دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}$

مشتق‌های توابع هُذلولوی یا توابع هیپربولیک

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech}^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch}^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch}\,x=-\coth x\ \operatorname {csch}\,x\,$

${\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech}\,x=-\tanh x\ \operatorname {sech}\,x\,$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh}\,x={\frac {1}{{\sqrt {x^{{2}}+1}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh}\,x={\frac {1}{{\sqrt {x^{{2}}-1}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh}\,x={\frac {1}{1-x^{{2}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch}\,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{{2}}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech}\,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{{2}}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth}\,x={\frac {1}{1-x^{{2}}}}$

اتحادهای مهم توابع هذلولی یا توابع هیپربولیک

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

${\textstyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\\end{aligned}}}$

${\begin{aligned}\operatorname {sech}^{{2}}x&=1-\tanh ^{{2}}x\\\operatorname {csch}^{{2}}x&=\coth ^{{2}}x-1\\\end{aligned}}$

مجموع دو عبارت:

${\begin{aligned}\cosh(x+y)&=\sinh x\sinh y+\cosh x\cosh y\\\sinh(x+y)&=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y\end{aligned}}$

مشخصاً

${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}$

مجموع و تفاضل $coshx$ و $sinhx$

${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{{-x}}\end{aligned}}$

رابطهٔ توابع هایپربولیک با توابع مثلثاتی

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!$

$\cosh x=\cos {{\rm {{i}}}}x\!$

$\tanh x=-{{\rm {{i}}}}\tan {{\rm {{i}}}}x\!$

$\coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!$

$\operatorname {sech}\,x=\sec {{{\rm {{i}}}}x}\!$

$\operatorname {csch}\,x={{\rm {{i}}}}\,\csc \,{{\rm {{i}}}}x\!$

که در آن i یکهٔ موهومی با تعریف i۲ = −۱ است.

نمودار توابع هایپربولیک

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

نمودار هیپربولیک

توابع هایپربولیک از لحاظ زوج و بقیه فرد بودن

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

${\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}$

تابع سینوس و کسینوس هذلولوی

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

توابع هُذلولوی، هُذلولی، یاتوابع هیپربولیک

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

Hyperbolic Functions (solutions, examples, videos)

توابع هُذلولوی، هُذلولی، یاتوابع هیپربولیک

۱۳۹۹/۰۹/۱۶ - - علی رضا نقش نیلچی -

توابع هذلولوی یا هیپربولیک — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام) | مجله فرادرس

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

۱۳۹۹/۰۹/۱۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x$

$\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x$

$\operatorname{arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname{arcsec} x$

ورودی‌های با علامت مخالف:

$\arcsin(-x)=-\arcsin x\!$

$\arccos(-x)=\pi -\arccos x\!$

$\arctan(-x)=-\arctan x\!$

$\operatorname{arccot}(-x)=\pi -\operatorname{arccot} x\!$

$\operatorname{arcsec}(-x)=\pi -\operatorname{arcsec} x\!$

$\operatorname{arccsc}(-x)=-\operatorname{arccsc} x\!$

ورودی‌های وارون شده:

$\arccos(1/x)\,=\operatorname{arcsec} x\,$

$\arcsin(1/x)\,=\operatorname{arccsc} x\,$

$\arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname{arccot} x,{\text{ if }}x>0\,$

$\arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname{arccot} x,{\text{ if }}x<0\,$

$\operatorname{arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname{arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,$

$\operatorname{arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname{arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,$

$\operatorname{arcsec}(1/x)=\arccos x\,$

$\operatorname{arccsc}(1/x)=\arcsin x\,$

در صورتی که تنها بخشی از جدول سینوس را داشته باشیم:

$\arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1$

$\arctan x=\arcsin {\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

هرگاه از ریشهٔ دوم یک عدد مختلط استفاده شد، باید ریشهٔ با بخش حقیقی مثبت را انتخاب کرد (یا بخش موهومی مثبت، اگر خود آن، عدد حقیقی منفی بود).

با استفاده از رابطهٔ نیم-زاویه $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ خواهیم داشت:

$\arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\arccos x=2\arctan {\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1$

$\arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

۱۳۹۹/۰۹/۱۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

$\sin(\arctan x)={\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

$\cos(\arctan x)={\frac {1}{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

$\tan(\arccos x)={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

۱۳۹۹/۰۹/۱۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname{arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname{arcsec} x&{}={\frac {1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname{arccsc} x&{}={\frac {-1}{x\,{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$

فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی

۱۳۹۹/۰۹/۱۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\int \arcsin(a\,x)\,dx=x\arcsin(a\,x)+{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C$

$\int x\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arcsin(a\,x)}{2}}-{\frac {\arcsin(a\,x)}{4\,a^{2}}}+{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C$

$\int x^{2}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arcsin(a\,x)}{3}}+{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$

$\int x^{m}\arcsin(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arcsin(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

$\int \arcsin(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arcsin(a\,x)^{2}+{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)}{a}}+C$

$\int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx=x\arcsin(a\,x)^{n}\,+\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arcsin(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int \arcsin(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arcsin(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,+\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arcsin(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arcsin(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)$

تابع وارون کسینوس یا Arccosine[ویرایش]

$\int \arccos(a\,x)\,dx=x\arccos(a\,x)-{\frac {\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}{a}}+C$

$\int x\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arccos(a\,x)}{2}}-{\frac {\arccos(a\,x)}{4\,a^{2}}}-{\frac {x{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{4\,a}}+C$

$\int x^{2}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arccos(a\,x)}{3}}-{\frac {\left(a^{2}\,x^{2}+2\right){\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}{9\,a^{3}}}+C$

$\int x^{m}\arccos(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arccos(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

$\int \arccos(a\,x)^{2}\,dx=-2\,x+x\arccos(a\,x)^{2}-{\frac {2{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)}{a}}+C$

$\int \arccos(a\,x)^{n}\,dx=x\arccos(a\,x)^{n}\,-\,{\frac {n{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n-1}}{a}}\,-\,n\,(n-1)\int \arccos(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int \arccos(a\,x)^{n}\,dx={\frac {x\arccos(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}}\,-\,{\frac {{\sqrt {1-a^{2}\,x^{2}}}\arccos(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}}\,-\,{\frac {1}{(n+1)\,(n+2)}}\int \arccos(a\,x)^{n+2}\,dx\quad (n\neq -1,-2)$

تابع وارون تانژانت یا Arctangent[ویرایش]

$\int \arctan(a\,x)\,dx=x\arctan(a\,x)-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$

$\int x\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\arctan(a\,x)}{2}}+{\frac {\arctan(a\,x)}{2\,a^{2}}}-{\frac {x}{2\,a}}+C$

$\int x^{2}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\arctan(a\,x)}{3}}+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}-{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$

$\int x^{m}\arctan(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\arctan(a\,x)}{m+1}}-{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)$

تابع وارون کتانژانت یا Arccotangent[ویرایش]

$\int \operatorname {arccot}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arccot}(a\,x)+{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{2\,a}}+C$

$\int x\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccot}(a\,x)}{2}}+{\frac {\operatorname {arccot}(a\,x)}{2\,a^{2}}}+{\frac {x}{2\,a}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccot}(a\,x)}{3}}-{\frac {\ln \left(a^{2}\,x^{2}+1\right)}{6\,a^{3}}}+{\frac {x^{2}}{6\,a}}+C$

$\int x^{m}\operatorname {arccot}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccot}(a\,x)}{m+1}}+{\frac {a}{m+1}}\int {\frac {x^{m+1}}{a^{2}\,x^{2}+1}}\,dx\quad (m\neq -1)$

تابع وارون سکانت یا Arcsecant[ویرایش]

$\int \operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arcsec}(a\,x)-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{2}}-{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{3}}\,-\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,-\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C$

$\int x^{m}\operatorname {arcsec}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arcsec}(a\,x)}{m+1}}\,-\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

تابع وارون کسکانت یا Arccosecant[ویرایش]

$\int \operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx=x\operatorname {arccsc}(a\,x)+{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{2}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{2}}+{\frac {x}{2\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}+C$

$\int x^{2}\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{3}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{3}}\,+\,{\frac {1}{6\,a^{3}}}\,\operatorname {arctanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,{\frac {x^{2}}{6\,a}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}\,+\,C$

$\int x^{m}\operatorname {arccsc}(a\,x)\,dx={\frac {x^{m+1}\operatorname {arccsc}(a\,x)}{m+1}}\,+\,{\frac {1}{a\,(m+1)}}\int {\frac {x^{m-1}}{\sqrt {1-{\frac {1}{a^{2}\,x^{2}}}}}}\,dx\quad (m\neq -1)$

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن

فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک

مشتق‌های توابع هُذلولوی یا توابع هیپربولیک

اتحادهای مهم توابع هذلولی یا توابع هیپربولیک

رابطهٔ توابع هایپربولیک با توابع مثلثاتی

نمودار توابع هایپربولیک

توابع هایپربولیک از لحاظ زوج و بقیه فرد بودن

تابع سینوس و کسینوس هذلولوی

توابع هُذلولوی، هُذلولی، یاتوابع هیپربولیک

توابع هُذلولوی، هُذلولی، یاتوابع هیپربولیک

رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی

رابطه‌های میان تابع‌های مثلثاتی و تابع‌های وارون مثلثاتی

مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی

فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی

تابع وارون کسینوس یا Arccosine[ویرایش]

تابع وارون تانژانت یا Arctangent[ویرایش]

تابع وارون کتانژانت یا Arccotangent[ویرایش]

تابع وارون سکانت یا Arcsecant[ویرایش]

تابع وارون کسکانت یا Arccosecant[ویرایش]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین