در این مقاله

• معرفی
• پرتاب سکه
• تاس انداختن

اگرچه فرمول احتمال اولیه دشوار نیست، گاهی اوقات پیدا کردن اعداد برای اتصال به آن می تواند مشکل باشد. یک منبع سردرگمی در شمارش تعداد نتایج مطلوب و ممکن است، مانند هنگام پرتاب سکه و انداختن تاس.

پرتاب سکه

وقتی یک سکه را پرتاب می کنید، به طور کلی می‌توانید دو نتیجه ممکن داشته باشید: پشت یا رو. وقتی دو سکه را به طور همزمان پرتاب می کنید  می توانید چهار نتیجه ممکن به دست آورید:

وقتی سه سکه را همزمان پرتاب می کنید  هشت نتیجه ممکن است:

به الگو توجه کنید: هر بار که یک سکه اضافی اضافه می کنید، تعداد نتایج ممکن دو برابر می شود. بنابراین، اگر شش سکه را پرتاب می کنید، در اینجا چند نتیجه ممکن خواهید داشت:

2 2 2 2 2 2 = 64

تعداد نتایج ممکن برابر است با تعداد پیامدهای هر سکه (2) که به تعداد سکه ها (6) افزایش یافته است: از نظر ریاضی، شما  64 دارید.

در اینجا یک فرمول مفید برای محاسبه تعداد نتایج هنگام پرتاب کردن، تکان دادن یا انداختن چندین سکه، تاس یا سایر اشیاء به طور همزمان وجود دارد:

تعداد نتایج در هر شی تعداد اشیا

فرض کنید می خواهید این احتمال را بیابید که شش سکه پرتاب شده همگی رو بیاید. برای انجام این کار، می‌خواهید یک کسری بسازید، و از قبل می‌دانید که مخرج - تعداد نتایج ممکن - 64 است. فقط یک نتیجه مطلوب است، بنابراین صورت‌گر 1 است:

بنابراین احتمال اینکه شش سکه پرتاب شده همگی با هم بیفتند 1/64 است.

در اینجا یک سوال ظریف تر وجود دارد: احتمال اینکه از هر شش سکه پرتاب شده دقیقاً پنج سکه تماماً سر به زیر بیفتند چقدر است؟ دوباره، شما در حال ساختن یک کسری هستید، و از قبل می‌دانید که مخرج آن 64 است. برای یافتن صورت (نتایج مطلوب)، به این شکل فکر کنید: اگر اولین سکه به سمت بالا بیفتد، بقیه باید سر به بالا بیفتند. . اگر سکه دوم به سمت بالا بیفتد، بقیه سکه ها باید سر به بالا بیفتند. این در مورد هر شش سکه صادق است، بنابراین شما شش نتیجه مطلوب دارید:

بنابراین، احتمال سقوط از هر شش سکه دقیقاً پنج سکه 6/64 است که به 32/3 کاهش می یابد.

تاس انداختن

هنگامی که یک قالب می‌اندازید، می‌توانید شش نتیجه ممکن به دست آورید: 1، 2، 3، 4، 5 یا 6. اما، هنگامی که دو تاس می‌اندازید، این عدد به 36 می‌رسد، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

ریختن های ممکن برای یک جفت تاس.

هر بار که یک قالب اضافی اضافه می کنید، تعداد نتایج ممکن در 6 ضرب می شود. بنابراین اگر چهار تاس بیندازید، تعداد نتایج ممکن در اینجا آمده است:

6 4 = 6 6 6 6 = 1296

فرض کنید می خواهید امکان چرخاندن چهار 6 اس را محاسبه کنید. احتمال کسری است و می دانید که مخرج این کسر 1296 است. در این مورد، تنها یک نتیجه - هر چهار تاس که به عدد 6 می رسند - مطلوب است، بنابراین در اینجا نحوه ساخت کسر خود آورده شده است:

بنابراین احتمال اینکه شما چهار 6 را بچرخانید 1/1296 است - در واقع یک احتمال بسیار کوچک.

در اینجا یک سوال جالب تر وجود دارد: احتمال اینکه هر چهار تاس به 4، 5 یا 6 برسد چقدر است؟ 

برای سه تاس، 3 3 3 = 27 نتیجه مطلوب وجود دارد. بنابراین برای هر چهار تاس، 3 3 3 3 = 81 نتیجه مطلوب وجود دارد. بنابراین

بنابراین، احتمال اینکه هر چهار تاس به 4، 5 یا 6 برسد، 81/1296 است. این کسر به 1/16 کاهش می یابد

مثال و

احتمال انداختن عدد 6 روی یک تاس و گرفتن رو در پرتاب یک سکه چقدر است؟                           

و

همیشه یک درخت احتمال ترسیم کنید.

بنابراین AND = ضرب

اگر نمودار درخت احتمال را رسم کنید، می بینید که کلمه "و" در سوال به این معنی است که باید دو احتمال را ضرب کنید.

مثال یا

احتمال گرفتن 6 یا 5 روی تاس چقدر است؟

اول یادت باشه 

و سپس

همیشه یک درخت احتمال ترسیم کنید.

1/6+1/6=2/6

بنابراین یا = اضافه کنید

اگر نمودار درخت احتمال را رسم کنید، می بینید که کلمه "یا" در سوال به این معنی است که باید ستون را جمع کنید.

این درس ها به مشتقات نمایی نگاه می کند.

نمودار زیر مشتقات توابع نمایی را نشان می دهد. 

مشتق تابع نمایی طبیعی

می‌توانیم فرمول بالا را با قانون زنجیره ترکیب کنیم تا به دست آید

مثال:

مثال:
با استفاده از قانون ضرب و فرمول های بالا، به دست می آوریم

مثال:

مثال:

فرض کنید

{𝐴={1,2,3 },     𝐵={1,9,7

فرض کنید 

𝑓(𝑥)=2𝑥

و

𝑔(𝑥)=3𝑥

 بدست آورید

𝑓(𝐴)

 و

𝑔(𝐴∪𝐵)

​

 نمودار ون مسائل با 3 دایره

اجازه دهید سه مجموعه A، B و C را در نظر بگیریم.

مجموعه A شامل یک عنصر، B حاوی عناصر b و C شامل عناصر c است.

هر دو A و B حاوی عناصر w هستند، B و C حاوی عناصر x، A و C حاوی عناصر y، هر سه مجموعه A، B و C حاوی عناصر z هستند.

می توانیم از نمودار ون با 3 دایره برای نشان دادن اطلاعات بالا مانند شکل زیر استفاده کنیم. 

اجازه دهید تغییرات زیر را در نمودار ون انجام دهیم. 

می توانیم نتایج زیر را از نمودار ون که در بالا نشان داده شده است به دست آوریم.

تعداد عناصر مربوط به A است 

= a - (w + y - z)

تعداد عناصر مربوط به B است 

= b - (w + x - z)

تعداد عناصر مربوط فقط به C است 

= c - (y + x - z)

تعداد عناصر مربوط فقط به (الف و ب) است

= w - z

تعداد عناصر مربوط فقط به (B و C) است

= x - z

تعداد عناصر مربوط فقط به (A و C) است

= y - z

تعداد عناصر مربوط به هر سه مجموعه A، B و C است 

= z

تعداد کل عناصر مربوط به هر سه مجموعه A، B و C می باشد

= [a-(w+yz)] + [b-(w+xz)] + [c-(y+xz)] + (wz) + (xz) + (yz) + z 

مثال ها

مثال 1:

در نظرسنجی از دانشجویان دانشگاه، 64 نفر درس ریاضی، 94 نفر درس شیمی، 58 نفر دروس فیزیک، 28 نفر ریاضی و فیزیک، 26 نفر ریاضی و شیمی ، 22 نفر دروس شیمی و فیزیک و 14 نفر گذرانده بودند. هر سه دوره را گذرانده است. بیابید که چند نفر فقط یک دوره را گذرانده اند.

راه حل :

مرحله 1:

بگذارید M، C و P به ترتیب دروس ریاضی، شیمی و فیزیک را نشان دهند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال: 

گام 2 :

از نمودار ون بالا داریم

تعداد دانش‌آموزانی که فقط ریاضی را 24 خوانده بودند

تعداد دانش آموزانی که فقط شیمی خوانده بودند = 60

تعداد دانش آموزانی که فقط فیزیک خوانده بودند = 22

مرحله 3:

تعداد کل دانش آموزانی که فقط یک درس را گذرانده اند:

= 24 + 60 + 22

= 106

بنابراین تعداد کل دانشجویانی که فقط یک درس را گذرانده اند 106 نفر می باشد.

مثال 2:

در گروهی از دانش‌آموزان، 65 نفر با توپ فوتبال، 45 نفر هاکی، 42 نفر کریکت، 20 نفر با توپ و هاکی، 25 نفر با توپ و کریکت، 15 نفر هاکی و کریکت و 8 نفر هر سه بازی را انجام می‌دهند. تعداد کل دانش آموزان گروه را بیابید  (فرض کنید هر دانش آموز در گروه حداقل یک بازی انجام می دهد.)

راه حل :

مرحله 1:

بگذارید F، H و C به ترتیب نشان دهنده بازی های فوتبال، هاکی و کریکت باشند. 

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

گام 2 :

تعداد کل دانش آموزان گروه:

= 28 + 12 + 18 + 7 + 10 + 17 + 8

= 100

بنابراین تعداد کل دانش آموزان گروه 100 نفر می باشد.

مثال 3:

در یک کالج، 60 دانشجو در رشته شیمی، 40 دانشجو در رشته فیزیک، 30 نفر در زیست شناسی، 15 نفر در شیمی و فیزیک، 10 نفر در رشته فیزیک و زیست شناسی، 5 نفر در رشته زیست شناسی و شیمی ثبت نام کردند. هیچ کس در هر سه ثبت نام نکرد. تعداد افرادی که حداقل در یکی از موضوعات ثبت نام کرده اند را بیابید.

راه حل :

فرض کنید C، P و B به ترتیب نشان دهنده موضوعات شیمی، فیزیک و زیست شناسی هستند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون فوق، تعداد دانش آموزانی که حداقل در یکی از موضوعات ثبت نام  کرده اند:

= 40 + 15 + 15 + 15 + 5 + 10 + 0

= 100

بنابراین تعداد دانش آموزانی  که حداقل در یکی از دروس ثبت نام کرده اند 100 نفر است.

مثال 4:

در یک شهر 85 درصد مردم تامیل، 40 درصد انگلیسی و 20 درصد هندی صحبت می کنند. همچنین 32٪ تامیل و انگلیسی صحبت می کنند، 13٪ تامیل و هندی صحبت می کنند و 10٪ انگلیسی و هندی صحبت می کنند، درصد افرادی که می توانند به هر سه زبان صحبت کنند را بیابید.

راه حل:

بگذارید T، E و H نشان دهنده افرادی باشند که به ترتیب به زبان های تامیل، انگلیسی و هندی صحبت می کنند. 

اجازه دهید x درصد افرادی باشد که به هر سه زبان صحبت می کنند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون بالا می توانیم داشته باشیم 

100 = 40 + x + 32 – x + x + 13 – x + 10 – x – 2 + x – 3 + x

100 = 40 + 32 + 13 + 10 - 2 - 3 + x 

100 = 95 - 5 + x

100 = 90 + x

x = 100 - 90

x = 10٪ 

بنابراین، درصد افرادی که به هر سه زبان صحبت می کنند 10٪ است. 

مثال 5:

یک آژانس تبلیغاتی دریافت که از 170 مشتری خود، 115 نفر از تلویزیون، 110 نفر از رادیو و 130 نفر از مجلات استفاده می کنند. همچنین 85 نفر از تلویزیون و مجلات، 75 نفر از تلویزیون و رادیو، 95 نفر از رادیو و مجلات، 70 نفر از هر سه استفاده می کنند. برای نمایش این داده ها، نمودار ون را رسم کنید. پیدا کردن 

(i) چند نفر فقط از رادیو استفاده می کنند؟

(ii) چند نفر فقط از تلویزیون استفاده می کنند؟

(iii) چند نفر از تلویزیون و مجله استفاده می کنند اما از رادیو استفاده نمی کنند؟

راه حل:

بگذارید T، R و M به ترتیب نشان دهنده افرادی باشند که از تلویزیون، رادیو و مجلات استفاده می کنند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون بالا داریم

(i) تعداد افرادی که فقط از رادیو استفاده می کنند 10 نفر است

(ii) تعداد افرادی که فقط از تلویزیون استفاده می کنند 25 نفر است

(iii) تعداد افرادی که از تلویزیون و مجله استفاده می کنند اما از رادیو استفاده نمی کنند 15 نفر است.

​

​

جداسازی مجموعه ها با استفاده از نمودار ون

جداسازی مجموعه ها با استفاده از نمودار ون توسط دو ناحیه بسته غیر همپوشانی نشان داده می شود و اجزای گفته شده با نشان دادن یک منحنی بسته که به طور کامل در داخل دیگری قرار دارد نشان داده می شوند.

دو مجموعه A و B در صورتی که هیچ عنصر مشترکی نداشته باشند جدا هستند.

بنابراین، A = {1، 2، 3} و B = {5، 7، 9} مجموعه‌های جدا هستند. اما مجموعه های C = {3، 5، 7} و D = {7، 9، 11} جدا نیستند. برای، 7 عنصر مشترک A و B است.

اگر A ∩ B = ϕ به دو مجموعه A و B جدا گفته می شود. اگر A ∩ B ≠ ϕ، A و B مجموعه هایی متقاطع یا همپوشانی هستند.

نمونه هایی برای نشان دادن جدایی مجموعه ها با استفاده از نمودار ون:

1.

اگر A = {1، 2، 3، 4، 5، 6}، B = {7، 9، 11، 13، 15} و C = {6، 8، 10، 12، 14}، A و B جدا نیستند. مجموعه ها از آنجایی که هیچ عنصر مشترکی ندارند در حالی که A و C مجموعه های متقاطع هستند زیرا 6 عنصر مشترک در هر دو است.

2. (i) اجازه دهید M = مجموعه ای از دانش آموزان کلاس VII

و N = مجموعه ای از دانش آموزان کلاس هشتم

از آنجایی که هیچ دانش آموزی نمی تواند در هر دو کلاس مشترک باشد. بنابراین مجموعه M و مجموعه N جدا هستند.

(ii)  X = {p، q، r، s} و Y = {1، 2، 3، 4، 5}

واضح است که مجموعه X و مجموعه Y هیچ عنصر مشترکی برای هر دو ندارند. بنابراین مجموعه X و مجموعه Y مجموعه‌های جدا هستند.

3.

A = {a، b، c، d} و B = {یکشنبه، دوشنبه، سه شنبه، پنج شنبه} از هم جدا هستند زیرا هیچ عنصر مشترکی ندارند.

4.

P = {1، 3، 5، 7، 11، 13} و Q = {ژانویه، فوریه، مارس} از هم جداسازی ه هستند زیرا هیچ عنصر مشترکی ندارند.

توجه داشته باشید:

1. محل تلاقی دو مجموعه مجزا همیشه مجموعه خالی است.

2. در هر نمودار ون ∪ مجموعه جهانی و A، B و C زیر مجموعه های ∪ هستند.

​

اجازه دهید سه مجموعه A، B و C را در نظر بگیریم.

مجموعه A شامل یک عنصر، B حاوی عناصر b و C شامل عناصر c است.

هر دو A و B حاوی عناصر w هستند، B و C حاوی عناصر x، A و C حاوی عناصر y، هر سه مجموعه A، B و C حاوی عناصر z هستند.

می توانیم از نمودار ون با 3 دایره برای نشان دادن اطلاعات بالا مانند شکل زیر استفاده کنیم. 

اجازه دهید تغییرات زیر را در نمودار ون انجام دهیم. 

می توانیم نتایج زیر را از نمودار ون که در بالا نشان داده شده است به دست آوریم.

تعداد عناصر مربوط به A است 

= a - (w + y - z)

تعداد عناصر مربوط به B است 

= b - (w + x - z)

تعداد عناصر مربوط فقط به C است 

= c - (y + x - z)

تعداد عناصر مربوط فقط به (الف و ب) است

= w - z

تعداد عناصر مربوط فقط به (B و C) است

= x - z

تعداد عناصر مربوط فقط به (A و C) است

= y - z

تعداد عناصر مربوط به هر سه مجموعه A، B و C است 

= z

تعداد کل عناصر مربوط به هر سه مجموعه A، B و C می باشد

= [a-(w+yz)] + [b-(w+xz)] + [c-(y+xz)] + (wz) + (xz) + (yz) + z 

مثال ها

مثال 1:

در نظرسنجی از دانشجویان دانشگاه، 64 نفر درس ریاضی، 94 نفر درس شیمی، 58 نفر دروس فیزیک، 28 نفر ریاضی و فیزیک، 26 نفر ریاضی و شیمی ، 22 نفر دروس شیمی و فیزیک و 14 نفر گذرانده بودند. هر سه دوره را گذرانده است. بیابید که چند نفر فقط یک دوره را گذرانده اند.

راه حل :

مرحله 1:

بگذارید M، C و P به ترتیب دروس ریاضی، شیمی و فیزیک را نشان دهند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال: 

گام 2 :

از نمودار ون بالا داریم

تعداد دانش‌آموزانی که فقط ریاضی را 24 خوانده بودند

تعداد دانش آموزانی که فقط شیمی خوانده بودند = 60

تعداد دانش آموزانی که فقط فیزیک خوانده بودند = 22

مرحله 3:

تعداد کل دانش آموزانی که فقط یک درس را گذرانده اند:

= 24 + 60 + 22

= 106

بنابراین تعداد کل دانشجویانی که فقط یک درس را گذرانده اند 106 نفر می باشد.

مثال 2:

در گروهی از دانش‌آموزان، 65 نفر با توپ فوتبال، 45 نفر هاکی، 42 نفر کریکت، 20 نفر با توپ و هاکی، 25 نفر با توپ و کریکت، 15 نفر هاکی و کریکت و 8 نفر هر سه بازی را انجام می‌دهند. تعداد کل دانش آموزان گروه را بیابید  (فرض کنید هر دانش آموز در گروه حداقل یک بازی انجام می دهد.)

راه حل :

مرحله 1:

بگذارید F، H و C به ترتیب نشان دهنده بازی های فوتبال، هاکی و کریکت باشند. 

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

گام 2 :

تعداد کل دانش آموزان گروه:

= 28 + 12 + 18 + 7 + 10 + 17 + 8

= 100

بنابراین تعداد کل دانش آموزان گروه 100 نفر می باشد.

مثال 3:

در یک کالج، 60 دانشجو در رشته شیمی، 40 دانشجو در رشته فیزیک، 30 نفر در زیست شناسی، 15 نفر در شیمی و فیزیک، 10 نفر در رشته فیزیک و زیست شناسی، 5 نفر در رشته زیست شناسی و شیمی ثبت نام کردند. هیچ کس در هر سه ثبت نام نکرد. تعداد افرادی که حداقل در یکی از موضوعات ثبت نام کرده اند را بیابید.

راه حل :

فرض کنید C، P و B به ترتیب نشان دهنده موضوعات شیمی، فیزیک و زیست شناسی هستند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون فوق، تعداد دانش آموزانی که حداقل در یکی از موضوعات ثبت نام  کرده اند:

= 40 + 15 + 15 + 15 + 5 + 10 + 0

= 100

بنابراین تعداد دانش آموزانی  که حداقل در یکی از دروس ثبت نام کرده اند 100 نفر است.

مثال 4:

در یک شهر 85 درصد مردم تامیل، 40 درصد انگلیسی و 20 درصد هندی صحبت می کنند. همچنین 32٪ تامیل و انگلیسی صحبت می کنند، 13٪ تامیل و هندی صحبت می کنند و 10٪ انگلیسی و هندی صحبت می کنند، درصد افرادی که می توانند به هر سه زبان صحبت کنند را بیابید.

راه حل:

بگذارید T، E و H نشان دهنده افرادی باشند که به ترتیب به زبان های تامیل، انگلیسی و هندی صحبت می کنند. 

اجازه دهید x درصد افرادی باشد که به هر سه زبان صحبت می کنند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون بالا می توانیم داشته باشیم 

100 = 40 + x + 32 – x + x + 13 – x + 10 – x – 2 + x – 3 + x

100 = 40 + 32 + 13 + 10 - 2 - 3 + x 

100 = 95 - 5 + x

100 = 90 + x

x = 100 - 90

x = 10٪ 

بنابراین، درصد افرادی که به هر سه زبان صحبت می کنند 10٪ است. 

مثال 5:

یک آژانس تبلیغاتی دریافت که از 170 مشتری خود، 115 نفر از تلویزیون، 110 نفر از رادیو و 130 نفر از مجلات استفاده می کنند. همچنین 85 نفر از تلویزیون و مجلات، 75 نفر از تلویزیون و رادیو، 95 نفر از رادیو و مجلات، 70 نفر از هر سه استفاده می کنند. برای نمایش این داده ها، نمودار ون را رسم کنید. پیدا کردن 

(i) چند نفر فقط از رادیو استفاده می کنند؟

(ii) چند نفر فقط از تلویزیون استفاده می کنند؟

(iii) چند نفر از تلویزیون و مجله استفاده می کنند اما از رادیو استفاده نمی کنند؟

راه حل:

بگذارید T، R و M به ترتیب نشان دهنده افرادی باشند که از تلویزیون، رادیو و مجلات استفاده می کنند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

مسائل

از نمودار ون بالا داریم

(i) تعداد افرادی که فقط از رادیو استفاده می کنند 10 نفر است

(ii) تعداد افرادی که فقط از تلویزیون استفاده می کنند 25 نفر است

(iii) تعداد افرادی که از تلویزیون و مجله استفاده می کنند اما از رادیو استفاده نمی کنند 15 نفر است.

جزییات از نمودار ون برای استفاده از احتمالات چند رویداد مفید است. در شماره 1 زیر استفاده از بررسی و تعیین احتمالات رویدادهای فردی، رویدادها و تعریف یک رویداد را می کنیم. در شماره 3  به بررسی احتمال شرطی و نحوه استفاده از نمودار ون برای حل این مسائل و همچنین فرمول شرطی تصمیم پرداخت.

بیایید از نمودار ون زیر برای یافتن احتمالات زیر استفاده کنیم.

توجه داشته باشید که مجموع تمام اسناد در نمودار است 0.4+0.3+0.2+0.1=1. این تصویر کل فضای نمونه را برای دو رویداد نشان می دهد،A و B.

1. P(A)

برای پیدا کردن P(A)، ما فقط احتمال آن را اضافه می کنیم A به این احتمال رخ می دهد که A و B رخ می دهد برای گرفتن 0.4+0.3=0.7. بنابراینP(A)=0.7.

2. P(B)

به همین ترتیب، P(B)=0.2+0.3=0.5.

3. P(A∩B)

اکنون، P(A∩B) مقدار در ناحیه همپوشانی 0.3 است.

P(A∪B)

P(A∪B)=0.4+0.3+0.2=0.9. که با استفاده از فرمول نیز قابل یافتن استP(A)+P(B)−P(A∩B)=0.7+0.5−0.3=0.9.

P(A′∩B′)

P(A′∩B′) با یافتن خارج از محل که در باید همه چیز از آن مشخص شود A با همه چیز خارج از آن همپوشانی دارد B. این منطقه خارج از هر دویره خواهد بود و احتمال آن 0.1 است. راه دیگری برای فکر کردن به این استP(A∪B)′، یا 1−P(A∪B).

قانون دی مورگان

چند نماد مجموعه معادل در مورد احتمالات وجود دارد و آنها را قوانین دی مورگان می نامند.

(A∩B)′=(A′∪B′) برای مجموعه یا P(A∩B)′=P(A′∪B′) برای احتمالات

و

(A∪B)′=(A′∩B′) برای مجموعه یا P(A∪B)′=P(A′∩B′) برای احتمالات

حال بیایید مشکلات زیر را حل کنیم.

1. داده شده است P(A)=0.6، P(B)=0.3 و P(A∪B)=0.7، پیدا کردن P(A∩B) و P(A′∪B′).

ابتدا مجموعه ای از فرمول اتحاد دو برای تعیین تقاطع استفاده کنیم.

P(A)+P(B)−P(A∩B)0.6+0.3−P(A∩B)0.9−0.70.2=P(A∪B)=0.7=P(A∩B)=P(A∩B)

اکنون می از قانون دی مورگان برای پیدا کردن استفاده کنیم P(A′∪B′).

P(A′∪B′)=P(A∩B)′=1−P(A∪B)=1−0.2=0.8.

ما همچنین می توانیم یک نقشه را برای احتمالات ایجاد کنیم و تفسیر کنیم P(A′∪B′) و مناطق خارج از کشور A اتحاد با مناطق خارج B که همه چیز در نظر خواهد بود به همپوشانی دو منطقه یا P(A∩B).

2. داده‌های یک نظرسنجی از 140 دانش‌آموز نشان داد که 37 نفر موسیقی مطالعه می‌کنند، 103 نفر ورزش می‌کنند و 25 نفر هیچ کدام را انجام نمی‌دهند. یک نمودار ون ایجاد کنید تا داده های جمع آوری شده را نشان دهد و سپس این احتمال را تعیین کنید که اگر دانش آموزی به طور تصادفی انتخاب شود،

1. او موسیقی خواهد خواند
2. او با توجه به اینکه یک ورزش انجام می دهد، موسیقی را مطالعه می کند.

اجازه دهید M نشان دهنده مجموعه دانش آموزانی است که موسیقی می خوانند و Sنشان دهنده مجموعه دانش آموزانی است که ورزش می کنند. ابتدا تعداد دانش‌آموزانی که موسیقی مطالعه می‌کنند و ورزش می‌کنند را مشخص می‌کنیم تا ناحیه همپوشانی در نمودار را پر کنیم و سپس می‌توانیم مقادیر دیگر را پیدا کنیم.

n(M)+n(S)−n(M∩S)37+103−n(M∩S)n(M∩S)=n(M∪S)=115=25

1. احتمال اینکه یک دانش آموز به طور تصادفی انتخاب شده موسیقی را مطالعه کند، تعداد دانش آموزانی است که موسیقی مطالعه می کنند تقسیم بر تعداد کل دانش آموزان مورد بررسی یا P(M)=n(M)140=37140≈0.264.
2. احتمال اینکه دانش آموزی که به طور تصادفی انتخاب می شود با توجه به اینکه یک ورزش را انجام می دهد، موسیقی مطالعه کند، احتمال شرطی نامیده می شود. ما از علامت گذاری استفاده می کنیمP(M|S) به نمایندگی از P(M) با توجه به اینکه Sقبلا رخ داده است. برای یافتن این احتمال با استفاده از نمودار ون، تعداد دانش‌آموزانی که موسیقی مطالعه می‌کنند و یک ورزش را انجام می‌دهند را پیدا می‌کنیم و بر تعداد دانش‌آموزانی که ورزش می‌کنند یا تقسیم می‌کنیم.P(M|S)=n(M∩S)n(S)=25103≈0.243. این طور فکر کنید، وقتی می گوییم می دانیم که دانش آموز یک ورزش را انجام می دهد، پس شمارش به دانش آموزانی محدود می شود که موسیقی می خوانند و یک ورزش انجام می دهند و مخرج محدود به کسانی است که ورزش می کنند.

همچنین یک فرمول برای احتمال شرطی وجود دارد: P(A|B)=P(A∩B)P(B)

در زمینه مشکل ما این است: P(M|S)=P(M∩S)P(S)=25140103140=25140⋅140103=25103.

توجه داشته باشید که احتمال به دست آمده همان است که قبلا تعیین شده است. از هر دو روش می توان استفاده کرد.

مثال ها

مثال 1

پیش از این، از شما خواسته شد که  این احتمال را پیدا کنید که یکی از آن مشتریانی که به طور تصادفی انتخاب شده اند، آب نبات پنبه دندی را بخواهند. 

نمودار ون برای این وضعیت 12 را نشان می دهد، تعداد مشتریانی که هر دو طعم را دوست دارند، به عنوان تقاطع. بنابراین تعداد مشتریانی که فقط طعم Pumpernickel را دوست دارند، خواهد بود32−12=20 در حالی که تعداد مشتریانی که فقط طعم آب نبات پنبه را دوست دارند، خواهد بود 58−12=46. از آنجایی که 21 مشتری وجود دارد که هیچ طعمی را دوست ندارند، تعداد کل مشتریان مورد نظرسنجی است12+20+46+22=100 و این احتمال وجود دارد که یکی از آن مشتریانی که به طور تصادفی انتخاب شده است طعم آب نبات پنبه را بپسندد 58100=58%.

مثال 2

در کلاسی متشکل از 260 نفر از سالمندان، 93 نفر اسپانیایی، 95 نفر شیمی، 165 نفر ریاضی، 18 نفر اسپانیایی و شیمی، 75 نفر شیمی و ریاضی، 20 نفر ریاضی و اسپانیایی و 15 نفر در هر سه موضوع مطالعه می‌کنند. یک نمودار ون برای نشان دادن داده ها بسازید و سپس احتمال انتخاب دانش آموز در مطالعات تصادفی را بیابید:

فقط اسپانیایی

P(S∩M′∩C′)=70260=726≈0.269

ریاضی و شیمی اما اسپانیایی نه

P(M∩C∩S′)=60260=313≈0.231

 هیچ کدام از این موضوعات

P(M′∩C′∩S′)=5260=152≈0.0192

اسپانیایی، با توجه به اینکه او ریاضی می خواند

P(S|M)=P(S∩M)P(M)=20260165260=433≈0.121

مثال 3

داده شده P(A∩B)=0.4، P(A∩B′)=0.2 و P(A′∩B′)=0.3، پیدا کردن P(B) و P(A|B).

اطلاعات نمودار ون را به ما می دهد:

مقدار گمشده، P(B∩A′)، باید 0.1 باشد تا مجموع احتمالات موجود در فضای نمونه برابر 1. بنابراین، P(B)=0.5. P(A|B)=P(A∩B)P(B)=0.40.5=45=0.8.

مرور

برای سؤالات 1-3، احتمالات نشان داده شده را پیدا کنید P(A)=0.5، P(B)=0.65 و P(A∪B)=0.75.

1. P(A∩B)
2. P(A′∩B′)
3. P(B|A)

برای سؤالات 4-6، احتمالات داده شده را پیدا کنید P(A)=0.6، P(B)=0.8 و P(A∪B)′=0.2.

4. P(A∩B′)
5. P(B|A)
6. P(A|B)

برای سؤالات 7-9، احتمالات داده شده را پیدا کنید P(A∩B′)=0.3، P(B∩A′)=0.2 و P(A∪B)=0.8.

7. P(A∩B)
8. P(A)
9. P(B|A)
10. داده شده P(A)=2P(B)، P(A∪B)=0.8 و P(A∩B)=0.1، پیدا کردن P(A).
11. باشگاه بین المللی در یک مدرسه دارای 105 عضو است که بسیاری از آنها به چندین زبان صحبت می کنند. رایج ترین زبان های این باشگاه انگلیسی، اسپانیایی و چینی است. از نمودار ون زیر برای تعیین احتمال انتخاب دانش آموزی استفاده کنید که:
    1. انگلیسی صحبت نمی کند
    2. با توجه به اینکه انگلیسی صحبت می کند اسپانیایی صحبت می کند.
    3. با توجه به اینکه چینی صحبت می کند انگلیسی صحبت می کند.
    4. اسپانیایی و انگلیسی صحبت می کند اما چینی را نه.

پاسخ برای  مشکلات بررسی

بخش 6 بخش 3: احتمال دو واقعه
در این بخش استفاده از لیست ها ، جداول و نمودارهای درخت را برای محاسبه احتمالات دو واقعه بررسی می کنیم.مثال 1
یک سکه بی طرف دو بار ریخته می شود.
(آ)
لیست تمام نتایج ممکن است.
نتایج احتمالی عبارتند از:ههHTTHTT
بنابراین 4 نتیجه احتمالی وجود دارد که همه به همان اندازه ممکن است رخ دهد که سکه مغرضانه نیست.
(ب)
احتمال به دست آوردن دو سر چقدر است؟
تنها یک راه برای به دست آوردن 2 سر وجود دارد ، بنابراین:پ (2 سر) =14
(ج)
احتمال به دست آوردن سر و دم به هر ترتیب چقدر است؟
مثال 2
تاس قرمز و یک تاس آبی ، هر دو بی طرف ، در همان زمان نورد می شوند. نمرات دو تاس سپس به هم اضافه می شوند.
(آ)
برای نشان دادن تمام نتایج ممکن از جدول استفاده کنید.

(ب)
احتمال به دست آوردن چیست:(من)نمره 5 ، (ii)نمره ای که بیشتر از 3 باشد ، (iii)نمره ای که یک عدد است ؟ مثال 3
یک کارت به طور تصادفی از یک بسته 52 کارت بازی گرفته می شود و سپس تعویض می شود. سپس کارت دوم به طور تصادفی از بسته کشیده می شود. برای تعیین احتمال استفاده از یک نمودار درختی:
(آ)
هر دو کارت الماس هستند ،

(ب)
حداقل یک کارت الماس است ،

(ج)
دقیقاً یک کارت الماس است ،

(د)
هیچ کارت الماس نیست.
تمرینات
پاسخ سوالات زیر را بیاموزید و جعبه ها را پر کنید. برای فهمیدن اینکه آیا به درستی پاسخ داده اید ، بر روی دکمه کلیک کنید.اگر حق با شماست ، ظاهر می شوید و باید به سؤال بعدی بروید. اگر ظاهر شود ، پاسخ شما اشتباه است. برای پاک کردن جواب اصلی خود کلیک کنید و یک کار دیگر انجام دهید. اگر نمی توانید جواب درست را بدست آورید ، برای دیدن جواب کلیک کنید .
سوال 1
صورت یک تاس بی طرفانه به گونه ای نقاشی شده است که 2 قرمز ، 2 آبی و 2 رنگ زرد است . تاس ها دو بار چرخ می شوند. سه مورد از نتایج احتمالی در زیر ذکر شده است:RRRBRY
(آ)
9 نتیجه احتمالی را ذکر کنید.
 
(ب)
احتمال اینکه:(من)هر دو صورت قرمز هستند ،  (ii)هر دو صورت یک رنگ هستند ،  (iii)چهره ها از رنگ های مختلفی هستند ؟  
سوال 2
یک چرخش با حروف A ، B ، C و D مشخص شده است ، به طوری که هر حرف به همان اندازه به دست می آید. چرخنده دو بار چرخانده است.
(آ)
16 نتیجه احتمالی را ذکر کنید.
 
(ب)
احتمال اینکه:(من)A دو بار به دست می آید ،  (ii)A حداقل یک بار به دست می آید ،  (iii)هر دو حرف یکسان هستند ،  (IV)حرف B اصلاً به دست نمی آید؟  
سؤال 3 
دو تاس عادلانه شماره گذاری می شوند به طوری که شماره های زیر را در چهره خود دارند:1 ،1 ،2 ،3 ،4 ،6
تاس ها به طور هم زمان چرخانده می شوند ، و نمرات آنها به هم اضافه می شوند.
(آ)
برای نشان دادن 36 نتیجه ممکن یک جدول بکشید.
تاس اولتاس دوم 1123461      1      2      3      4      6      
(ب)
احتمال اینکه نمره کل باشد چقدر است:(من)6 ،  (ii)3 ،  (iii)بیشتر از 10 ،  (IV)کمتر از 5؟  
سؤال 4 
یک اسپینر قرمز با اعداد 1 تا 4 مشخص شده است و یک اسپینر آبی با اعداد 1 تا 5 مشخص شده است. دو اسپینر به طور هم زمان چرخش دارند و دو امتیاز به هم اضافه می شوند.
(آ)
برای نشان دادن 20 نتیجه احتمالی ، یک جدول بکشید.
اسپینر آبیقرمز اسپینر 123451     2     3     4     
(ب)
احتمال اینکه نمره کل دو اسپینر این باشد چیست:(من)حتی تعداد،  (ii)شماره 7 ،  (iii)تعداد بیشتر از 4 ،  (IV)عددی کمتر از 7؟  
سؤال 5 
تاس بی طرفانه می چرخد ​​و همزمان سکه عادلانه ریخته می شود.
(آ)
تمام نتایج احتمالی را در یک جدول نشان دهید.
تاسسکه 123456ح      تی      
(ب)
احتمال به دست آوردن چیست:(من)یک سر و یک 6 ،  (ii)یک دم و یک عدد عجیب و غریب ،  (iii)دم و عدد کمتر از 5؟  
سؤال 6 سکه ای مغرضانه است به طوری که احتمال به دست آوردن سر وجود دارد35و احتمال به دست آوردن دم آن است25.
(آ)
نمودار درخت زیر را تکمیل کنید تا نتایج و احتمالات احتمالی را در صورت لکه دار کردن سکه نشان دهید.
      
 
   ×  =    ×  =    ×  =  

(ب)
احتمال به دست آوردن چیست:(من)2 سر ،  (ii)حداقل یک سر ،  (iii)2 دم ،  (IV)دقیقا 1 دم؟  
سؤال 7 
تاس بی طرفانه دو بار در یک بازی قرار می گیرد. اگر 1 یا 6 بدست بیاید ، یک جایزه کسب می کنید.
(آ)
نمودار درختی زیر را کامل کنید:
          
 
 
 
       ×  =    ×  =    ×  =  

(ب)
احتمال اینکه یک بازیکن برنده شود چیست:(من)2 جایزه ،  (ii)1 جایزه ،  (iii)حداقل 1 جایزه؟  
سؤال 8 
یک کارت به طور تصادفی از بسته 52 کارت بازی گرفته می شود. تعویض می شود و سپس کارت دوم به طور تصادفی از بسته گرفته می شود. گفته می شود که یک کارت اگر یک پادشاه ، ملکه یا جک باشد کارت "سلطنتی" است . برای محاسبه احتمال استفاده از یک نمودار درختی:(آ)هر دو کارت رویال هستند ،  (ب)یک کارت یک رویال است ،  (ج)حداقل یک کارت سلطنتی است ،  (ج)هیچ کارت سلطنتی نیست.  
سؤال 9 احتمال اینکه هر روز اتوبوس مدرسه دیر شود ، وجود دارد110.
از نمودار درختی استفاده کنید تا احتمال محاسبه اتوبوس در دو روز متوالی:(آ)دوبار دیر ،  (ب)یک بار دیر ،  (ج)هرگز دیر نشده  
سؤال 10 احتمال اینکه یک تکه نان در یک توستر بسوزد ، است19.
دو تکه نان برشته می شوند ، یکی پس از دیگری.
(آ)
برای محاسبه این احتمال که حداقل یکی از این برش های نان در توستر وجود داشته باشد از یک نمودار درخت استفاده کنید.p (حداقل یک قطعه سوخته) =  
(ب)
نمودار درخت خود را گسترش دهید تا شامل 3 برش نان تست شود ، یک بار. احتمال حداقل یک قطعه سوختگی در توستر را محاسبه کنید.p (حداقل یک قطعه سوخته) =  
سؤال 11 
یک سکه دارای دو طرف ، سر و دم است.
(آ)
کریس قصد دارد یک سکه را پرتاب کند. احتمال اینکه کریس سرش را بگیرد چقدر است؟ پاسخ خود را به صورت کسری بنویسید.  
(ب)
سیون قصد دارد 2 سکه پرتاب کند. جدول زیر را کپی و تکمیل کنید تا نتایج مختلفی را که می توانید کسب کنید نشان دهید.سکه اولسکه دومسرهاسرها      
(ج)
سیون قصد دارد 2 سکه پرتاب کند. احتمال اینکه او با هر دو سکه خود دم بکشد چیست؟ پاسخ خود را به صورت کسری بنویسید.  
(د)
دایان یک سکه پرتاب کرد. دمش گرفت. دایان قصد دارد سکه دیگری را پرتاب کند. این احتمال که او دوباره با سکه بعدی خود دم بکشد چیست؟ پاسخ خود را به صورت کسری بنویسید.  
سؤال 12 
من دو تاس عادلانه دارم هر یک از تاس ها شماره 1 تا 6 هستند.
(آ)
احتمال اینکه دو برابر 6 پرتاب کنم (هر دو تاس نشان شماره 6) است136
احتمال اینکه دوبل 6 پرتاب نکنم چقدر است؟p (نه دو برابر 6) =  
(ب)
هر دو تاس را پرتاب می کنم و دو برابر می شوم 6. سپس دوباره هر دو تاس را دوباره پرتاب می کنم. کدام یک از پاسخهای موجود در لیست زیر ، احتمال اینکه این بار 6 برابر 6 پرتاب کنم را توصیف می کند ؟کمتر از136 136بیشتر از136
دوباره شروع می کنم و هر دو تاس را پرت می کنم.
(ج)
احتمال اینکه دو برابر 3 پرتاب کنم (هر دو تاس نشان شماره 3) چیست؟p (دو برابر 3) =  
(د)
احتمال اینکه دوبل بزنم چقدر است؟ (می تواند دو برابر شود 1 یا دو برابر 2 یا هر دو برابر دیگر.)p (دو برابر) =  
سؤال 13 
در جاده ها دو مجموعه چراغ راهنمایی وجود دارد. چراغ راهنمایی به طور مستقل کار می کند. برای هر مجموعه چراغ راهنمایی ، احتمال متوقف شدن راننده 0.7 است.
(آ)
یک زن قصد دارد در طول جاده رانندگی کند.
(من)
احتمال اینکه او مجبور شود در هر دو چراغ راهنمایی متوقف شود ، چقدر است؟

(ii)
احتمال این که او را مجبور به چه متوقف در تنها یکی از دو مجموعه از چراغ های ترافیک؟

(ب)
در یک سال ، یک مرد 200 بار در طول جاده رانندگی می کند. تخمین تعداد دفعاتی که او در هر دو مجموعه چراغ راهنمایی رانده می شود بدون توقف محاسبه کنید .
سؤال 14 
از 100 دانشجو پرسیده شد که آیا آنها فرانسه یا آلمانی تحصیل کرده اند.نتایج :
27 دانش آموز به دو زبان فرانسه و آلمانی تحصیل کردند .
(آ)
این احتمال که دانشجویی که به طور تصادفی انتخاب شده باشد ، تنها یکی از زبانها را فرا خواهد گرفت ، چیست؟
توجه: راه حل را به صورت اعشاری یا درصد بنویسید
 
(ب)
این احتمال که دانشجویی که در حال تحصیل در آلمان است نیز تحصیل می کند فرانسه است ، چقدر است؟  
(ج)
دو نفر از 100 دانشجو به طور تصادفی انتخاب می شوند. از بین محاسبات زیر ، یکی را انتخاب کنید که احتمال اینکه دانش آموزان هر دو زبان فرانسه و آلمانی را مطالعه کنندنشان می دهد .
توجه: با کلیک بر روی آن یک محاسبه را انتخاب کنید.27100×2610027100+269927100+2710027100×269927100×27100

سؤال 15 
یک شرکت دیسک های رایانه ای می سازد. این آزمایش یک نمونه تصادفی از دیسک ها از یک دسته بزرگ است. شرکت احتمال نقص هر دیسک را 0/025 محاسبه کرده است. گلندا 2 دیسک خریداری می کند.
(آ)
احتمال محاسبه هر دو دیسک را محاسبه کنید .
 
(ب)
محاسبه این احتمال وجود دارد که فقط یکی از دیسک ها دارای نقص هستند.
 
(ج)
این شرکت 3 نمونه دیسک معیوب را در نمونه آزمایش شده خود پیدا کرد. احتمالاً چند دیسک تست شده است؟
 سؤال 16 در جزیره گرمسیری احتمال باران در اولین روز از فصل باران وجود دارد23.اگر در روز اول باران نباشد ، احتمال باران باران در روز دوم است710.اگر در روز اول باران ببارد ، احتمال باران بیش از 10 میلی متر در روز اول است15.اگر در روز دوم باران ببارد اما در روز اول نباشد ، احتمال باران بیشتر از 10 میلی متر است14.
شاید کپی و تکمیل نمودار درخت را قبل از پاسخ به سوالات مفید بدانید.                  = 120  = 120      = 120

(آ)
احتمال اینکه در روز دوم بیش از 10 میلی متر باران بخورد ، و باران باران نمی بارد ، چقدر است؟  
(ب)
احتمال باران باران تا پایان روز دوم فصل باران چیست؟  
(ج)
آیا از اطلاعات داده شده می توان احتمال باران در هر دو روز را مشخص کرد؟
 - آره نه  سؤال 17 
دانش آموزان در مدرسه یک کلمه بازی با نام وردو اختراع کردند. آنها این کار را با تعداد زیادی از افراد امتحان کردند و دریافتند که احتمال برنده شدن وردو 0.6 است. دانش آموزان یک کلمه بازی دیگر ، Lango را اختراع کردند. همان نمونه ای که Wordo را بازی کرده بود سپس Lango را بازی کرد. دانش آموزان این نمودار درخت را ترسیم کردند تا احتمال برنده شدن را نشان دهند.

(آ)
احتمال اینکه کسی از نمونه برنده لانگو پیروز شود چقدر بود؟
 
(ب)
احتمال اینکه کسی از این بازی فقط یکی از دو بازی کلمه را کسب کند ، چه کسی احتمال دارد ؟
 
(ج)
دانش آموزان همچنین یک بازی تاس اختراع کردند. آنها آن را با همان نمونه افرادی که قبلاً وردو و لانگو بازی کرده بودند ، امتحان کردند. احتمال برنده شدن در بازی تاس 0.9 بود. مشخص شد که این مستقل از احتمالات وردو و لانگو است. احتمال اینکه کسی از این سه بازی دو برنده شود ، محاسبه کنید.
 
(د)
محاسبه احتمال یک نفر از نمونه برنده شدن در تنها یکی از این سه بازی.
 
https://www.cimt.org.uk/projects/mepres/book9/bk9i6/bk9_6i3.html

نظریهٔ احتمال

چند تعریف

برای ادامهٔ بحث، لازم است که ابتدا چند واژه را تعریف کنیم:

آزمایش تصادفی

یک آزمایش که نتیجهٔ آن به هیچ‌وجه قابل پیش‌بینی نباشد یا اصطلاحاً تصادفی باشد؛ مثل انداختن تاس یا سکه.

فضای نمونه [۱]

مجموعهٔ کل نتیجه‌هایی که ممکن است از یک آزمایش تصادفی حاصل شود؛ مثلاً در آزمایش انداختن تاس فضای نمونه به صورت  است.

پیشامد[۲]

به هریک از زیرمجموعه‌های فضای نمونه یک پیشامد می‌گویند؛ مثلاً  یک پیشامد در آزمایش انداختن تاس است.

فضای نمونهٔ هم‌شانس[۳]

در صورتی که همهٔ اعضای فضای نمونه شانس برابری برای ظاهر شدن داشته باشند یا به عبارت دیگر، شانس تمام اعضا یکسان باشد، این فضای نمونه را هم‌شانس می‌خوانیم. مثلاً آزمایش انداختن تاس سالم[۴] در فضای هم‌شانس است.

احتمال در فضای متناهی[ویرایش]

اگر فضای نمونهٔ ما هم‌شانس و دارای تعداد اعضای متناهی باشد، برای محاسبهٔ احتمال وقوع یک پیشامد، فرمول لاپلاس را به کار می‌گیریم.

یا به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت اندازهٔ پیشامد به اندازهٔ فضای نمونه. برای مثال اگر آزمایش انداختن تاس سالم را در نظر بگیریم که دارای فضای نمونهٔ هم‌شانس با اندازهٔ متناهی است، با توجه به آن‌چه پیش‌تر گفته شد، احتمال آمدن عدد 6، برابر است با اندازه پیشامد (یعنی اندازهٔ  که 1 است) بخش بر اندازهٔ فضای نمونه (یعنی اندازهٔ که 6 است). به این ترتیب احتمال آمدن عدد 6، برابر با  محاسبه می‌شود.

احتمال پیشامدهای مرکب[ویرایش]

گاهی می‌خواهیم با داشتن احتمال چند پیشامد، بتوانیم احتمال مجموعهٔ حاصل از اعمال جبر مجموعه‌ها بر آن‌ها را نیز محاسبه کنیم. دو مورد از این موارد مهم‌تر است:

• احتمال مکمل یک پیشامد: مکمل یک پیشامد زمانی اتفاق می‌افتد که خود آن پیشامد اتفاق نیفتد. به عبارت دیگر ما می‌خواهیم احتمال رخ ندادن یک پیشامد را حساب کنیم. از آن‌جا که پیشامد زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است، مکمل آن، مجموعهٔ اعضای فضای نمونه است که در پیشامد مورد نظر ما نیستند. به این ترتیب با توجه به فرمول لاپلاس، رابطهٔ زیر برای محاسبهٔ احتمال مکمل یک پیشامد، با داشتن احتمال خود آن پیشامد به دست می‌آید:

با توجه به آن‌چه گفته شد اثبات این رابطه بسیار ساده است.

• احتمال اجتماع[۵] دو پیشامد: همان‌طور که از مفهوم اجتماع مجموعه‌ها برمی‌آید، وقوع اجتماع دو پیشامد به معنی آن است که حداقل یکی از این دو پیشامد اتفاق بیفتد. برای محاسبهٔ احتمال اجتماع دو پیشامد، با فرض داشتن احتمال خود آن‌ها و احتمال اشتراک[۶] شان، رابطهٔ زیر را داریم:

اثبات این رابطه با دانستن این‌که  میسر است.

تخصیص احتمال[ویرایش]

تا این‌جا بیش‌تر دربارهٔ آزمایش‌ها و فضاهای نمونه‌ای بحث کردیم که هم‌شانس هستند. با این‌همه، بسیاری از آزمایش‌ها در فضای هم‌شانس اتفاق نمی‌افتند و لذا برای محاسبهٔ احتمال آن‌ها نمی‌توان به سادگی فرمول لاپلاس را به کار برد.

برای حل این مشکل، راه‌حل تخصیص احتمال[۷] را به این ترتیب به کار می‌بریم: به تک‌تک اعضای فضای نمونه احتمالی نسبت می‌دهیم که از دو قانون زیر پیروی کند:

• مقدار هر یک از این احتمال‌ها باید بین صفر و یک باشد؛ به عبارت دیگر برای هر  داشته باشیم:

• مجموع مقدار احتمال‌های تخصیص‌داده‌شده، برابر 1 باشد؛ به عبارت دیگر داشته باشیم:

به تابع احتمال p، تابع توزیع احتمال[۸] می‌گوییم.

اگر تابع احتمال به هر عضو فضای نمونه، مقدار یکسانی نسبت دهد، آن را توزیع یک‌نواخت[۹] می‌خوانیم.

روشن است که با توجه به آن‌چه در این‌جا تعریف کردیم، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با مجموع احتمال اعضایی از فضای نمونه که در آن پیشامد حضور دارند.

احتمال شرطی و استقلال پیشامدها[ویرایش]

فرض کنید خانواده‌ای دو فرزند دارد. می‌خواهیم بدانیم اگر فرزند اول پسر باشد، با چه احتمالی فرزند دوم دختر خواهد بود؟ برای حل چنین مسئله‌ای از رابطهٔ احتمال شرطی[۱۰] استفاده می‌کنیم که به شکل زیر است:

یا به عبارت دیگر احتمال وقوع E، اگر F اتفاق افتاده باشد، برابر است با نسبت احتمال اشتراک E و F به احتمال F.

حال اگر این دو پیشامد از هم مستقل[۱۱] باشند، روشن است که وقوع E ارتباطی با وقوع F نخواهد داشت یا به تعبیر دیگر  همان  خواهد بود.

به این ترتیب می‌توانیم دو پیشامد E و F را مستقل بدانیم، در صورتی که:

توزیع احتمال دوجمله‌ای[ویرایش]

یک آزمایش تصادفی بسیار مشهور، موسوم به آزمایش برنولی[۱۲]، به این شکل تعریف می‌شود:

• آزمایشی تصادفی که در هر بار انجام آن تنها یا پیروزی اتفاق می‌افتد یا شکست.

با توجه به این آزمایش، در صورتی که n بار آزمایش برنولی انجام شود، و این آزمایش‌ها از هم مستقل باشند و احتمال پیروزی نیز p باشد، آن‌گاه تابع توزیع احتمال، مشهور به توزیع احتمال دوجمله‌ای[۱۳] خواهیم داشت که به صورت  است (k تعداد پیروزی‌هاست).

علت این نام‌گذاری، شباهت فوق‌العادهٔ رابطهٔ به‌دست‌آمده با رابطهٔ بسط دوجمله‌ای نیوتن است.

توزیع احتمال هندسی[ویرایش]

اگر آزمایش برنولی (که در بخش قبل معرفی شد) آن‌قدر تکرار شود تا پیروزی به دست آید، در این صورت توزیع احتمالی به دست می‌آید که به توزیع احتمال هندسی[۱۴] مشهور است. در این حالت فضای نمونه، تعداد اعضای نامتناهی دارد و هر عضو را می‌شود یک توالی[۱۵] در نظر گرفت. تابع توزیع احتمال در این حالت به شکل زیر است (p احتمال پیروزی و k تعداد دفعات لازم برای تکرار آزمایش است تا پیروزی حاصل شود):

توجه کنید که تعریف این توزیع را می‌توانستیم به این ترتیب انجام دهیم که آن‌قدر آزمایش تکرار شود تا نتیجهٔ شکست به دست آید. اگر تعریف به این شکل باشد، کافی است جای p و 1-p را در رابطهٔ به‌دست‌آمده عوض کنیم.

متغیر تصادفی، امیدریاضی و واریانس[ویرایش]

در این بخش به معرفی سه تابع بسیار مهم مرتبط با احتمال می‌پردازیم. این تابع‌ها، کاربردهای وسیعی در نظریهٔ احتمال و مباحث آماری دارند.

متغیر تصادفی[ویرایش]

متغیر تصادفی[۱۶]، تابعی است که از فضای نمونه بر اعداد حقیقی تعریف شده است؛ یعنی هر عضو از فضای نمونه را به یک عدد حقیقی مربوط می‌کند. متغیر تصادفی را معمولاً با X نشان می‌دهند. (اشتباه نکنید! متغیر تصادفی، نه متغیر است و نه تصادفی! این تنها یک نام‌گذاری است).

مثلاً فرض کنید که خانواده‌ای دو فرزند دارد. به این ترتیب فضای نمونهٔ حالت‌های ممکن برای این جنسیت دو فرزند به صورت {(پ، د)و(د، پ)و(د، د)و(پ، پ)} خواهد بود. حال فرض کنید متغیر تصادفی X قرار است تعداد فرزندان دختر را مشخص کند. به این ترتیب خواهیم داشت:

0=(پ، پ)X

1=(پ، د)X

1=(د، پ)X

2=(د، د)X

همان‌طور که برای یک آزمایش تصادفی، توزیع احتمال تعریف کردیم، می‌توانیم برای متغیر تصادفی نیز تابع توزیع احتمال تعریف کنیم که با (p(X=r نموده می‌شود. مثلاً در مورد همان مثال بالا، تابع توزیع احتمال به این شکل درمی‌آید:

حال می‌توانیم دومین تابع را معرفی کنیم.

امیدریاضی[ویرایش]

امیدریاضی[۱۷]، در حقیقت یک نوع میانگین‌گیری از متغیر تصادفی است. یعنی این‌که اگر یک آزمایش را بی‌نهایت‌بار تکرار کنیم و از مقدارهای متغیر تصادفی مرتبط با نتایج میانگین بگیریم، چه عددی به دست خواهد آمد. معرفی دقیق ریاضی این تابع کمک بیش‌تری خواهد کرد:

برای نمونه، اگر همان مثال گفته شده در بخش قبل را در نظر بگیریم، امیدریاضی تعداد دختران یک خانواده با دو فرزند به صورت زیر خواهد بود:

یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های تابع امیدریاضی، خطی بودن آن است؛ یعنی اگر n متغیر تصادفی به صورت  داشته باشیم، تساوی زیر برقرار خواهند بود:

برای ادامهٔ بحث، بد نیست تعریف زیر را انجام دهیم:

• دو متغیر تصادفی X و Y را مستقل می‌خوانیم در صورتی که برای هر  داشته باشیم احتمال X=a و Y=b برابر است با حاصل‌ضرب احتمال X=a در احتمال Y=b.

با توجه به این تعریف، می‌توان ثابت کرد که حکم مهم زیر برقرار است:

• اگر X و Y دو متغیر تصادفی مستقل باشند، آن‌گاه خواهیم داشت (E(XY)=E(X)E(Y.

اگر به یاد داشته باشید در مبحث قبل، توزیع احتمال دوجمله‌ای و هندسی را تعریف کردیم. محاسبات نشان می‌دهند که امیدریاضی توزیع احتمال دوجمله‌ای برابر  و امیدریاضی توزیع احتمال هندسی برابر  خواهد بود.

حال به معرفی آخرین تابع می‌پردازیم که در محاسبات آماری جایگاه ویژه‌ای دارد.

واریانس[ویرایش]

واریانس[۱۸] در محاسبات آماری، یک معیار برای سنجش میزان پراکندگی داده‌ها از میانگین است. ما در این مباحث، امیدریاضی را مشابه میانگین در نظر گرفتیم و به این ترتیب واریانس را چنین تعریف می‌کنیم:

• اگر X متغیر تصادفی روی فضای نمونهٔ S باشد، واریانس X برابر خواهد بود با:

حکم بسیار مهمی که در محاسبات بسیار راه‌گشاست و از تعریف نتیجه می‌شود به قرار زیر است:

• اگر متغیر تصادفی X روی فضای نمونهٔ S تعریف شده باشد، واریانس از رابطهٔ زیر نیز به دست می‌آید:

در این‌جا مقصود از این است که مقدارهای متغیر تصادفی را به توان 2 برسانیم.

مثلاً برای محاسبهٔ واریانس متغیر تصادفی تعداد فرزندان دختر در یک خانواده با دو فرزند (که در بخش‌های قبل توزیع احتمال و امیدریاضی آن به دست آمد)، باید به این ترتیب عمل کنیم:

واریانس مجموع چند متغیر تصادفی مستقل را می‌توان برحسب واریانس تک‌تک این متغیرها حساب کرد:

تأکید می‌کنیم که این حکم فقط در صورتی قابل استفاده است که متغیرها مستقل باشند.

1

3 کارت از یک طبقه استاندارد از 52 کارت کشیده شده است. چند دست 3 کارت مختلف ممکن است کشیده شود؟

راه حل

اول از همه ، ترتیب ترتیب 3 کارت مهم نیست (همان کارتهایی که در دستورات مختلف کشیده می شوند ، همان دست 3 کارت محسوب می شوند).علاوه بر این ، هر کارت فقط یک بار قابل کشیدن است. بنابراین تعداد دستهای 3 کارته مختلف که احتمالاً قابل کشیدن هستند برابر با تعداد ترکیبات ممکن بدون تکرار 3 جسم از 52 است. اگر ما آن را از آن یاد می کنیم ، پس

تمرین 2

جان یک دلار دارد که با آن می توانید آب نبات های سبز ، قرمز و زرد خریداری کنید. هزینه هر شیرینی 50 سنت است. جان تمام پولی را که در اختیار دارد برای شیرینی خرج می کند. چند ترکیب مختلف از آب نبات های سبز ، قرمز و زرد را می توان خریداری کرد؟

راه حل

اول از همه ، ترتیب انتخاب 3 رنگ مختلف اهمیتی ندارد. علاوه بر این ، هر رنگ را می توان بیش از یک بار انتخاب کرد. بنابراین ، تعداد ترکیبات مختلف آب نبات های رنگی که جان می تواند انتخاب کند برابر با تعداد ترکیبات ممکن با تکرار 2 جسم از 3 است. اگر ما از آن استفاده می کنیم ،

تمرین 3

هیئت مدیره یک شرکت شامل 10 عضو است. هیئت اجرایی که توسط 4 مدیر تشکیل شده است ، باید انتخاب شود. چند راه ممکن برای تشکیل هیئت اجرایی وجود دارد؟

راه حل

اول از همه ، ترتیب انتخاب 4 کارگردان اهمیتی ندارد. علاوه بر این ، هر مدیر فقط یک بار می تواند به هیئت مدیره انتخاب شود. بنابراین ، تعداد راه های مختلف برای تشکیل هیئت اجرایی برابر است با تعداد ترکیبات ممکن بدون تکرار 4 مورد از 10. اگر ما آن را بیان کنیم ،

• نفت ، طلا ، سکه و ارز

  چهارشنبه ۲۸ اسفند ۱۳۹۸

  

  نمودار های زیر را رسم کنید:
• چند ضلعی ارزهای خارجی در صرافی

• ستونی ارزهای خارجی در بازار سنا

• میله ای انواع نفت

تعیین کنید

• میانگین قیمت نفت
• تعیین واریانس قیمت نفت