنگاه داریم
در فرمول بالا n ! فاکتوریل n را نشان می دهد و R n یک جمله باقی مانده است که نشان دهنده تفاوت بین چند جمله ای تیلور درجه n و تابع اصلی است. عبارت باقیمانده R n به x بستگی دارد و اگر x به اندازه کافی به a نزدیک باشد کوچک است . چندین عبارت برای آن موجود است.
شکل لاگرانژ عبارت باقیمانده بیان می کند که یک عدد c بین a و x وجود دارد به طوری که
شکل کوشی عبارت باقیمانده بیان می کند که یک عدد c بین a و x وجود دارد به طوری که
شکل انتگرالی عبارت باقی مانده است
کاری که W , با حرکت یک جسم از x=a به x=b توسط نیروی F ( x ) انجام می شود ممکن است با فرمول زیر حاصل شود:
مثال :
یک فنر وقتی 0.4 متر فشرده می شود نیروی بازیابی 0.2 نیوتن اعمال می کند. چه مقدار کار برای فشرده سازی فنر به میزان 0.3 متر انجام شده است؟
راه حل :
با استفاده از قانون هوک، که بیان می کند نیروی فشرده سازی (در جهت مخالف نیروی بازگرداننده) توسط:
F ( x ) = kx برای ثابت فنر، k ، که در آن k> 0
از آنجایی که فنر نیروی بازیابی 0.4 نیوتن برای فشرده سازی 0.2 متر اعمال می کند، نتیجه می شود که F (0.2) = 0.4:
0.4 = k (0.2) k = 2
همانطور که ثابت فنر تعیین شده است،F ( x ) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
F ( x ) = 2 x
کار انجام شده برای فشرده سازی فنر 0.3 متر اضافی (یعنی انتقال فنر از 0.2 متر به 0.5 متر) ممکن است به شرح زیر تعیین شود:
آزمایش ریشه ممکن است برای آزمایش همگرایی یک سری نامتناهی استفاده شود.
آزمون نسبت ممکن است برای آزمایش همگرایی یک سری نامتناهی استفاده شود.
آزمون انتگرال برای همگرایی روشی است که برای آزمایش سری نامتناهی از عبارت های غیر منفی برای همگرایی استفاده می شود.
برای تابع پیوسته f که برای x ≥ 1 مثبت و نزولی است با f ( n ) = a n , n = 1, 2, 3, ... نتیجه می شود که:
سری هندسی به صورت زیر تعریف می شود:
جمع جزئی n ، علاوه بر موارد مربوط به همگرایی/واگرایی، ممکن است به صورت زیر نوشته شود:
برای f ( x ) و g ( x ) قابلانتگرال گیری در بازه I = [ a,b ]، ناحیه بین منحنی ها به صورت زیر تعریف می شود:
مثال :
مساحت ناحیه محدود شده با منحنی های y = x و y = x^ 2 را بیابید
راه حل :
برای تعیین ناحیه محدود شده توسط دو منحنی، باید نقاط تقاطع آنها را پیدا کرد.
با استفاده از y = x و y = x ^2 ، نتیجه می شود که:
x 2 = x
x ^2 − x = 0
(با تفریق x از هر دو طرف به دست می آید)
x ( x − 1) = 0 ----> x = 0 یا x = 1
با استفاده از y = x و y = x ^2 ، نتیجه می شود که y = 0 هنگامی که x = 0 و y = 1 زمانی که x = 1
∴ نقاط تلاقی بین این دو منحنی ها (0،0) و (1،1) با استفاده از نقاط تقاطع، منطقه محدود شده توسط دو منحنی تبدیل می شود.
نقاط بحرانی مهم هستند زیرا مقادیر شدید توابع نمی توانند در جای دیگری رخ دهند. نقطه c یک نقطه بحرانی تابع f در نظر گرفته می شود اگر:
برای f ( x ) پیوسته در بازه I = [ a,b ] که در آن a < b ، مقدار متوسط f ( x ) در I برابر است:
مثال :
مقدار متوسط تابع f ( x ) = x ^2 + 1 را در بازه I = [0,4] بیابید.
راه حل :
توابع هذلولی ممکن است با ارائه شباهت آنها به توابع مثلثاتی معرفی شوند.
با یادآوری از مثلثات که هر نقطه ( x, y ) روی دایره واحد، x^ 2 + y^ 2 = 1، با x = cos t و y = sin t نشان داده می شود ، می توان از توابع هذلولی برای نشان دادن هر نقطه ( x, y) استفاده کرد. ) روی هذلولی واحد که با x ^2 - y ^2 =1 بیان می شود. به طور خاص، کسینوس هذلولی و سینوس هذلولی ممکن است برای نمایش x و y به ترتیب به صورت x = cosh t و y = sinh t استفاده شوند .
توابع هذلولی (به عنوان مثال، سینوس هذلولی، کسینوس هذلولی) با این موارد تعریف می شوند:
مشابه توابع مثلثاتی، یک اتحاد اساسی برای توابع هذلولی وجود دارد:
مشتقات توابع هذلولی در زیر ارائه شده است:
برای تابع f از دو یا سه متغیر با مشتقات جزئی پیوسته، مشتق جهتی f در P در جهت بردار واحد u با:
مثال :
مشتق جهتی f ( x ) = x ^2 − y ^2 − 1 در (1، 2) در جهت شمال شرقی چقدر است.
راه حل :
مشتقات مرتبه بالاتر با گرفتن مکرر مشتقات مشتقات حاصل به دست می آیند. بنابراین، مشتق دوم یک تابع، مشتق مشتق اول آن است و مشتق مرتبه n ممکن است با گرفتن مشتق از مشتق مرتبه st (n - 1) به دست آید. ممکن است از نمادهای مختلفی برای نشان دادن مشتقات متوالی استفاده شود:
مثال شماره 1 :
پنج مشتق اول sin x را بیابید .
راه حل شماره 1 :
مثال شماره 2 :
سه مشتق اول
4 x ^3 + 2 x + 6
را بیابید.
راه حل شماره 2 :
برای تابع متمایز f با یک تابع معکوس y = f ^− 1 ( x )، چنین است که:
مثال :
مشتق معکوس f ( x ) = x^ 3 + 1 را تعیین کنید
راه حل :
انحنای یک نمودار ناپارامتریک y = f ( x ) با تعریف می شود
مثال :
نمایش حداکثر انحنای سهمی در راس آن با مقداری برابر با
1/(2c)
رخ می دهد که در آن c نشان دهنده فاصله بین راس و کانون آن است.
راه حل :
برای p ( x ) = m [ n ( x )] = m o n :
p '( x ) = m '[ n ( x )] n ' ( x )
مثال شماره 1 :
مشتق ( x − 1/2 ) 3 را با استفاده از قانون زنجیره ای پیدا کنید.
راه حل شماره 1 :
با استفاده از قانون زنجیره ای با n ( x ) = x − 1/2 و m ( x ) = x 3 نتیجه می شود که
n '( x ) = ( − ½ ) x − 3/2
و
m '[ n ( x )] = 3( x − 1/2 ) 2 = 3 x − 1
p '( x ) = m ' [ n ( x )] n ' ( x ) = 3 x − 1 ( − ½ ) x − 3/2
p '( x ) = ( − 3/2) x − 5/2
مثال شماره 2 :
مشتق گناه (1 + x 2 ) را با استفاده از قانون زنجیره بیابید.
راه حل شماره 2 :
با استفاده از قانون زنجیره ای با n ( x ) = 1 + x ^2 و m ( x ) = sin x نتیجه می شود که
n '( x ) =2 x
و
m '[ n ( x )] = cos(1 + x^ 2 )
p '( x ) = m ' [ n ( x )] n ' ( x ) = cos(1 + x ^2 )2 x
p ' ( x ) = 2 x cos (1 + x^ 2 )
در این وبلاگ شما با ریاضی در سطوح مختلف آشنا خواهید شد.