دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

توابع هذلولی

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

$\left(\sinh u\right)'=u'\cosh u\!$
$\left(\cosh u\right)'=u'\sinh u\!$

$\left(\tanh u\right)'=u'(1-\tanh ^{2}u)\,$
$\left(\coth u\right)'=u'(1-\coth ^{2}u)\,$

توابع نمایی و لگاریتمی

تقریباً مشتق تمامی توابع نمایی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

$\left(\log _{a}u\right)'={\frac {u'}{u\ln a}}\!$
$\left(a^{u}\right)'=u'a^{u}\ln a\!$

$\left(\ln u\right)'={\frac {u'}{u}}\!$
$\left(e^{u}\right)'=u'e^{u}\!$
$\left(u^{v}\right)'=u^{v}(v'lnu+{\cfrac {vu'}{u}})\!$

توابع معکوس مثلثاتی

$\left(\arcsin u\right)'={\cfrac {u'}{\sqrt {1-u^{2}}}}\!$
$\left(\arccos u\right)'={\cfrac {-u'}{\sqrt {1-u^{2}}}}\!$

$\left(\arctan u\right)'={\cfrac {u'}{1+u^{2}}}\!$
$\left(\operatorname {arccot} u\right)'={\cfrac {-u'}{1+u^{2}}}\!$

مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

توابع مثلثاتی

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

$\left(\sin u\right)'=u'\cos u\!$
$\left(\sec u\right)'=u'\sec u\tan u\!$

$\left(\cos u\right)'=-u'\sin u\!$
$\left(\cot u\right)'=-u'(1+\cot ^{2}u)\!$
$\left(\csc u\right)'=-u'\csc u\cot u\!$

$\left(c\sin ^{m}u\right)'=cmu'(\sin ^{m-1}u)(\cos u)\!$
$\left(c\tan ^{m}u\right)'=cmu'(\tan ^{m-1}u)(1+\tan ^{2}u)\!$

$\left(c\cos ^{m}u\right)'=-cmu'(\cos ^{m-1}u)(\sin u)\!$
$\left(c\cot ^{m}u\right)'=-cmu'(\cot ^{m-1}u)(1+\cot ^{2}u)\!$

توابع جبری

مشتق تمامی توابع جبری به شکل زیر است:

$\left(c\right)'=0\!$
$\left(u^{m}\right)'=mu^{m-1}u'\!$ (قاعدهٔ توان)
$\left(uvt\right)'=u'vt+v'ut+t'uv\!$ (قاعدهٔ حاصل‌ضرب)
$\left(\mid u\mid \right)'={\frac {uu'}{\mid u\mid }}\!$
$\left({\sqrt[{m}]{u}}\;\right)'={\frac {u'}{m{\sqrt[{m}]{u^{m-1}}}}}\!$

$\left(cu\right)'=cu'\!$ (قاعدهٔ ضریب ثابت)
$\left(u+v\right)'=u'+v'\!$ (قاعدهٔ مجموع)
$\left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\!$ (قاعدهٔ خارج‌قسمت)
$\left({\sqrt {u}}\;\right)'={\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}\!$
$\left({\sqrt[{m}]{u^{p}}}\;\right)'={\frac {pu'}{m{\sqrt[{m}]{u^{m-p}}}}}\!$

معادلات دیفرانسیل یک معادله ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل می‌باشد. فرض کنید f تابعی معین از x, y و مشتقات y باشد. در این صورت معادله‌ای به فرم زیر:

$F\left(x,y,y',\cdots y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبهٔ n نامیده می‌شود. در حالت کلی تر فرم ضمنی معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به صورت زیر می‌باشد:

$F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0$

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی قابل حل می‌باشد.

قاعدهٔ هوپیتال

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام ${\frac {0}{0}}\!$ و ${\frac {\infty }{\infty }}\!$ در حد استفاده می‌شود به‌طوری‌که اگر $f\!$ و $g\!$ در $x=a\!$ مشتق‌پذیر باشند و $f(a)=g(a)=0\!$ آنگاه:

$\lim _{x\to a}{\cfrac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\cfrac {f'(x)}{g'(x)}}=L\!$

اگر $f\!$ و $g\!$ در $x=a\!$ از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال برای وقتی $x\to a^{+}\!$ می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای $x\to a^{-}\!$ .

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

اگر نمودار تابعی به صورت $\smile \!$ باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر $f'\!$ صعودی اکید باشد یا $f''\!$ روی بازهٔ $I\!$ موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار $f\!$ روی این بازه رو به بالاست.

اگر نمودار تابعی به صورت $\frown \!$ باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر $f'\!$ نزولی اکید باشد یا $f''\!$ روی بازهٔ $I\!$ موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار $f\!$ روی این بازه رو به پایین است.

نقطهٔ عطف

اگر جهت تقعر نمودار $f\!$ در نقطهٔ $c\!$ تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه $c\!$ را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:

$f\!$ در $c\!$ پیوسته باشد.
$f\!$ در $c\!$ فقط یک مماس داشته باشد. (مایل، افقی یا قائم)
جهت تقعر $f\!$ در $c\!$ تغییر کند.

پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که $f''\!$ در آن‌ها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت $f''\!$ را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.

عطف با مماس مایل

عطف با مماس افقی

عطف با مماس قائم

آزمون‌های مشتق

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

با فرض اینکه $c\!$ نقطهٔ بحرانی تابع $f\!$ است و $c\in (a,b)\!$ و $f\!$ روی $(a,b)\!$ پیوسته و به جز احتمالاً در $c\!$ مشتق‌پذیر باشد:

اگر $f'\!$ روی $(a,c)\!$ مثبت و روی $(c,b)\!$ منفی باشد، آنگاه $f\!$ در $c\!$ ماکزیمم نسبی دارد.
اگر $f'\!$ روی $(a,c)\!$ منفی و روی $(c,b)\!$ مثبت باشد، آنگاه $f\!$ در $c\!$ مینیمم نسبی دارد.
اگر $f'\!$ روی $(a,c)\!$ و $(c,b)\!$ هم‌علامت باشد، آنگاه $f\!$ در $c\!$ اکسترمم ندارد.

تشخیص یکنوایی تابع

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

در تابع پیوستهٔ $f\!$ ، برای هر $x\in I\!$ اگر $f'(x)>0\!$ آنگاه $f\!$ روی $I\!$ صعودی اکید است و اگر $f'(x)<0\!$ آنگاه $f\!$ روی $I\!$ نزولی اکید است؛ ولی اگر $f'(x)\geq 0\!$ باشد، تابع $f\!$ ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر $f'(x)\leq 0\!$ باشد، تابع $f\!$ ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.

در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع $f\!$ ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.

اگر تابع $f\!$ پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته‌است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.

نقاط بحرانی

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

نقاط بحرانی

نقطهٔ درونی $c\in D_{f}\!$ را نقطهٔ بحرانی تابع $f\!$ گویند هرگاه $f'(c)=0\!$ یا $f'(c)\!$ موجود نباشد. ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل اینکه نقاط درونی بازه نیستند جزو نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.

در ضمن، اگر تابع $f\!$ روی $[a,b]\!$ تعریف شده باشد و نقطهٔ $c\!$ درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه $c\!$ نقطهٔ بحرانی $f\!$ است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی $f\!$ نقطهٔ بحرانی $f\!$ نیز هست، در صورتی‌که یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.

اگر تابع $f\!$ روی بازهٔ $(a,b)\!$ پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر $\max \!$ و $\min \!$ مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس $\lim _{x\to a^{+}}f(x)\!$ و $\lim _{x\to b^{-}}f(x)\!$ را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد $\max \!$ یا $\min \!$ مطلق است. در غیر این صورت $\max \!$ یا $\min \!$ مطلق را مشخص می‌کنیم.

اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل $c\!$ وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست $\lim _{x\to c^{+}}f(x)\!$ و $\lim _{x\to c^{-}}f(x)\!$ را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود $\max \!$ یا $\min \!$ را بررسی کرد.[۱۱]

زاویهٔ بین دو تابع زاویهٔ , بین خط و منحنی

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

زاویهٔ بین دو تابع

زاویهٔ بین خط و منحنی

زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:

خط را با منحنی قطع داده و مختصات نقطهٔ تقاطع را بدست می‌آوریم.
از منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویهٔ خط مماس بر منحنی را در نقطهٔ تقاطع می‌یابیم.
با کمک رابطهٔ $\tan \alpha =\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right|$ زاویهٔ بین خط مماس و منحنی را بدست می‌آوریم.

زاویهٔ بین دو منحنی

برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ $\tan \alpha =\left|{\frac {m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}}\right|$ قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.

زاویهٔ بین خط و منحنی در نقطهٔ تلاقی

زاویهٔ بین دو منحنی با ضریب زاویه‌های $m_{1}\!$ و $m_{2}\!$ در نقطهٔ تلاقی

کمیت‌های وابسته

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

کمیت‌های وابسته

مؤلفه‌های عمودی و افقی سرعت، هر یک به زمان نیز بستگی دارند.

در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:

${\begin{aligned}V_{x}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=x'_{t}\\V_{y}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=y'_{t}\\\end{aligned}}\;{\Bigg \}}\;\Rightarrow \;V={\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}}}={\sqrt {x_{t}^{'2}+y_{t}^{'2}}}$

قضیهٔ کوشی

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع $f\!$ و $g\!$ روی بازهٔ $[a,b]\!$ پیوسته و روی بازهٔ $(a,b)\!$ مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ $c\!$ در بازهٔ $(a,b)\!$ وجود دارد که در آن:

${\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\!$

قضیهٔ لاگرانژ

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

قضیهٔ لاگرانژ

قضیه مقدار میانگین

قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع $f\!$ روی $[a,b]\!$ پیوسته و روی بازهٔ $(a,b)\!$ مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ $c\!$ در بازهٔ $(a,b)\!$ وجود دارد که در آن:

$f'(c)={\cfrac {f(b)-f(a)}{b-a}}\!$

تعبیر هندسی: قضیه بیان می‌کند که در بازهٔ $(a,b)\!$ حداقل یک نقطه وجود دارد که مماس بر منحنی در آن نقطه به موازات خط واصل نقاط دو سر منحنی است.
تعبیر فیزیکی: اگر نمودار را مکان-زمان در نظر بگیریم و بازهٔ $(a,b)\!$ بازهٔ زمانی باشد، قضیهٔ فوق می‌گوید، حداقل یک لحظه در بازهٔ $(a,b)\!$ وجود دارد که سرعت لحظه‌ای با سرعت متوسط برابر می‌شود.[۸][۹]

خط مماس بر منحنی (صورتی) در نقطهٔ $c\!$ با خط واصل نقاط دو سر منحنی (طوسی) موازی است.

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

قضیهٔ رول[ویرایش]

نوشتار اصلی: قضیه رول

اگر تابع $f\!$ روی $[a,b]\!$ پیوسته، روی بازهٔ $(a,b)\!$ مشتق‌پذیر و $f(a)=f(b)\!$ باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ $c\!$ در بازهٔ $(a,b)\!$ وجود دارد که در آن $f'(c)=0\!$ است. عدد $c\!$ با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ $(a,b)\!$ باشد.

نقاط $c\!$ در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آن‌ها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.

نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع $f\!$ روی $[a,b]\!$ پیوسته باشد و $f(a)=f(b)\!$ آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ $(a,b)\!$ وجود دارد.

حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم $f(a)=f(b)=0\!$ با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر $f\!$ مشتقِ تابع یعنی $f'\!$ حداقل یک ریشه دارد.

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن

مشتق توابع هذلولوی

توابع هذلولی

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی

مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور

توابع مثلثاتی

مشتق تمامی توابع جبری

توابع جبری

معادلات دیفرانسیل

قاعدهٔ هوپیتال

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

آزمون‌های مشتق

با فرض اینکه $c\!$ نقطهٔ بحرانی تابع $f\!$ است و $c\in (a,b)\!$ و $f\!$ روی $(a,b)\!$ پیوسته و به جز احتمالاً در $c\!$ مشتق‌پذیر باشد:

تشخیص یکنوایی تابع

نقاط بحرانی

نقاط بحرانی

زاویهٔ بین دو تابع زاویهٔ , بین خط و منحنی

زاویهٔ بین دو تابع

کمیت‌های وابسته

کمیت‌های وابسته

قضیهٔ کوشی

قضیهٔ لاگرانژ

قضیهٔ لاگرانژ

قضیهٔ رول[ویرایش]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین

دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن

مشتق توابع هذلولوی

توابع هذلولی

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

توابع نمایی و لگاریتمی

توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی

مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور

توابع مثلثاتی

مشتق تمامی توابع جبری

توابع جبری

معادلات دیفرانسیل

قاعدهٔ هوپیتال

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

جهت تقعر و نقطهٔ عطف

آزمون‌های مشتق

با فرض اینکه نقطهٔ بحرانی تابع است و و روی پیوسته و به جز احتمالاً در مشتق‌پذیر باشد:

تشخیص یکنوایی تابع

نقاط بحرانی

نقاط بحرانی

زاویهٔ بین دو تابع زاویهٔ , بین خط و منحنی

زاویهٔ بین دو تابع

کمیت‌های وابسته

کمیت‌های وابسته

قضیهٔ کوشی

قضیهٔ لاگرانژ

قضیهٔ لاگرانژ

قضیهٔ رول[ویرایش]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین

با فرض اینکه $c\!$ نقطهٔ بحرانی تابع $f\!$ است و $c\in (a,b)\!$ و $f\!$ روی $(a,b)\!$ پیوسته و به جز احتمالاً در $c\!$ مشتق‌پذیر باشد: