مدل جامد افلاطونی کپلر از منظومه شمسی از رموز جهان ( لاتین: Mysterium Cosmographicum ) (1596)

انتساب به عناصر در هارمونیس های کپلر

جامدات افلاطونی از دوران باستان شناخته شده است. پیشنهاد شده است که گوی های سنگی حکاکی شده ای که توسط مردم اواخر دوران نوسنگی اسکاتلند ایجاد شده اند این اشکال را نشان می دهند. با این حال، این توپ‌ها به جای چند وجهی بودن، دستگیره‌های گرد دارند، تعداد دستگیره‌ها غالباً با تعداد رئوس جامدات افلاطونی متفاوت است، هیچ توپی وجود ندارد که دستگیره‌های آن با 20 راس دوازده‌ وجهی مطابقت داشته باشد، و چینش دستگیره‌ها اینطور نبوده است. همیشه متقارن

یونانیان باستان مواد جامد افلاطونی را به طور گسترده مورد مطالعه قرار دادند. برخی منابع (مانند پروکلوس ) کشف خود را به فیثاغورس نسبت می دهند. شواهد دیگر نشان می دهد که او ممکن است فقط با چهار وجهی، مکعب، و دوازده وجهی آشنا بوده باشد و کشف هشت وجهی و بیست وجهی وجهی متعلق به ته‌تتوس (افلاطون) ، معاصر افلاطون است. در هر صورت، ته‌تتوس (افلاطون) توصیفی ریاضی از هر پنج مورد ارائه کرد و ممکن است مسئول اولین اثبات شناخته شده باشد که هیچ چند وجهی منظم محدب دیگری وجود ندارد.

جامدات افلاطونی در فلسفه افلاطون ، همنام آنها، برجسته هستند. افلاطون در گفتگوی تیمائوس در مورد آنها نوشت . 360 قبل از میلاد که در آن او هر یک از چهار عنصر کلاسیک ( زمین ، هوا ، آب و آتش ) را با یک جامد منظم مرتبط کرد. زمین با مکعب، هوا با هشت وجهی، آب با بیست وجهی وجه و آتش با چهار وجهی مرتبط بود.

در مورد پنجمین جامد افلاطونی، دوازده وجهی، افلاطون به طور مبهم اظهار داشت: «...خدا از [آن] برای چیدمان صورت های فلکی در تمام آسمان استفاده کرد». ارسطو عنصر پنجم را اضافه کرد، aither (aether در لاتین، "ether" در انگلیسی) و فرض کرد که آسمان ها از این عنصر ساخته شده اند، اما او هیچ علاقه ای به تطبیق آن با جامد پنجم افلاطون نداشت. [4]

اقلیدس جامدات افلاطونی را در عناصر ، که آخرین کتاب (کتاب سیزدهم) آن به خواص آنها اختصاص دارد، کاملاً ریاضی توصیف کرد. گزاره‌های 13-17 در کتاب سیزدهم، ساخت چهار وجهی، هشت‌وجهی، مکعبی، بیست وجهی و دوازده‌وجهی را به ترتیب توصیف می‌کنند. برای هر جامد اقلیدس نسبت قطر کره محصور به طول لبه را پیدا می کند. در گزاره 18 او استدلال می کند که هیچ چند وجهی منظم محدب دیگری وجود ندارد. آندریاس اسپایزر از این دیدگاه حمایت کرده است که ساختن پنج جامد منظم هدف اصلی سیستم قیاسی متعارف در عناصر است . [5] بسیاری از اطلاعات کتاب سیزدهم احتمالاً از کار ته‌تتوس (افلاطون) گرفته شده است.

در قرن شانزدهم، یوهانس کپلر ، ستاره شناس آلمانی ، تلاش کرد تا پنج سیاره فرازمینی شناخته شده در آن زمان را به پنج جسم جامد افلاطونی مرتبط کند. در کتاب رموز جهان ( لاتین: Mysterium Cosmographicum ) که در سال 1596 منتشر شد، کپلر مدلی از منظومه شمسی را پیشنهاد کرد که در آن پنج جامد درون یکدیگر قرار گرفته و توسط یک سری کره‌های محاط شده و محصور از هم جدا شده‌اند. کپلر پیشنهاد کرد که روابط فاصله بین شش سیاره شناخته شده در آن زمان را می توان بر حسب پنج جامد افلاطونی محصور در کره ای که نشان دهنده مدار زحل است درک کرد . هر شش کره با یکی از سیارات ( عطارد ، زهره ، زمین ، مریخ ، مشتری و زحل) مطابقت داشتند. جامدات با درونی‌ترین آنها هشت‌وجهی، و پس از آن بیست وجهی وجهی، دوازده‌وجهی، چهار وجهی و در نهایت مکعب مرتب شده‌اند، بنابراین ساختار منظومه شمسی و روابط فاصله بین سیارات توسط جامدات افلاطونی دیکته می‌شود. در نهایت، ایده اولیه کپلر باید کنار گذاشته می‌شد، اما از تحقیقات او سه قانون دینامیک مداری او بیرون آمد ، که اولین آنها این بود که مدار سیارات به جای دایره، بیضی هستند و مسیر فیزیک و نجوم را تغییر می‌دهند. او همچنین جامدات کپلر را کشف کرد که دو چند وجهی منظم غیر محدب هستند .

در هندسه ، یک جامد افلاطونی یک چندوجهی محدب و منظم در فضای اقلیدسی سه بعدی است . منتظم بودن چند وجهی به این معنی است که وجوه همخوان (از نظر شکل و اندازه یکسان) چند ضلعی های منظم (همه زوایا مساوی و همه لبه ها برابر) هستند و در هر رأس به همان تعداد وجه برخورد می شود . فقط پنج این چند وجهی وجود دارد:

چهار وجهی ,مکعب ,هشت وجهی ,دوازده وجهی, بیست وجهی

هندسه‌شناسان برای هزاران سال جامدات افلاطونی را مطالعه کرده‌اند. آنها به خاطر فیلسوف یونان باستان افلاطون نامگذاری شده اند ، که در یکی از گفتگوهای خود، تیمائوس ، فرضیه می دهد که عناصر کلاسیک از این جامدات منظم ساخته شده اند.

1. چند نوع چند ضلعی منظم وجود دارد؟

راه حل : 5 نوع چند ضلعی منتظم وجود دارد: چهار وجهی، مکعبی، هشت ضلعی، دوازده وجهی و ایکو وجهی.

2. بررسی کنید که آیا چند وجهی با 10 راس، 8 یال و 4 وجه وجود دارد یا خیر.

راه حل : ما از فرمول اویلر استفاده می کنیم:

V=10،E=8، وF=4

F+V – E=4+10 – 8=6≠2.

چندوجهی با ابعاد داده شده وجود ندارد.

3. چند وجهی با 12 رأس و 18 یال چند وجه دارد؟

راه حل :

V=12،E=18، وF=?

با اعمال فرمول اویلر به دست می آوریم

F+V – E=2

⇒F+12 – 18=2

⇒F=8

تعداد وجه = 8

تمرین مسائل در چند وجهی

1)کدام یک از موارد زیر چند وجهی نیست؟

مکعب

مخروط

مکعب

منشور مثلثی

2)کدام یک از موارد زیر چند وجهی مقعر است؟

َA

B

C

D

3)کدام یک از ترکیب های زیر چند وجهی را تشکیل نمی دهد؟

F=4،V=10،E=12

F=8،V=12،E=18

F=7،V=13،E=15

F=9.V=15،E=22

4)کدام یک از موارد زیر چند وجهی منظم نیست؟

مکعب

چهار وجهی

هر دو A و B

هرم شش ضلعی

سوالات متداول در مورد چند وجهی

تفاوت بین چند ضلعی و چند وجهی چیست؟

آیا استوانه چند وجهی است؟

بین تعداد وجه ها، لبه ها و رئوس در یک چند وجهی رابطه وجود دارد که می تواند با فرمول ریاضی معروف به «فرمول اویلر» ارائه شود.

F+V – E=2

جایی که،

F=تعداد وجه ها

V=تعداد رئوس

E=تعداد یال ها

اگر هر دو مقدار را از بین F، V یا E بدانیم، می توانیم با استفاده از فرمول اویلر سومین مقدار گم شده را پیدا کنیم. بنابراین، سؤالاتی مانند "یک چند وجهی چند یال دارد؟" یا "یک چند وجهی چند وجه دارد؟" اگر دو مقدار دیگر شناخته شده باشند، می توان به راحتی پاسخ داد. همچنین می‌توانیم بررسی کنیم که آیا چند وجهی با تعداد قسمت‌های معین وجود دارد یا خیر.

به عنوان مثال، یک مکعب دارای 8 رأس، 6 وجه و 12 لبه است.

F=6،V=8،E=12

با استفاده از فرمول اویلر، دریافت می کنیم

F+V – E=2

جایگزینی مقادیر در فرمول:

6+8 – 12=2⇒2=2.

از این رو، مکعب یک چند وجهی است.

یک منشور دارای دو سر (پایه و بالا) به صورت چند ضلعی های یکسان است و وجه های جانبی آن مسطح هستند ( مستطیل یا متوازی الاضلاع ). منشورها بر اساس پایه آن نامگذاری می شوند که می تواند مثلث، مربع، مستطیل یا هر چندضلعی n ضلعی باشد.

منشور مثلثی ,منشور مربعی, منشور مستطیلی, منشور 5 ضلعی ,منشور6 ضلعی, منشور 7 ضلعی ,منشور 8 ضلعی

حجم سیلندر کج

حجم یک استوانه کج مقدار مایعی است که می تواند توسط یک استوانه شیبدار نگه داشته شود. استوانه یک شکل جامد سه بعدی است که از دو پایه دایره ای تشکیل شده است که با یک صورت منحنی به هم متصل شده اند و صورت منحنی به صورت عمودی روی پایه قرار دارد و با صفحه پایه یک زاویه قائمه ایجاد می کند. اما استوانه مایل استوانه‌ای با عنوان است که در آن یک سطح خمیده هر زاویه‌ای به جز 90 درجه با پایه ایجاد می‌کند. حجم این استوانه اریب را می توان با ضرب مساحت پایه آن در ارتفاع استوانه محاسبه کرد. استوانه کج به نام استوانه مایل یا استوانه کج نیز شناخته می شود. در اینجا در این مبحث به همراه مثال های حل شده و سوالات تمرینی حجم سیلندر شیبدار چقدر است و نحوه محاسبه آن را بیان می کنیم.

حجم سیلندر کج چقدر است؟

حجم یک استوانه کج چیزی نیست جز همان حجم استوانه دایره ای سمت راست با همان ارتفاع. می دانیم که حجم استوانه دایره ای راست حاصل ضرب مساحت پایه یک استوانه و ارتفاع استوانه است. مساحت پایه یک استوانه عمومی در واقع مساحت یک دایره است زیرا پایه استوانه یک دایره است و با ضرب این مساحت در ارتفاع آن به سادگی می توان حجم آن را فهمید. حجم یک استوانه کج یا شیبدار در واحدهای مکعب اندازه گیری می شود، به عنوان مثال - m^ 3 ، cm ^3 ، و غیره.

بنابراین، حجم استوانه مایل V = مساحت پایه استوانه × ارتفاع استوانه

استوانه یک جسم سه بعدی است که با چرخاندن یک مستطیل در امتداد هر یک از اضلاع آن تشکیل می شود. استوانه توخالی یکی از انواع استوانه است که از داخل توخالی است. استوانه توخالی را می توان به عنوان یک جسم هندسی سه بعدی که از داخل خالی است تعریف کرد. یک استوانه توخالی از دو پایه دایره ای تشکیل شده است که دارای شعاع داخلی و خارجی هستند. پایه های دایره ای شبیه به یک حلقه حلقوی است که ناحیه ای است که توسط دو دایره متحدالمرکز محدود شده است.

سیلندر توخالی

استوانه ای که از داخل خالی است و مقداری تفاوت بین شعاع داخلی و خارجی دارد H نامیده می شود. ما می توانیم مقداری ضخامت محصور بین شعاع داخلی و بیرونی را ببینیم که برابر با اختلاف بین داخلی و خارجی است. شعاع. ارتفاع یا ارتفاع استوانه توخالی، فاصله عمود بین دو پایه مدور آن است. نی، لوله آب، لوله، رول دستمال توالت و ... نمونه هایی از استوانه های توخالی هستند که در زندگی روزمره خود می بینیم.

حجم فرمول سیلندر توخالی

فضای سه بعدی محصور شده توسط یک استوانه توخالی به عنوان حجم آن نامیده می شود. به عنوان مثال، حداکثر فضایی که می تواند توسط روغن اشغال شود، زمانی که روغن در یک ظرف شیشه ای استوانه ای ریخته می شود، حجم شیشه است. اکنون فرمول محاسبه حجم یک استوانه توخالی به شرح زیر است:

حجم سیلندر توخالی = π(R ^2 -r ^2 )h واحد مکعب

که در آن
" h " ارتفاع استوانه توخالی،
" R " شعاع بیرونی استوانه داده شده، و
" r " شعاع داخلی استوانه داده شده است.

حجم استخراج سیلندر توخالی

می دانیم که فرمول محاسبه حجم یک استوانه جامد در زمانی که شعاع (r) و ارتفاع (h) (πr 2 )h واحد مکعب است.

حجم سیلندر = مساحت پایه × ارتفاع = (πr ^2 ) h واحد مکعب

حال حجم یک استوانه توخالی برابر است با اختلاف حجم سیلندر خارجی و حجم استوانه داخلی.

اجازه دهید در نظر بگیریم که شعاع بیرونی استوانه توخالی "R"، شعاع داخلی آن "r" و "h" ارتفاع استوانه است.

حجم سیلندر توخالی = (حجم استوانه با شعاع بیرونی «R» و ارتفاع «h») – (حجم استوانه با شعاع داخلی «r» و ارتفاع «h»)

حجم یک استوانه توخالی (V) = πR^ 2 × h – πr^ 2 × h

V = π(R ^2 -r ^2 )h واحد مکعب

چگونه حجم سیلندر توخالی را پیدا کنیم؟

بیایید مثالی بزنیم تا بفهمیم چگونه حجم یک استوانه توخالی را محاسبه کنیم.

مثال: حجم یک استوانه توخالی را محاسبه کنید که شعاع خارجی آن 12 سانتی متر، شعاع داخلی آن 9 سانتی متر و ارتفاع آن 7 سانتی متر است.

راه حل:

مرحله 1: به مقادیر ابعاد داده شده توجه کنید. در اینجا شعاع خارجی (R) 12 سانتی متر، شعاع داخلی (r) 9 سانتی متر و ارتفاع (h) 7 سانتی متر است.

مرحله 2: می دانیم که فرمول برای یافتن حجم یک استوانه توخالی [π × (R 2 −r 2 ) × h] واحد مکعب است. اکنون مقادیر داده شده را در فرمول جایگزین کنید.

مرحله 3: بنابراین، حجم یک استوانه توخالی به صورت محاسبه می شود

V = (22/7) × (12 2 - 9 2 ) × 7
V = 1386 سانتی متر 3

نمونه های حل شده در حجم سیلندر توخالی

مثال 1: حجم یک استوانه توخالی را محاسبه کنید که شعاع خارجی آن 10 سانتی متر، شعاع داخلی آن 5 سانتی متر و ارتفاع آن 8 سانتی متر است [از π= 22/7 استفاده کنید]

راه حل:

شعاع خارجی (R) = 10 سانتی متر

شعاع داخلی (r) = 5 سانتی متر

ارتفاع (h) = 8 سانتی متر

ما آن را میدانیم،

حجم یک استوانه توخالی = π × (R 2 −r 2 ) × h واحد مکعب

= (22/7) × 75 × 8
= 1885.714 سانتی متر مکعب

بنابراین، حجم استوانه توخالی داده شده 1885.714 سانتی متر مکعب است .

مثال 2: حجم یک استوانه توخالی را محاسبه کنید که شعاع خارجی آن 12 اینچ، شعاع داخلی 8 اینچ و ارتفاع آن 6 اینچ است. [استفاده از π= 22/7]

راه حل:

شعاع خارجی (R) = 12 اینچ

شعاع داخلی (r) = 8 اینچ

ارتفاع (h) = 6 اینچ

ما آن را میدانیم،

حجم یک استوانه توخالی = π × (R 2 -r 2 ) × h واحد مکعب
= (22/7) × 80 × 6
= 1508.571

بنابراین، حجم استوانه توخالی داده شده 1508.571 است.

مثال 3: حجم لوله استوانه ای توخالی را که ضخامت آن 4 متر، شعاع داخلی آن 5 متر و ارتفاع آن 8 متر است، تعیین کنید. [استفاده از π= 22/7]

راه حل:

شعاع داخلی (r) = 5 متر

ضخامت لوله استوانه ای = 4 متر

t = R – r = 4 m

R – 5 = 4

R = 4 + 5 = 9 متر

ارتفاع (h) = 8 متر

ما آن را میدانیم،

حجم یک استوانه توخالی = π × (R 2 -r 2 ) × h واحد مکعب
= (22/7) × 56 × 6 = 1408 متر مکعب

بنابراین، حجم استوانه توخالی داده شده 1408 متر مکعب است

مثال 4: ارتفاع یک استوانه توخالی را که قطر بیرونی آن 16 سانتی متر، قطر داخلی آن 12 سانتی متر و حجم آن 792 سانتی متر مکعب است، محاسبه کنید . [استفاده از π= 22/7]

راه حل:

قطر بیرونی = 16 سانتی متر

بنابراین، شعاع خارجی (R) = 16 سانتی متر / 2 = 8 سانتی متر

قطر داخلی = 12 سانتی متر

بنابراین، شعاع داخلی (r) = 12 سانتی متر / 2 = 6 سانتی متر

قد =؟

ما آن را میدانیم،

حجم یک استوانه توخالی = π × (R 2 -r 2 ) × ساعت واحد مکعب
H = 9

از این رو، ارتفاع استوانه توخالی 9 سانتی متر است

سوالات متداول در مورد حجم سیلندر توخالی

سوال 1: استوانه توخالی چیست؟ چند مثال از یک استوانه توخالی بیاورید.

پاسخ:

استوانه توخالی را می توان به عنوان یک جسم هندسی سه بعدی که از داخل خالی است تعریف کرد. یک استوانه توخالی از دو پایه دایره ای تشکیل شده است که دارای شعاع داخلی و خارجی هستند. نی، لوله آب، لوله، رول دستمال توالت و ... نمونه هایی از استوانه های توخالی هستند که در زندگی روزمره خود می بینیم.

سوال 2: فرمول محاسبه ضخامت استوانه توخالی چیست؟

پاسخ:

ضخامت یک استوانه توخالی فضای محصور بین شعاع داخلی و شعاع بیرونی است که برابر است با تفاوت بین شعاع داخلی و خارجی.

ضخامت استوانه توخالی (t) = R - r

که در آن
" R " شعاع بیرونی استوانه داده شده است
" r " شعاع داخلی استوانه داده شده است.

سوال 3: فرمول محاسبه مساحت کل یک استوانه توخالی چیست؟

پاسخ:

مساحت کل استوانه توخالی مجموع سطح منحنی آن و مساحت دو پایه دایره ای آن است.

سطح کل سیلندر توخالی = [2πh (R + r) + 2π(R² – r²)] واحد مربع

که در آن
" h " ارتفاع استوانه توخالی،
" R " شعاع بیرونی استوانه داده شده، و
" r " شعاع داخلی استوانه داده شده است.

سوال 4: حجم یک استوانه توخالی با سه برابر شدن ارتفاع آن چه تغییری می کند؟

پاسخ:

از فرمول حجم یک استوانه توخالی می توان نتیجه گرفت که حجم با ارتفاع استوانه توخالی نسبت مستقیم دارد. بنابراین با سه برابر شدن ارتفاع استوانه توخالی حجم آن نیز سه برابر می شود.

ماشین حساب در این صفحه برای استوانه های راست و دایره ای دقیق است که با پایه های کاملاً دایره ای مشخص می شوند و هر دو پایه کاملاً تراز هستند. با این حال انواع دیگری از سیلندر وجود دارد که برخی از آنها فرمول های متفاوتی برای محاسبه حجم خود دارند:

استوانه مورب

پایه های سیلندر هنوز موازی هستند اما کاملاً در یک راستا قرار ندارند.

سیلندر بیضوی

پایه های سیلندر بیضی هستند و دایره های کامل نیستند.

سیلندر توخالی

سیلندر از داخل خالی است و مقداری تفاوت بین شعاع داخلی و خارجی دارد.

سوالات متداول

در مورد این ماشین حساب سوالی دارید؟ لیست سوالات متداول ما را در زیر ببینید.

فرمول محاسبه حجم سیلندر چیست؟

V = π * r² * h.

فرمول محاسبه شعاع سیلندر چیست؟

r = SQRRT (V / (π * h)).

فرمول محاسبه ارتفاع سیلندر چیست؟

h = V / (π * r²).

یک سیلندر چند وجه دارد؟

یک سیلندر دارای 3 وجه است.

یک سیلندر چند لبه دارد؟

یک سیلندر 2 لبه دارد.

یک استوانه چند رأس دارد؟

یک استوانه هیچ رئوسی ندارد.

• 
  چگونه حجم سیلندر را محاسبه کنیم؟
• حجم یک استوانه توخالی
• حجم یک استوانه کج
• سوالات متداول

ماشین حساب حجم سیلندر ما امکان محاسبه حجم آن جامد را فراهم می کند. چه بخواهید بفهمید چه مقدار آب در یک قوطی، قهوه در لیوان مورد علاقه‌تان، یا حتی حجم یک نی نوشیدنی قرار می‌گیرد، در جای مناسبی هستید. گزینه دیگر محاسبه حجم یک پوسته استوانه ای (سیلندر توخالی) است.

چگونه حجم سیلندر را محاسبه کنیم؟

بیایید از ابتدا شروع کنیم - سیلندر چیست؟ این یک جامد است که توسط یک سطح استوانه ای و دو صفحه موازی محدود شده است. می‌توانیم آن را به‌عنوان یک قلع فیزیکی جامد با درب‌هایی در بالا و پایین تصور کنیم. برای محاسبه حجم آن، باید دو پارامتر را بدانیم - شعاع (یا قطر) و ارتفاع:

cylinder volume = π × cylinder radius² × cylinder height

ماشین حساب حجم سیلندر به یافتن حجم سیلندرهای راست، توخالی و مورب کمک می کند:

حجم یک استوانه توخالی

استوانه توخالی که پوسته استوانه ای نیز نامیده می شود، ناحیه ای سه بعدی است که توسط دو استوانه دایره ای راست با محور یکسان و دو پایه حلقوی موازی عمود بر محور مشترک استوانه ها محدود شده است.

درک این تعریف با تصور کردن، به عنوان مثال، یک نی نوشیدنی یا یک لوله آسانتر است - استوانه توخالی این پلاستیک، فلز یا مواد دیگر است. فرمول حجم یک استوانه توخالی به صورت زیر است:

cylinder_volume = π × (R² - r²) × cylinder_height

که در آن R- شعاع خارجی، و r- شعاع داخلی

به طور مشابه، می‌توانیم حجم سیلندر را با استفاده از قطر خارجی، Dو قطر داخلی، dیک استوانه توخالی با این فرمول محاسبه کنیم:

cylinder_volume = π × [(D² - d²)/4] × cylinder_height

برای محاسبه حجم یک پوسته استوانه ای، بیایید چند مثال واقعی بیاوریم، شاید... یک رول دستمال توالت، چرا که نه؟ 😀

1. قطر خارجی سیلندر را وارد کنید . استاندارد تقریباً برابر با 11 سانتی متر است.

2. قطر سیلندر داخلی را تعیین کنید . قطر داخلی قسمت مقوایی حدود 4 سانتی متر است.

3. ارتفاع سیلندر را دریابید . برای ما 9 سانتی متر است.

4. تاداام! حجم یک استوانه توخالی برابر با 742.2 سانتی متر مربع است.

به یاد داشته باشید که نتیجه حجم کاغذ و مقوا است. اگر می خواهید محاسبه کنید که چه مقدار پلاستیک می توانید داخل رول مقوایی قرار دهید، از فرمول استاندارد برای حجم یک استوانه استفاده کنید - ماشین حساب آن را در یک چشم به هم زدن محاسبه می کند!

حجم یک استوانه مورب

استوانه مورب همان استوانه ای است که به سمت بالا خم می شود - اضلاع بر خلاف یک استوانه سمت راست استاندارد بر پایه ها عمود نیستند. چگونه حجم یک استوانه مورب را محاسبه کنیم؟ فرمول مانند فرمول مستقیم است. فقط به یاد داشته باشید که ارتفاع باید عمود بر پایه ها باشد.

اکنون که می دانید چگونه حجم یک استوانه را محاسبه کنید، شاید بخواهید حجم سایر جامدات سه بعدی را تعیین کنید؟

اگر کنجکاو هستید که چند قاشق چای خوری یا فنجان در ظرف شما قرار می گیرد، از مبدل حجم ما استفاده کنید .

برای محاسبه حجم خاک مورد نیاز برای گلدان های گل با اشکال مختلف - همچنین برای خاک استوانه ای - از ماشین حساب خاک گلدان استفاده کنید .

سوالات متداول

کجا می توان استوانه را در طبیعت یافت؟

سیلندرها در اطراف ما هستند و ما فقط در مورد قوطی های پرینگلز صحبت نمی کنیم. اگرچه اشیاء در طبیعت به ندرت استوانه‌ای کامل هستند، برخی از نمونه‌ها عبارتند از: تنه درختان و ساقه‌های گیاهان، برخی استخوان‌ها (و در نتیجه بدن) و تاژک‌های موجودات میکروسکوپی. اینها مقدار زیادی از اجرام طبیعی روی زمین را تشکیل می دهند!

چگونه یک استوانه را ترسیم می کنید؟

برای رسم سیلندر مراحل زیر را دنبال کنید:

1. یک دایره کمی صاف بکشید. هر چه پهن تر باشد، به سمت استوانه نزدیک تر می شوید .

2. دو خط مساوی و موازی از دو طرف دایره خود به سمت پایین بکشید.

3. انتهای دو خط را با یک خط نیم دایره که شبیه نیمه پایینی دایره بالایی شماست، پیوند دهید.

4. در صورت لزوم سایه و سایه اضافه کنید.

وزن سیلندر را چگونه محاسبه می کنید؟

برای محاسبه وزن سیلندر:

1. مربع شعاع استوانه .

2. مربع شعاع را در عدد پی و ارتفاع استوانه ضرب کنید .

3. حجم را در چگالی سیلندر ضرب کنید . نتیجه وزن سیلندر است.

چگونه می توان نسبت سطح به حجم یک استوانه را محاسبه کرد؟

1. حجم سیلندر را با استفاده از فرمول πr²h بیابید .

2. مساحت سطح استوانه را با استفاده از فرمول 2πrh + 2πr² بیابید .

3. از دو فرمول یک نسبت ایجاد کنید ، یعنی πr²h : 2πrh + 2πr² .

4. از طرف دیگر، آن را به rh ساده کنید: 2(h+r) .

5. هر دو طرف را به یکی از اضلاع تقسیم کنید تا نسبت به ساده ترین شکل آن به دست آید.

چگونه می توان ارتفاع استوانه را پیدا کرد؟

اگر حجم و شعاع سیلندر را دارید :

1. مطمئن شوید که حجم و شعاع در یک واحد هستند (مثلاً سانتی‌متر و سانتی‌متر)، و شعاع بر حسب رادیان است .
2. مربع شعاع.
3. حجم را بر شعاع مربع و پی تقسیم کنید تا ارتفاع را در واحدهای شعاع بدست آورید.

اگر مساحت سطح و شعاع (r) را دارید :

1. مطمئن شوید که سطح و شعاع در یک واحد و شعاع بر حسب رادیان باشد.
2. از سطح 2πr² کم کنید .
3. نتیجه مرحله 1 را بر 2πr تقسیم کنید .
4. نتیجه ارتفاع سیلندر است.

چگونه شعاع سیلندر را پیدا کنم؟

اگر حجم و ارتفاع سیلندر را دارید :

1. مطمئن شوید که حجم و ارتفاع در واحدهای یکسانی (مثلاً سانتی‌متر و سانتی‌متر) و شعاع بر حسب رادیان باشد .
2. حجم را بر پی و ارتفاع تقسیم کنید .
3. ریشه مربع نتیجه.

اگر مساحت سطح و ارتفاع (h) را دارید :

1. ارتفاع، h و مساحت سطح را در معادله جایگزین کنید ، مساحت سطح = πr²h : 2πrh + 2πr².
2. دو طرف را بر 2π تقسیم کنید .
3. مساحت سطح/2π را از هر دو طرف کم کنید .
4. معادله درجه دوم حاصل را حل کنید.
5. ریشه مثبت شعاع است.

چگونه می توان حجم استوانه ذوزنقه ای راست را پیدا کرد؟

یک استوانه ذوزنقه ای راست، که به عنوان منشور مستطیلی نیز شناخته می شود ، می تواند به این صورت حل شود:

1. دو ضلع موازی (پایه) ذوزنقه را به هم اضافه کنید .
2. حاصل را بر 2 تقسیم کنید .
3. نتیجه مرحله 2 را در ارتفاع ذوزنقه (یعنی فاصله ای که دو طرف را از هم جدا می کند) ضرب کنید .
4. نتیجه را در طول سیلندر ضرب کنید .
5. نتیجه مساحت یک استوانه ذوزنقه ای راست است.

چگونه می توان حجم یک استوانه بیضی شکل را پیدا کرد؟

برای پیدا کردن حجم یک استوانه بیضی شکل:

1. کوچکترین شعاع بیضی (محور کوچک) را در بزرگترین شعاع آن (محور اصلی) ضرب کنید .

2. این عدد جدید را در پی ضرب کنید .

3. نتیجه مرحله 2 را بر 4 تقسیم کنید . نتیجه مساحت بیضی است.

4. مساحت بیضی را در ارتفاع استوانه ضرب کنید .

5. نتیجه حجم یک استوانه بیضی شکل است.

چگونه می توان حجم یک استوانه کج را پیدا کرد؟

برای محاسبه حجم یک استوانه کج:

1. شعاع، طول ضلع و زاویه شیب سیلندر را بیابید .

2. مربع شعاع.

3. حاصل را در پی ضرب کنید .

4. گناه زاویه بگیر .

5. گناه را در طول ضلع ضرب کنید .

6. نتیجه مراحل 3 و 5 را با هم ضرب کنید .

7. نتیجه حجم مایل است.

چگونه می توان حجم جاروب شده یک استوانه را محاسبه کرد؟

برای محاسبه حجم جاروب شده یک استوانه:

1. قطر سوراخ را بر 2 تقسیم کنید تا شعاع سوراخ را بدست آورید .

2. شعاع سوراخ را مربع کنید .

3. شعاع مربع را در پی ضرب کنید .

4. نتیجه مرحله 3 را در طول ضربه ضرب کنید . مطمئن شوید که واحدهای مربوط به طول سوراخ و سکته مغزی یکسان هستند.

5. نتیجه حجم جارو شده یک سیلندر است.

2:

ارتفاع استوانه توخالی را با توجه به حجم = 314.15 سانتی متر مکعب ، شعاع بیرونی = 6 سانتی متر و شعاع داخلی = 4 سانتی متر بیابید. (از π = 3.14 استفاده کنید)

راه حل:

داده شده:

شعاع بیرونی، R = 6 سانتی متر

شعاع داخلی، r = 4 سانتی متر

حجم = 314.15 سانتی متر مکعب

برای پیدا کردن: ارتفاع "h"

همانطور که می دانیم حجم فرمول استوانه توخالی V = π (R ^2 -r ^2 )h واحد مکعب است.

حال، مقادیر شناخته شده را جایگزین کنید

314.15 = (3.14) (6 ^2 -4 ^2 )h

314.15/3.14 = (36-16)h [314.15/3.14=100.047، که به 100 گرد می شود]

100 = 20 h

h= 100/20

h= 5

از این رو، ارتفاع استوانه توخالی 5 سانتی متر است.

مثال 3:

شعاع داخلی یک استوانه توخالی را که شعاع بیرونی آن 5 سانتی متر، ارتفاع آن 10 سانتی متر و حجم آن 502.4 سانتی متر مکعب است، تعیین کنید . (از π = 3.14 استفاده کنید)

راه حل:

داده شده: شعاع بیرونی، R = 5 سانتی متر

ارتفاع = 10 سانتی متر

حجم = 502.4 سانتی متر مکعب

برای پیدا کردن: شعاع داخلی "r".

جایگزینی مقادیر حجم فرمول سیلندر توخالی،

V = π (R^ 2 -r ^2 )h واحد مکعب

502. 4 = (3.14) (5 2 - r ^2 )(10)

(502.4)/(31.4) = 5 2 – r^ 2

16 = 5^ 2 - r ^2

16 = 25 - r ^2

r^ 2 = 25-16

r ^2 = 9

r = 3.

بنابراین شعاع داخلی استوانه توخالی 3 سانتی متر است.

سوال تمرینی

سوالات زیر را حل کنید:

1. حجم یک استوانه توخالی را که شعاع بیرونی آن 3 متر، شعاع داخلی آن 1 متر و ارتفاع آن 4 متر است را بیابید. (از π = 3.14 استفاده کنید).
2. شعاع بیرونی استوانه توخالی را پیدا کنید که شعاع داخلی آن 2 سانتی متر، ارتفاع آن 8 سانتی متر و حجم آن 527.78 سانتی متر مکعب است .
3. ارتفاع استوانه توخالی را که حجم آن 829.38 سانتی متر مکعب ، شعاع بیرونی 12 سانتی متر و شعاع داخلی آن 10 سانتی متر است را بیابید.

سوالات متداول در مورد حجم استوانه توخالی

Q1

حجم یک استوانه توخالی چقدر است؟

حجم یک استوانه توخالی ناحیه ای است که با شکل "سیلندر توخالی" در صفحه سه بعدی محصور شده است. استوانه توخالی نوعی استوانه است که از داخل خالی است و در قسمت محیطی مقداری ضخامت دارد.

Q2

آیا یک استوانه توخالی دو شعاع دارد؟

بله، یک استوانه توخالی دارای دو شعاع مانند شعاع بیرونی "R" و استوانه داخلی "r" است.

Q3

فرمول حجم یک استوانه توخالی چیست؟

اگر "R" شعاع بیرونی و "r" شعاع داخلی و "h" ارتفاع است، حجم فرمول استوانه توخالی V = π (R^ 2 -r ^2 )h واحد مکعب است .

Q4

چگونه حجم یک استوانه توخالی را بیان کنیم؟

حجم یک استوانه توخالی بر حسب واحدهای مکعبی مانند cm^ 3 ، m^ 3 ، ft^ 3 و غیره بیان می شود.

Q5

مساحت پایه یک استوانه توخالی چقدر است؟

مساحت پایه استوانه توخالی مساحت حلقه حلقوی استوانه است (یعنی ناحیه ای که توسط دو دایره متحدالمرکز محدود شده است).

1:

حجم یک استوانه توخالی را که شعاع بیرونی آن 7 سانتی متر و شعاع داخلی آن 5 سانتی متر و ارتفاع آن 7 سانتی متر است را بیابید. (از π = 22/7 استفاده کنید)

راه حل:

داده شده:

شعاع بیرونی = 7 سانتی متر

شعاع داخلی = 5 سانتی متر

ارتفاع = 7 سانتی متر

برای پیدا کردن: جلد "V".

می دانیم که فرمول حجم یک استوانه توخالی π (R^ 2 -r^ 2 )h واحد مکعب است.

با جایگزینی مقادیر شناخته شده در فرمول، دریافت می کنیم

V = (22/7) (7^ 2 - 5 ^2 )7 سانتی متر مکعب

V = 22 (49-25) سانتی متر مکعب

V = 22 (24) سانتی متر مکعب

V = 528 سانتی متر مکعب

بنابراین حجم شعاع بیرونی یک استوانه توخالی 7 سانتی متر، شعاع داخلی 5 سانتی متر و ارتفاع 7 سانتی متر برابر با 528 سانتی متر مکعب است .

​

حجم استوانه توخالی

در هندسه با اشکال مختلف جامد مانند استوانه، مکعب، مکعب، مخروط و غیره آشنا شده ایم. استوانه توخالی نیز یک شکل سه بعدی است. استوانه‌ای که از داخل خالی است و در قسمت محیطی کمی ضخامت دارد، به عنوان استوانه توخالی شناخته می‌شود. در این مقاله قصد داریم حجم استوانه توخالی، فرمول، مشتق و مثال های آن را به طور کامل یاد بگیریم.

حجم فرمول استوانه توخالی

استوانه توخالی به استوانه ای گفته می شود که از داخل خالی است و بین شعاع داخلی و خارجی تفاوت دارد. پایین استوانه توخالی شبیه یک حلقه حلقوی است. به عبارت دیگر، پایین استوانه توخالی شبیه ناحیه ای است که توسط دو دایره متحدالمرکز محدود شده است .

اگر هر دو شعاع بیرونی و داخلی یک استوانه توخالی به همراه ارتفاع داده شود، حجم استوانه توخالی با فرمول به دست می آید:

جایی که،

"R" شعاع بیرونی، "r" شعاع داخلی و "h" ارتفاع استوانه توخالی است.

نمونه ای از کلاهک کروی به رنگ آبی (و دیگری به رنگ قرمز)

مدل سه بعدی کلاهک کروی

در هندسه ، کلاهک کروی یا گنبد کروی ، بخشی از یک کره یا توپی است که توسط یک صفحه بریده شده است . همچنین یک بخش کروی از یک پایه است ، یعنی محدود به یک صفحه واحد است. اگر صفحه از مرکز کره عبور کند ( دایره بزرگی تشکیل می دهد ) به طوری که ارتفاع کلاهک برابر با شعاع کره باشد، کلاهک کروی را نیمکره می نامند .

کره
طرح چشم انداز یک کره
تایپ کنید	سطح صاف سطح جبری
اویلر char.	2
گروه تقارن	O (3)
مساحت سطح	4πr 2
جلد	4/3πr 3

کره (از یونان باستان σφαῖρα ( sphaîra ) 'کره، توپ') [1] یک شی هندسی است که مشابه یک دایره دو بعدی سه بعدی است . به طور رسمی، یک کره مجموعه نقاطی است که همگی در یک فاصله r از یک نقطه معین در فضای سه بعدی قرار دارند. [2] آن نقطه داده شده مرکز کره است و r شعاع کره است. اولین ذکرهای شناخته شده از کره در کار ریاضیدانان یونان باستان ظاهر می شود . یک کره یک مورد منحط از یک چنبره است .

کره یک شی اساسی در بسیاری از زمینه های ریاضیات است . کره ها و اشکال تقریباً کروی نیز در طبیعت و صنعت ظاهر می شوند. حباب هایی مانند حباب های صابون در حالت تعادل شکل کروی به خود می گیرند. زمین اغلب در جغرافیا به عنوان یک کره تقریب می شود و کره آسمانی یک مفهوم مهم در نجوم است . اقلام ساخته شده از جمله مخازن تحت فشار و اکثر آینه ها و عدسی های منحنی بر اساس کروی هستند. کره‌ها به آرامی در هر جهتی می‌چرخند ، بنابراین بیشتر توپ‌های مورد استفاده در ورزش‌ها و اسباب‌بازی‌ها نیز مانند کروی هستند.بلبرینگ .

کره و استوانه محدود

،حجم یک کره (یعنی حجم یک توپ ، اما در کلاسیک به عنوان حجم یک کره شناخته می شود) است.

که r شعاع و d قطر کره است.

ارشمیدس برای اولین بار این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم داخل یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محدود آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد. [6] این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .

مساحت کره ای به شعاع r برابر است با:

.

جهان در حال حاضر حدود ۹۰ میلیارد سال نوری قطر دارد. این بدان معناست که اگر از یک طرف فرضی جهان به فرض این که قابلیت فکر کردن دارد، سیگنالی با سرعت نور به طرف مقابل ارسال شود، ۹۰ میلیارد سال طول می‌کشد تا به مقصد برسد. آیا میدانید قطرجهان در حال حاضر حدود جهان چندکیلومتر است؟ مساحت و حجم آن چندکیلومتر مربع و چندکیلومتر مکعب است