دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی  

در ΔABG و ΔADF

، DF || BG ∴

ΔABG ∼ ΔADF

 حجم مخروط ناقص = حجم مخروط ABC - حجم مخروط ADE 

و

 DF || BG

ΔABG ∼ ΔADF

مساحت جانبی برابر است با:

مساحت کل برابر است با:

بخش 6 بخش 3: احتمال دو واقعه
در این بخش استفاده از لیست ها ، جداول و نمودارهای درخت را برای محاسبه احتمالات دو واقعه بررسی می کنیم.مثال 1
یک سکه بی طرف دو بار ریخته می شود.
(آ)
لیست تمام نتایج ممکن است.
نتایج احتمالی عبارتند از:ههHTTHTT
بنابراین 4 نتیجه احتمالی وجود دارد که همه به همان اندازه ممکن است رخ دهد که سکه مغرضانه نیست.
(ب)
احتمال به دست آوردن دو سر چقدر است؟
تنها یک راه برای به دست آوردن 2 سر وجود دارد ، بنابراین:پ (2 سر) =14
(ج)
احتمال به دست آوردن سر و دم به هر ترتیب چقدر است؟
مثال 2
تاس قرمز و یک تاس آبی ، هر دو بی طرف ، در همان زمان نورد می شوند. نمرات دو تاس سپس به هم اضافه می شوند.
(آ)
برای نشان دادن تمام نتایج ممکن از جدول استفاده کنید.

(ب)
احتمال به دست آوردن چیست:(من)نمره 5 ، (ii)نمره ای که بیشتر از 3 باشد ، (iii)نمره ای که یک عدد است ؟ مثال 3
یک کارت به طور تصادفی از یک بسته 52 کارت بازی گرفته می شود و سپس تعویض می شود. سپس کارت دوم به طور تصادفی از بسته کشیده می شود. برای تعیین احتمال استفاده از یک نمودار درختی:
(آ)
هر دو کارت الماس هستند ،

(ب)
حداقل یک کارت الماس است ،

(ج)
دقیقاً یک کارت الماس است ،

(د)
هیچ کارت الماس نیست.
تمرینات
پاسخ سوالات زیر را بیاموزید و جعبه ها را پر کنید. برای فهمیدن اینکه آیا به درستی پاسخ داده اید ، بر روی دکمه کلیک کنید.اگر حق با شماست ، ظاهر می شوید و باید به سؤال بعدی بروید. اگر ظاهر شود ، پاسخ شما اشتباه است. برای پاک کردن جواب اصلی خود کلیک کنید و یک کار دیگر انجام دهید. اگر نمی توانید جواب درست را بدست آورید ، برای دیدن جواب کلیک کنید .
سوال 1
صورت یک تاس بی طرفانه به گونه ای نقاشی شده است که 2 قرمز ، 2 آبی و 2 رنگ زرد است . تاس ها دو بار چرخ می شوند. سه مورد از نتایج احتمالی در زیر ذکر شده است:RRRBRY
(آ)
9 نتیجه احتمالی را ذکر کنید.
 
(ب)
احتمال اینکه:(من)هر دو صورت قرمز هستند ،  (ii)هر دو صورت یک رنگ هستند ،  (iii)چهره ها از رنگ های مختلفی هستند ؟  
سوال 2
یک چرخش با حروف A ، B ، C و D مشخص شده است ، به طوری که هر حرف به همان اندازه به دست می آید. چرخنده دو بار چرخانده است.
(آ)
16 نتیجه احتمالی را ذکر کنید.
 
(ب)
احتمال اینکه:(من)A دو بار به دست می آید ،  (ii)A حداقل یک بار به دست می آید ،  (iii)هر دو حرف یکسان هستند ،  (IV)حرف B اصلاً به دست نمی آید؟  
سؤال 3 
دو تاس عادلانه شماره گذاری می شوند به طوری که شماره های زیر را در چهره خود دارند:1 ،1 ،2 ،3 ،4 ،6
تاس ها به طور هم زمان چرخانده می شوند ، و نمرات آنها به هم اضافه می شوند.
(آ)
برای نشان دادن 36 نتیجه ممکن یک جدول بکشید.
تاس اولتاس دوم 1123461      1      2      3      4      6      
(ب)
احتمال اینکه نمره کل باشد چقدر است:(من)6 ،  (ii)3 ،  (iii)بیشتر از 10 ،  (IV)کمتر از 5؟  
سؤال 4 
یک اسپینر قرمز با اعداد 1 تا 4 مشخص شده است و یک اسپینر آبی با اعداد 1 تا 5 مشخص شده است. دو اسپینر به طور هم زمان چرخش دارند و دو امتیاز به هم اضافه می شوند.
(آ)
برای نشان دادن 20 نتیجه احتمالی ، یک جدول بکشید.
اسپینر آبیقرمز اسپینر 123451     2     3     4     
(ب)
احتمال اینکه نمره کل دو اسپینر این باشد چیست:(من)حتی تعداد،  (ii)شماره 7 ،  (iii)تعداد بیشتر از 4 ،  (IV)عددی کمتر از 7؟  
سؤال 5 
تاس بی طرفانه می چرخد ​​و همزمان سکه عادلانه ریخته می شود.
(آ)
تمام نتایج احتمالی را در یک جدول نشان دهید.
تاسسکه 123456ح      تی      
(ب)
احتمال به دست آوردن چیست:(من)یک سر و یک 6 ،  (ii)یک دم و یک عدد عجیب و غریب ،  (iii)دم و عدد کمتر از 5؟  
سؤال 6 سکه ای مغرضانه است به طوری که احتمال به دست آوردن سر وجود دارد35و احتمال به دست آوردن دم آن است25.
(آ)
نمودار درخت زیر را تکمیل کنید تا نتایج و احتمالات احتمالی را در صورت لکه دار کردن سکه نشان دهید.
      
 
   ×  =    ×  =    ×  =  

(ب)
احتمال به دست آوردن چیست:(من)2 سر ،  (ii)حداقل یک سر ،  (iii)2 دم ،  (IV)دقیقا 1 دم؟  
سؤال 7 
تاس بی طرفانه دو بار در یک بازی قرار می گیرد. اگر 1 یا 6 بدست بیاید ، یک جایزه کسب می کنید.
(آ)
نمودار درختی زیر را کامل کنید:
          
 
 
 
       ×  =    ×  =    ×  =  

(ب)
احتمال اینکه یک بازیکن برنده شود چیست:(من)2 جایزه ،  (ii)1 جایزه ،  (iii)حداقل 1 جایزه؟  
سؤال 8 
یک کارت به طور تصادفی از بسته 52 کارت بازی گرفته می شود. تعویض می شود و سپس کارت دوم به طور تصادفی از بسته گرفته می شود. گفته می شود که یک کارت اگر یک پادشاه ، ملکه یا جک باشد کارت "سلطنتی" است . برای محاسبه احتمال استفاده از یک نمودار درختی:(آ)هر دو کارت رویال هستند ،  (ب)یک کارت یک رویال است ،  (ج)حداقل یک کارت سلطنتی است ،  (ج)هیچ کارت سلطنتی نیست.  
سؤال 9 احتمال اینکه هر روز اتوبوس مدرسه دیر شود ، وجود دارد110.
از نمودار درختی استفاده کنید تا احتمال محاسبه اتوبوس در دو روز متوالی:(آ)دوبار دیر ،  (ب)یک بار دیر ،  (ج)هرگز دیر نشده  
سؤال 10 احتمال اینکه یک تکه نان در یک توستر بسوزد ، است19.
دو تکه نان برشته می شوند ، یکی پس از دیگری.
(آ)
برای محاسبه این احتمال که حداقل یکی از این برش های نان در توستر وجود داشته باشد از یک نمودار درخت استفاده کنید.p (حداقل یک قطعه سوخته) =  
(ب)
نمودار درخت خود را گسترش دهید تا شامل 3 برش نان تست شود ، یک بار. احتمال حداقل یک قطعه سوختگی در توستر را محاسبه کنید.p (حداقل یک قطعه سوخته) =  
سؤال 11 
یک سکه دارای دو طرف ، سر و دم است.
(آ)
کریس قصد دارد یک سکه را پرتاب کند. احتمال اینکه کریس سرش را بگیرد چقدر است؟ پاسخ خود را به صورت کسری بنویسید.  
(ب)
سیون قصد دارد 2 سکه پرتاب کند. جدول زیر را کپی و تکمیل کنید تا نتایج مختلفی را که می توانید کسب کنید نشان دهید.سکه اولسکه دومسرهاسرها      
(ج)
سیون قصد دارد 2 سکه پرتاب کند. احتمال اینکه او با هر دو سکه خود دم بکشد چیست؟ پاسخ خود را به صورت کسری بنویسید.  
(د)
دایان یک سکه پرتاب کرد. دمش گرفت. دایان قصد دارد سکه دیگری را پرتاب کند. این احتمال که او دوباره با سکه بعدی خود دم بکشد چیست؟ پاسخ خود را به صورت کسری بنویسید.  
سؤال 12 
من دو تاس عادلانه دارم هر یک از تاس ها شماره 1 تا 6 هستند.
(آ)
احتمال اینکه دو برابر 6 پرتاب کنم (هر دو تاس نشان شماره 6) است136
احتمال اینکه دوبل 6 پرتاب نکنم چقدر است؟p (نه دو برابر 6) =  
(ب)
هر دو تاس را پرتاب می کنم و دو برابر می شوم 6. سپس دوباره هر دو تاس را دوباره پرتاب می کنم. کدام یک از پاسخهای موجود در لیست زیر ، احتمال اینکه این بار 6 برابر 6 پرتاب کنم را توصیف می کند ؟کمتر از136 136بیشتر از136
دوباره شروع می کنم و هر دو تاس را پرت می کنم.
(ج)
احتمال اینکه دو برابر 3 پرتاب کنم (هر دو تاس نشان شماره 3) چیست؟p (دو برابر 3) =  
(د)
احتمال اینکه دوبل بزنم چقدر است؟ (می تواند دو برابر شود 1 یا دو برابر 2 یا هر دو برابر دیگر.)p (دو برابر) =  
سؤال 13 
در جاده ها دو مجموعه چراغ راهنمایی وجود دارد. چراغ راهنمایی به طور مستقل کار می کند. برای هر مجموعه چراغ راهنمایی ، احتمال متوقف شدن راننده 0.7 است.
(آ)
یک زن قصد دارد در طول جاده رانندگی کند.
(من)
احتمال اینکه او مجبور شود در هر دو چراغ راهنمایی متوقف شود ، چقدر است؟

(ii)
احتمال این که او را مجبور به چه متوقف در تنها یکی از دو مجموعه از چراغ های ترافیک؟

(ب)
در یک سال ، یک مرد 200 بار در طول جاده رانندگی می کند. تخمین تعداد دفعاتی که او در هر دو مجموعه چراغ راهنمایی رانده می شود بدون توقف محاسبه کنید .
سؤال 14 
از 100 دانشجو پرسیده شد که آیا آنها فرانسه یا آلمانی تحصیل کرده اند.نتایج :
27 دانش آموز به دو زبان فرانسه و آلمانی تحصیل کردند .
(آ)
این احتمال که دانشجویی که به طور تصادفی انتخاب شده باشد ، تنها یکی از زبانها را فرا خواهد گرفت ، چیست؟
توجه: راه حل را به صورت اعشاری یا درصد بنویسید
 
(ب)
این احتمال که دانشجویی که در حال تحصیل در آلمان است نیز تحصیل می کند فرانسه است ، چقدر است؟  
(ج)
دو نفر از 100 دانشجو به طور تصادفی انتخاب می شوند. از بین محاسبات زیر ، یکی را انتخاب کنید که احتمال اینکه دانش آموزان هر دو زبان فرانسه و آلمانی را مطالعه کنندنشان می دهد .
توجه: با کلیک بر روی آن یک محاسبه را انتخاب کنید.27100×2610027100+269927100+2710027100×269927100×27100

سؤال 15 
یک شرکت دیسک های رایانه ای می سازد. این آزمایش یک نمونه تصادفی از دیسک ها از یک دسته بزرگ است. شرکت احتمال نقص هر دیسک را 0/025 محاسبه کرده است. گلندا 2 دیسک خریداری می کند.
(آ)
احتمال محاسبه هر دو دیسک را محاسبه کنید .
 
(ب)
محاسبه این احتمال وجود دارد که فقط یکی از دیسک ها دارای نقص هستند.
 
(ج)
این شرکت 3 نمونه دیسک معیوب را در نمونه آزمایش شده خود پیدا کرد. احتمالاً چند دیسک تست شده است؟
 سؤال 16 در جزیره گرمسیری احتمال باران در اولین روز از فصل باران وجود دارد23.اگر در روز اول باران نباشد ، احتمال باران باران در روز دوم است710.اگر در روز اول باران ببارد ، احتمال باران بیش از 10 میلی متر در روز اول است15.اگر در روز دوم باران ببارد اما در روز اول نباشد ، احتمال باران بیشتر از 10 میلی متر است14.
شاید کپی و تکمیل نمودار درخت را قبل از پاسخ به سوالات مفید بدانید.                  = 120  = 120      = 120

(آ)
احتمال اینکه در روز دوم بیش از 10 میلی متر باران بخورد ، و باران باران نمی بارد ، چقدر است؟  
(ب)
احتمال باران باران تا پایان روز دوم فصل باران چیست؟  
(ج)
آیا از اطلاعات داده شده می توان احتمال باران در هر دو روز را مشخص کرد؟
 - آره نه  سؤال 17 
دانش آموزان در مدرسه یک کلمه بازی با نام وردو اختراع کردند. آنها این کار را با تعداد زیادی از افراد امتحان کردند و دریافتند که احتمال برنده شدن وردو 0.6 است. دانش آموزان یک کلمه بازی دیگر ، Lango را اختراع کردند. همان نمونه ای که Wordo را بازی کرده بود سپس Lango را بازی کرد. دانش آموزان این نمودار درخت را ترسیم کردند تا احتمال برنده شدن را نشان دهند.

(آ)
احتمال اینکه کسی از نمونه برنده لانگو پیروز شود چقدر بود؟
 
(ب)
احتمال اینکه کسی از این بازی فقط یکی از دو بازی کلمه را کسب کند ، چه کسی احتمال دارد ؟
 
(ج)
دانش آموزان همچنین یک بازی تاس اختراع کردند. آنها آن را با همان نمونه افرادی که قبلاً وردو و لانگو بازی کرده بودند ، امتحان کردند. احتمال برنده شدن در بازی تاس 0.9 بود. مشخص شد که این مستقل از احتمالات وردو و لانگو است. احتمال اینکه کسی از این سه بازی دو برنده شود ، محاسبه کنید.
 
(د)
محاسبه احتمال یک نفر از نمونه برنده شدن در تنها یکی از این سه بازی.
 
https://www.cimt.org.uk/projects/mepres/book9/bk9i6/bk9_6i3.html

نظریهٔ احتمال

چند تعریف

برای ادامهٔ بحث، لازم است که ابتدا چند واژه را تعریف کنیم:

آزمایش تصادفی

یک آزمایش که نتیجهٔ آن به هیچ‌وجه قابل پیش‌بینی نباشد یا اصطلاحاً تصادفی باشد؛ مثل انداختن تاس یا سکه.

فضای نمونه [۱]

مجموعهٔ کل نتیجه‌هایی که ممکن است از یک آزمایش تصادفی حاصل شود؛ مثلاً در آزمایش انداختن تاس فضای نمونه به صورت  است.

پیشامد[۲]

به هریک از زیرمجموعه‌های فضای نمونه یک پیشامد می‌گویند؛ مثلاً  یک پیشامد در آزمایش انداختن تاس است.

فضای نمونهٔ هم‌شانس[۳]

در صورتی که همهٔ اعضای فضای نمونه شانس برابری برای ظاهر شدن داشته باشند یا به عبارت دیگر، شانس تمام اعضا یکسان باشد، این فضای نمونه را هم‌شانس می‌خوانیم. مثلاً آزمایش انداختن تاس سالم[۴] در فضای هم‌شانس است.

احتمال در فضای متناهی[ویرایش]

اگر فضای نمونهٔ ما هم‌شانس و دارای تعداد اعضای متناهی باشد، برای محاسبهٔ احتمال وقوع یک پیشامد، فرمول لاپلاس را به کار می‌گیریم.

یا به عبارت دیگر، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با نسبت اندازهٔ پیشامد به اندازهٔ فضای نمونه. برای مثال اگر آزمایش انداختن تاس سالم را در نظر بگیریم که دارای فضای نمونهٔ هم‌شانس با اندازهٔ متناهی است، با توجه به آن‌چه پیش‌تر گفته شد، احتمال آمدن عدد 6، برابر است با اندازه پیشامد (یعنی اندازهٔ  که 1 است) بخش بر اندازهٔ فضای نمونه (یعنی اندازهٔ که 6 است). به این ترتیب احتمال آمدن عدد 6، برابر با  محاسبه می‌شود.

احتمال پیشامدهای مرکب[ویرایش]

گاهی می‌خواهیم با داشتن احتمال چند پیشامد، بتوانیم احتمال مجموعهٔ حاصل از اعمال جبر مجموعه‌ها بر آن‌ها را نیز محاسبه کنیم. دو مورد از این موارد مهم‌تر است:

• احتمال مکمل یک پیشامد: مکمل یک پیشامد زمانی اتفاق می‌افتد که خود آن پیشامد اتفاق نیفتد. به عبارت دیگر ما می‌خواهیم احتمال رخ ندادن یک پیشامد را حساب کنیم. از آن‌جا که پیشامد زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه است، مکمل آن، مجموعهٔ اعضای فضای نمونه است که در پیشامد مورد نظر ما نیستند. به این ترتیب با توجه به فرمول لاپلاس، رابطهٔ زیر برای محاسبهٔ احتمال مکمل یک پیشامد، با داشتن احتمال خود آن پیشامد به دست می‌آید:

با توجه به آن‌چه گفته شد اثبات این رابطه بسیار ساده است.

• احتمال اجتماع[۵] دو پیشامد: همان‌طور که از مفهوم اجتماع مجموعه‌ها برمی‌آید، وقوع اجتماع دو پیشامد به معنی آن است که حداقل یکی از این دو پیشامد اتفاق بیفتد. برای محاسبهٔ احتمال اجتماع دو پیشامد، با فرض داشتن احتمال خود آن‌ها و احتمال اشتراک[۶] شان، رابطهٔ زیر را داریم:

اثبات این رابطه با دانستن این‌که  میسر است.

تخصیص احتمال[ویرایش]

تا این‌جا بیش‌تر دربارهٔ آزمایش‌ها و فضاهای نمونه‌ای بحث کردیم که هم‌شانس هستند. با این‌همه، بسیاری از آزمایش‌ها در فضای هم‌شانس اتفاق نمی‌افتند و لذا برای محاسبهٔ احتمال آن‌ها نمی‌توان به سادگی فرمول لاپلاس را به کار برد.

برای حل این مشکل، راه‌حل تخصیص احتمال[۷] را به این ترتیب به کار می‌بریم: به تک‌تک اعضای فضای نمونه احتمالی نسبت می‌دهیم که از دو قانون زیر پیروی کند:

• مقدار هر یک از این احتمال‌ها باید بین صفر و یک باشد؛ به عبارت دیگر برای هر  داشته باشیم:

• مجموع مقدار احتمال‌های تخصیص‌داده‌شده، برابر 1 باشد؛ به عبارت دیگر داشته باشیم:

به تابع احتمال p، تابع توزیع احتمال[۸] می‌گوییم.

اگر تابع احتمال به هر عضو فضای نمونه، مقدار یکسانی نسبت دهد، آن را توزیع یک‌نواخت[۹] می‌خوانیم.

روشن است که با توجه به آن‌چه در این‌جا تعریف کردیم، احتمال وقوع یک پیشامد برابر است با مجموع احتمال اعضایی از فضای نمونه که در آن پیشامد حضور دارند.

احتمال شرطی و استقلال پیشامدها[ویرایش]

فرض کنید خانواده‌ای دو فرزند دارد. می‌خواهیم بدانیم اگر فرزند اول پسر باشد، با چه احتمالی فرزند دوم دختر خواهد بود؟ برای حل چنین مسئله‌ای از رابطهٔ احتمال شرطی[۱۰] استفاده می‌کنیم که به شکل زیر است:

یا به عبارت دیگر احتمال وقوع E، اگر F اتفاق افتاده باشد، برابر است با نسبت احتمال اشتراک E و F به احتمال F.

حال اگر این دو پیشامد از هم مستقل[۱۱] باشند، روشن است که وقوع E ارتباطی با وقوع F نخواهد داشت یا به تعبیر دیگر  همان  خواهد بود.

به این ترتیب می‌توانیم دو پیشامد E و F را مستقل بدانیم، در صورتی که:

توزیع احتمال دوجمله‌ای[ویرایش]

یک آزمایش تصادفی بسیار مشهور، موسوم به آزمایش برنولی[۱۲]، به این شکل تعریف می‌شود:

• آزمایشی تصادفی که در هر بار انجام آن تنها یا پیروزی اتفاق می‌افتد یا شکست.

با توجه به این آزمایش، در صورتی که n بار آزمایش برنولی انجام شود، و این آزمایش‌ها از هم مستقل باشند و احتمال پیروزی نیز p باشد، آن‌گاه تابع توزیع احتمال، مشهور به توزیع احتمال دوجمله‌ای[۱۳] خواهیم داشت که به صورت  است (k تعداد پیروزی‌هاست).

علت این نام‌گذاری، شباهت فوق‌العادهٔ رابطهٔ به‌دست‌آمده با رابطهٔ بسط دوجمله‌ای نیوتن است.

توزیع احتمال هندسی[ویرایش]

اگر آزمایش برنولی (که در بخش قبل معرفی شد) آن‌قدر تکرار شود تا پیروزی به دست آید، در این صورت توزیع احتمالی به دست می‌آید که به توزیع احتمال هندسی[۱۴] مشهور است. در این حالت فضای نمونه، تعداد اعضای نامتناهی دارد و هر عضو را می‌شود یک توالی[۱۵] در نظر گرفت. تابع توزیع احتمال در این حالت به شکل زیر است (p احتمال پیروزی و k تعداد دفعات لازم برای تکرار آزمایش است تا پیروزی حاصل شود):

توجه کنید که تعریف این توزیع را می‌توانستیم به این ترتیب انجام دهیم که آن‌قدر آزمایش تکرار شود تا نتیجهٔ شکست به دست آید. اگر تعریف به این شکل باشد، کافی است جای p و 1-p را در رابطهٔ به‌دست‌آمده عوض کنیم.

متغیر تصادفی، امیدریاضی و واریانس[ویرایش]

در این بخش به معرفی سه تابع بسیار مهم مرتبط با احتمال می‌پردازیم. این تابع‌ها، کاربردهای وسیعی در نظریهٔ احتمال و مباحث آماری دارند.

متغیر تصادفی[ویرایش]

متغیر تصادفی[۱۶]، تابعی است که از فضای نمونه بر اعداد حقیقی تعریف شده است؛ یعنی هر عضو از فضای نمونه را به یک عدد حقیقی مربوط می‌کند. متغیر تصادفی را معمولاً با X نشان می‌دهند. (اشتباه نکنید! متغیر تصادفی، نه متغیر است و نه تصادفی! این تنها یک نام‌گذاری است).

مثلاً فرض کنید که خانواده‌ای دو فرزند دارد. به این ترتیب فضای نمونهٔ حالت‌های ممکن برای این جنسیت دو فرزند به صورت {(پ، د)و(د، پ)و(د، د)و(پ، پ)} خواهد بود. حال فرض کنید متغیر تصادفی X قرار است تعداد فرزندان دختر را مشخص کند. به این ترتیب خواهیم داشت:

0=(پ، پ)X

1=(پ، د)X

1=(د، پ)X

2=(د، د)X

همان‌طور که برای یک آزمایش تصادفی، توزیع احتمال تعریف کردیم، می‌توانیم برای متغیر تصادفی نیز تابع توزیع احتمال تعریف کنیم که با (p(X=r نموده می‌شود. مثلاً در مورد همان مثال بالا، تابع توزیع احتمال به این شکل درمی‌آید:

حال می‌توانیم دومین تابع را معرفی کنیم.

امیدریاضی[ویرایش]

امیدریاضی[۱۷]، در حقیقت یک نوع میانگین‌گیری از متغیر تصادفی است. یعنی این‌که اگر یک آزمایش را بی‌نهایت‌بار تکرار کنیم و از مقدارهای متغیر تصادفی مرتبط با نتایج میانگین بگیریم، چه عددی به دست خواهد آمد. معرفی دقیق ریاضی این تابع کمک بیش‌تری خواهد کرد:

برای نمونه، اگر همان مثال گفته شده در بخش قبل را در نظر بگیریم، امیدریاضی تعداد دختران یک خانواده با دو فرزند به صورت زیر خواهد بود:

یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های تابع امیدریاضی، خطی بودن آن است؛ یعنی اگر n متغیر تصادفی به صورت  داشته باشیم، تساوی زیر برقرار خواهند بود:

برای ادامهٔ بحث، بد نیست تعریف زیر را انجام دهیم:

• دو متغیر تصادفی X و Y را مستقل می‌خوانیم در صورتی که برای هر  داشته باشیم احتمال X=a و Y=b برابر است با حاصل‌ضرب احتمال X=a در احتمال Y=b.

با توجه به این تعریف، می‌توان ثابت کرد که حکم مهم زیر برقرار است:

• اگر X و Y دو متغیر تصادفی مستقل باشند، آن‌گاه خواهیم داشت (E(XY)=E(X)E(Y.

اگر به یاد داشته باشید در مبحث قبل، توزیع احتمال دوجمله‌ای و هندسی را تعریف کردیم. محاسبات نشان می‌دهند که امیدریاضی توزیع احتمال دوجمله‌ای برابر  و امیدریاضی توزیع احتمال هندسی برابر  خواهد بود.

حال به معرفی آخرین تابع می‌پردازیم که در محاسبات آماری جایگاه ویژه‌ای دارد.

واریانس[ویرایش]

واریانس[۱۸] در محاسبات آماری، یک معیار برای سنجش میزان پراکندگی داده‌ها از میانگین است. ما در این مباحث، امیدریاضی را مشابه میانگین در نظر گرفتیم و به این ترتیب واریانس را چنین تعریف می‌کنیم:

• اگر X متغیر تصادفی روی فضای نمونهٔ S باشد، واریانس X برابر خواهد بود با:

حکم بسیار مهمی که در محاسبات بسیار راه‌گشاست و از تعریف نتیجه می‌شود به قرار زیر است:

• اگر متغیر تصادفی X روی فضای نمونهٔ S تعریف شده باشد، واریانس از رابطهٔ زیر نیز به دست می‌آید:

در این‌جا مقصود از این است که مقدارهای متغیر تصادفی را به توان 2 برسانیم.

مثلاً برای محاسبهٔ واریانس متغیر تصادفی تعداد فرزندان دختر در یک خانواده با دو فرزند (که در بخش‌های قبل توزیع احتمال و امیدریاضی آن به دست آمد)، باید به این ترتیب عمل کنیم:

واریانس مجموع چند متغیر تصادفی مستقل را می‌توان برحسب واریانس تک‌تک این متغیرها حساب کرد:

تأکید می‌کنیم که این حکم فقط در صورتی قابل استفاده است که متغیرها مستقل باشند.

سوال : 

دو تاس را با هم پرتاب می کنیم . فضای نمونه ای را تشکیل دهید و احتمال آن را حساب کنید که :‌

الف ـ مجموع شماره های دو تاس برابر 6 باشد .

ب ـ مجموع شماره های دو تاس بیشتر از  9 باشد .

پ ـ مجموع شماره های دو تاس مضربی از 5 شود .

ت ـ تفاضل شماره های دو تاس صفر شود .

نکته :

برای بدست آوردن احتمال نخست باید فضای نمونه ای را محاسبه کنیم . فضای نمونه ای تمام حالت های ممکن است . در پرتاب دو تاس تعداد اعضای فضای نمونه یا همان ( n(S  برابر حاصل ضرب 6 در 6 یعنی 36 است . ( 6 حالت در تاس اول و 6 حالت در تاس دوم .) با توجه به این که در سوال ذکر شده که فضای نمونه ای را تشکل دهید ، برای حل این سوال باید همه ی حالت های ممکن فضال نمونه ذکر شود .

پیش از دیدن ادامه ی مطلب و پاسخ این سوال ، سعی کنید ابتدا خودتان پاسخ را بدست آورید .

ابتدا فضای نمونه ای را بدست می آوریم .( چنانچه در سوال تاکیدی برای نوشتن فضای نمونه ای وجود نداشت  نیازی به نوشتن همه ی حالت ها نبود و برای محاسبه ی احتمال ، محاسبه تعداد اعضای فضای نمونه ای کافی بود .)

الف ـ حال تعداد حالت های مطلوب هر قسمت را بدست آورده و با تقسیم این عدد بر 36 احتمال هر قسمت را بدست می آوریم :

ب ـ حالت هایی که مجموع دو تاس بیشتر از 9 شود وقتی اتفاق می افتد که مجموع دو تاس 10 ، 11 یا 12 باشد . با توجه به اینکه بزرگترین عدد هر تاس 6 است مجموع بیشتر از 12 امکان پذیر نیست .

پ ـ مضرب های 5 که می تواند در فضای نمونه ای اتفاق بیفتد فقط 5 و 10 هستند . پس حالت هایی را در نظر می گیریم که مجموع دو تاس 5 یا 10 شود .

ت ـ وقتی تفاضل دو تاس صفر می شود که اعداد رو شده در دو تاس با هم برابر شود . این احتمال همان احتمال رو شدن دو عدد برابر است .