• حجم یک متوازی السطوح را بیابید اگر چهار راس از هشت رأس آن A (0، 0، 0)، B(2، 3، 0)، C(0، -5، 3)، و D(3، -4، 7) باشند.
• حجم یک متوازی السطوح را بیابید اگر چهار راس از هشت رأس آن A(0، 0، 0)، B(3، 1، 0)، C(0، -4، 1)، و D(3، -5، 6) باشند.
• حجم متوازی السطوح را بیابید اگر چهار راس از هشت راس آن A(0، 0، 0)، B(5، 3، 0)، C(0، -2، 4) و D(4، -1، 4) باشند. .
• حجم یک متوازی السطوح را بیابید اگر چهار راس از هشت رأس آن A(0، 0، 0)، B(2، 5، 0)، C(0، -3، 5)، و D(3، -5، 4) باشند.
• حجم یک متوازی السطوح را بیابید اگر چهار راس از هشت رأس آن A(0، 0، 0)، B(2، 4، 0)، C(0، -5،4) و D(5، -3، 6) باشند
• حجم یک متوازی السطوح را بیابید اگر چهار راس از هشت رأس آن A(0,0,0) B(3,1,0), C(0,-5,1) و D(5,-3,6) باشند. ) حجم متوازی السطوح با رئوس داده شده A، B، C و D برابر _____ واحد است.
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده پیدا کنید: الف) (3، 5، 1)، (5، 0، 5)، (2، 5، 6)، (5، 5، 6). ب) (-3، 4، 0)، (-1، 5، 5)، (-4، 1، 5)، (-4، 5، 5).
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده بیابید: A(0,0,0) B(4,0,0) C(4,-2,3) D(0,-2,3) E(4,5) ,3) F(0,5,3) G(0,3,6) H(4,3,6)
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده بیابید: (0، 0، 0)، (1، 1، 0)، (1، 0، 2)، (0، 1، 1)، (2، 1، 2) ، (1، 1، 3)، (1، 2، 1)، (2، 2، 3).
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده (0، 0، 0)، (3، 0، 0)، (0، 5، 1)، (2، 0، 5) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده پیدا کنید. (0، 0، 0)، (0، 4، 0)، (-3، 0، 0)، (-1، 1، 5)، (-3، 4، 0)، (-1، 5، 5) )، (-4، 1، 5)، (-4، 5، 5)
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده ((0، 0، 0)، (0، 4، 0)، (-3، 0، 0)، (-1، 1، 5) بیابید.
• اگر چهار رأس از هشت رأس آن A(0,0,0) B(1,3,0)، C(2,0,1) و D(1,-1,2) باشند حجم یک متوازی السطوح را بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با رئوس داده شده پیدا کنید: (1,2,1),\ (2,3,4),\ (3,4,5),\ (2,3,2),\ (3, 3،3)،\ (4،4،6)،\ (4،4،4)،\ (5،5،7).
• حجم متوازی السطوح اگر چهار راس از هشت رأس آن A(0، 0، 0)، B (2، 3، 1)، C (3، 0، -4) و D (2، 1، -6) باشد. _____.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (-2، 3، -3) و رئوس مجاور در (-1، 8، 2)، (-7، -1، -4)، و (3، 4، 4) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (0، -1، 5)، و رئوس مجاور در (4، 2، 5)، (0، -6، 6)، و (3، 1، 0) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (1، -1، -1)، و رئوس مجاور در (-4، -7، 6)، (8، -7، 1)، و (4، -2) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (0، -3، 3)، و رئوس مجاور در (1، -6، 2)، (-2، -3، 2)، و (4، -6، 7) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (3، 3، -2)، و رئوس مجاور در (6، 4، 4)، (5، -4، -4)، و (9، 0، -1) بیابید. .
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (3، 1، -1)، و رئوس مجاور در (-1، 8، -5)، (4، 2، 3)، و (10، 1، 4) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (3، -5، 2)، و رئوس مجاور در (10، -11، 6)، (-1، 2، 5)، و (7، -2، 6) بیابید. .
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (-3، 3، 1) و رئوس مجاور در (-10، 0، 1) (3، 4، -1)، و (3، -4، 3) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (2-، -5، 0) و رئوس مجاور در (-6، -11، -3)، (5،-10، -3)، و (9-،) بیابید. -1، 2).
• یک متوازی السطوح با 4 رأس زیر داده می شود: (0,0,0) , (3,0,0) , (0,5,0) و (0,2,4). الف) 4 راس باقی مانده از متوازی السطوح را بیابید. ب) حجم متوازی السطوح را بیابید
• حجم پارل لیپد را با رئوس داده شده بیابید: (1، 2، 1)، (2، 3، 4)، (3، 4، 5)، (2، 3، 2)، (3، 3، 3) ، (4، 4، 6)، (4، 4، 4)، (5، 5، 7)
• حجم متوازی السطوح را که رئوس آن (1،1،1)، (0،0،0)، (2،1،-1) و (-1،1،2) است، بیابید.
• حجم چهار وجهی را با رئوس (-4،2،5)، (-7،7،5)، (-6،1،5) و (-1،0،1) بیابید.
• حجم چهار وجهی را با رئوس (0،0،0)، (0،0،2)، (2،0،0)، (5،6،4) بیابید.
• حجم چهار ضلعی را با رأس های (0،2،1)، (1،0،0)، (2،1،2)، (3،1،1) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با رئوس P(3، 0، -3)، Q(5، 1، -1)، R(5، -2، -1)، S(3، -2، 0) و مجاور پیدا کنید. لبه های PQ، PR، PS
• حجم متوازی السطوح را با یک راس در (-3، -2، 4)، و رئوس مجاور در (-2، -3، 11)، (2، -5، 5)، و (-2، -5) محاسبه کنید. ، -3).
• حجم متوازی السطوح را با لبه های مجاور PQ، PR، PS، با توجه به رئوس P(2،0،1)، Q(-4،1،7)، R(5،1،-2)، S(0) بیابید. ,5,2)
• حجم متوازی السطوح را با یال های مجاور PQ، PR، PS و رئوس P(3، 0، -3)، Q(5، 1، -1)، R(5، -2، -1)، S(3) بیابید. ، -2، 0)
• 11. حجم زیر صفحه x + y ? z = 0 و بالاتر از مثلث با رئوس (1، 2)، (3، 4) و (5، 4).
• حجم چهار وجهی را با رئوس (0، 0، 0)، (0، 0، 2)، (2، 0، 0)، (5، 6، 4) محاسبه کنید.
• حجم جامد را زیر z = xy و بالای مثلث با رئوس (1، 1)، (4، 1)، و (1، 2) بیابید.
• حجم متوازی السطوح را با لبه های مجاور PQ، PR، PS با توجه به رئوس P(1، 0، 2)، Q(-5، 1، 7)، R(3، 2، 1)، S(0، 5) بیابید. ، 4)
• حجم جامد داده شده را بیابید. چهار وجهی جامد با رئوس (0، 0، 0)، (0، 0، 1)، (0، 2، 0)، و (2، 2، 0).
• 1. حجم جامد را زیر z = xy و بالای مثلث با رئوس ( 1 , 1 ) , ( 4 , 1 ) و ( 1 , 2 ) بیابید. 2. حجم جامد زیر پارابولوئید z = 3 x 2 + y 2 را بیابید و
• از حاصل ضرب برای یافتن حجم چهار وجهی با رئوس O = (0، 0، 0)، P = (1، 0، 0)، Q = (0، 1، 0)، R = (1، 1،) استفاده کنید.
• حجم جامد را بین سطوح z = 2x^2 + y^2 + 12 و z = x^2 + y^2 + 8 و روی مثلث با رئوس (0، 0، 0)، (1،) بیابید. 0، 0)، و (1، 2، 0).
• حجم یک متوازی السطوح را که لبه های آن با PQ، PR و PS برای نقاط P(3، -1، 1)، Q (-2، 1، 0)، R(1، -2، 3) و S داده می شود، بیابید. (0، 0، 2).
• حجم جامد داده شده را در زیر سطح z = xy و بالای مثلث با رئوس (1،1)، (4،1)، و (1،2) بیابید.
• حجم زیر سطح و روی مثلث را در صفحه xy با رئوس (0، 0)، (2، 0) و (2، 2) بیابید. z = y 1 + x 3
• یک انتگرال سه گانه برای یافتن حجم یک چهار وجهی تنظیم کنید که راس آن (0، 0، 0)، (1، 0، 0)، (0، 2، 0)، و (0، 0، 3) است.
• حجم جامد داده شده را بیابید. زیر سطح z = 9xy و بالای مثلث با رئوس (1، 1)، (4، 1)، و (1، 2).
• حجم جامد داده شده را در زیر سطح z= 4xy و بالای مثلث با رئوس (1، 1)، (4، 1)، و (1، 2) بیابید.
• حجم چهار وجهی محصور شده توسط صفحات مختصات و صفحه 2x + y + z = 4 را بیابید.
• حجم متوازی السطوح را بیابید که لبه های مجاور آن PQ، PR، PS و رئوس P(3، 0، -3)، Q(5، 1، -1)، R(5، -2، -1)، S هستند. (3، -2، 0)
• حجم متوازی السطوح را با یال های مجاور PQ، PR، PS و رئوس P(3،0،1)، Q(-1،1،7)، R(6،3،0)، S(2،5،) بیابید. 2)
• حجم جامدی را که در زیر سطح z = xy و بالای مثلث با رئوس (1، 1)، (4، 1)، و (1، 2) قرار دارد، بیابید.
• مشخص کنید که آیا نقاط A(1، 3، -2)، B(3، 4، 1)، C(2، 0، -2)، و D(4، 8، 4) همسطح هستند یا خیر. اگر نه، حجم هرم را با این چهار نقطه به عنوان رئوس پیدا کنید، با توجه به اینکه حجم هرم یک ششم حجم متوازی السطوح است.
• حجم متوازی السطوح را با لبه های a = (2، 4، 1)، b = (-1، 2، 6)، و c = (-2، 1، 4) محاسبه کنید.
• حجم جامد داده شده را بیابید. جامد زیر سطح z = 3xy و بالای مثلث با رئوس (1، 1)، (4، 1)، و (1، 2) قرار دارد.
• حجم متوازی السطوح چقدر است که رئوس آن در نقاط (0،1،1)، (2،2،1)، (2،4،1)، (4،5،1)، (1،2)، 2)، (3،3،2)، (3،5،2) و (5،6،2)؟
• حجم متوازی السطوح را با اضلاع پیدا کنید. i، 3j-k، i-2j+k
• حجم متوازی السطوح با لبه های مجاور PQ,PR,PS را بیابید. P(1،0،3)، Q(-3،3،9)، R(3،2،2)، S(-1،5،4)

کره و استوانه محدود

،حجم یک کره (یعنی حجم یک توپ ، اما در کلاسیک به عنوان حجم یک کره شناخته می شود) است.

که r شعاع و d قطر کره است.

ارشمیدس برای اولین بار این فرمول را با نشان دادن اینکه حجم داخل یک کره دو برابر حجم بین کره و استوانه محدود آن کره است (با ارتفاع و قطر برابر با قطر کره) به دست آورد. [6] این را می توان با نوشتن یک مخروط به صورت وارونه در نیمکره ثابت کرد، با توجه به اینکه مساحت مقطع مخروط به اضافه سطح مقطع کره با سطح مقطع کره برابر است. استوانه محدود کننده، و استفاده از اصل کاوالیری .

مساحت کره ای به شعاع r برابر است با:

.

1. 90∘:R90∘(x,y)=(−y,x)
2. 180∘:R180∘(x,y)=(−x,−y)
3. 270∘:R270∘(x,y)=(y,−x)

درباره ماتریس های تبدیل

بازتاب محور X 

بازتاب محور Y

بازتاب در مبدأ

انعکاس در خط y = x

.

در این درس ها یاد خواهیم گرفت

• انعکاس چیست؟
• چگونه می توان تصویر منعکس شده یک شی (طراحی شده روی خطوط شبکه) را با توجه به خط بازتاب ترسیم کرد.
• نحوه رسم تصویر بازتاب شده از یک شی (با استفاده از قطب نما یا خط کش) با توجه به خط انعکاس.
• چگونه نقاط و اشکال را در صفحه مختصات با استفاده از قوانین مختصات منعکس کنیم.

انعکاس چیست؟

در تبدیل انعکاس ، تمام نقاط یک جسم بر روی خطی به نام محور انعکاس یا خط بازتاب منعکس یا برعکس می شوند.

مثال:

بازتاب با محور تقارن یا خط آینه ای تعریف می شود . در نمودار بالا، خط آینه x = 3 است.

تحت بازتاب، شکل و اندازه یک تصویر دقیقاً مشابه شکل اصلی است. به این نوع تبدیل، تبدیل ایزومتریک می گویند .

جهت گیری به صورت جانبی معکوس است ، یعنی آنها در جهت مخالف هستند.

خط بازتاب عمود بر خطی است که به هر نقطه و تصویر آن می پیوندد (مثلاً PP ' در شکل بالا).

تمام نقاط روی خط آینه تغییر نمی کند. گفته می شود این نقاط ثابت هستند. (R یک نقطه ثابت در بالا است.)

ترسیم تصویر روی خطوط شبکه

اگر محور انعکاس روی یکی از خطوط شبکه باشد، فقط تعداد مربع ها را از یک نقطه روی جسم تا محور می شماریم و تصویر به همان اندازه از محور فاصله دارد.

مثال:
در نمودار، شکل A در خط XY منعکس شده است. تصویر A را در نمودار رسم کنید.

راه حل:

توجه داشته باشید که نقطه O در زیر بازتاب بدون تغییر باقی می ماند زیرا روی محور انعکاس قرار دارد. هر نقطه در خط بازتاب بدون تغییر است - چنین نقاطی به عنوان ثابت توصیف می شوند.

نحوه انعکاس شکل بر روی کاغذ مربعی بدون استفاده از کاغذ ردیابی
این ویدئو نحوه انعکاس شکل را بر روی کاغذ مربع بدون استفاده از کاغذ ردیابی نشان می دهد. فقط فاصله هر گوشه تا خط آینه را بشمارید و همان فاصله را از خط آینه بشمارید. هنگامی که تمام نقاط آنها منعکس شدند، با استفاده از خط کش خود، نقاط را به طور منظم به بالا وصل کنید.

تصویر را با استفاده از قطب نما بکشید

اگر محور انعکاس روی خطوط شبکه نباشد، برای ساخت تصویر باید از قطب نما استفاده کنیم.

مثال:

در نمودار زیر، مثلث ABC در خط XY منعکس شده است. تصویر مثلث را در نمودار رسم کنید.

راه حل:
مرحله 1: نقطه تیز پرگار را در A قرار دهید و دو کمان را که خط XY را قطع می کنند رسم کنید.

مرحله 2: نقطه تیزپرگاررا در اولین نقطه متقاطع قرار دهید و یک قوس در طرف مقابل XY علامت بزنید. نقطه تیز پرگار را روی نقطه متقاطع دوم قرار دهید و یک قوس علامت بزنید تا با قوس اول قطع شود. تقاطع تصویر' A است.

مرحله 3: مراحل 1 و 2 را برای بدست آوردن نقاط B و C تکرار کنید. نقاط 'A ' ، B  و 'C  را به هم بپیوندید تا تصویر 'A ' B ' C  را به دست آورید.

ساختن انعکاس با دست
چگونه با استفاده از یک خط کش یک شکل را روی یک خط با دست منعکس کنیم.

چگونه یک خط بازتاب بسازیم؟
با توجه به جسم و تصویر یک خط بازتاب بسازید.

بازتاب در صفحه مختصات

اکنون به نحوه انعکاس نقاط و اشکال در صفحه مختصات خواهیم پرداخت. هنگامی که نقاط بر روی خطوط مختلف بازتاب منعکس می شوند، توجه به الگوهای مختصات مفید خواهد بود.

قوانین مختصات برای انعکاس
اگر (a, b) روی محور x منعکس شود، تصویر آن نقطه (a, -b) است.
اگر (a, b) روی محور y منعکس شود، تصویر آن نقطه (a، b-) است.
اگر (a، b) روی خط y = x منعکس شود، تصویر آن نقطه (b، a)است. اگر (a، b) روی خط y = -x منعکس شود، تصویر آن نقطه

(-b، a)

است.

بازتاب 
یک ایزومتری است، به این معنی که اصل و تصویر مطابق هستند،  برای انجام یک بازتاب هندسی، یک خط بازتاب مورد نیاز است. جهت گیری حاصل از دو شکل مخالف است. قسمت های متناظر شکل ها به همان اندازه از خط بازتاب فاصله دارند.

(x,y)→(x+5,y+3).

(x,y)→(x−2,y+3)

مربع S(1,2),Q(4,1),R(5,4) وE(2,5) .

( x ، y) → ( x + 6 , y- 4 ).

تبدیل تجانس در هندسه

تبدیل تجانس یکی از چهار نوع تبدیل در هندسه است. 

تجانس - تعریف

تجانس تغییر شکلی است که تصویری مشابه شکل اصلی، اما اندازه متفاوت ایجاد می کند. ایزومتری نیست ارقام مشابه را تشکیل می دهد.

به عبارت ساده، تجانس به این معنی است که فقط شکل داده شده را بدون چرخش یا هر چیز دیگری اندازه گیری می کند.   

قانون تجانس

تجانس فاکتور مقیاس " k" : 

(x، y) -----> ( k x، k y)

تجانس برای "k = 2"

هنگامی که دانش آموزان قانون ذکر شده در بالا را که باید برای تبدیل تجانس اعمال کنند را درک کنند، می توانند به راحتی یک شکل را تغییر شکل دهند.

برای مثال، اگر بخواهیم تبدیل تجانس نقطه (5، 3) را برای ضریب مقیاس "k = 2" انجام دهیم، پس از تبدیل، نقطه (10، 6) خواهد بود.

در اینجا، قانونی که ما اعمال کرده ایم این است

(x، y) -------> (kx، ky) 

برای k = 2، به دست می آوریم

(5، 3) -------> (10، 6)

برای درک بهتر، مثال زیر را در نظر می گیریم.

سوال:

فرض کنید A(-2، -2)، B(-1، 2) و C(2، 1) سه رأس یک مثلث باشند. اگر این مثلث برای ضریب مقیاس "k = 2" گشاد شود، رئوس جدید A'، B' و C' چه خواهند بود؟

راه حل:

مرحله 1:

ابتدا باید قانون صحیحی را که باید در این مشکل اعمال کنیم، بدانیم.

گام 2 :

در اینجا، مثلث برای ضریب مقیاس "k = 2" گشاد شده است.

بنابراین، قانونی که باید در اینجا اعمال کنیم این است

(x, y) -------> (kx , ky)

مرحله 3:

بر اساس قانون داده شده در مرحله 1، باید رئوس مثلث گشاد شده A'B'C' را پیدا کنیم.

مرحله 4:

(x، y) -----> (kx، ky)

A(-2، -2) -------> A'(-4، -4)

B(-1، 2) -------> B'(-2، 4)

C(2، 1) -------> C'(4، 2)

مرحله 5:

رئوس مثلث متسع هستند                      

                       A'(-4، -4)، B(-2، 4) و C'(4، 2) 

چگونه شکل گشاد شده را ترسیم کنیم؟

1. ابتدا باید رئوس تصویر پیش را رسم کنیم.

2. در مسئله فوق رئوس تصویر پیشین هستند

A(-2، -2)، B(-1، 2) و C(2، 1)

3. وقتی این نقاط را روی یک کاغذ گراف رسم می کنیم، شکل پیش تصویر (شکل اصلی) به دست می آید.

4. وقتی شکل داده شده را برای "k = 2" گشاد می کنیم، باید فرمول را اعمال کنیم

(x، y) -------> (kx، ky) 

5. زمانی که فرمول را اعمال می کنیم، رئوس تصویر زیر را بدست می آوریم (شکل گشاد شده).

6. در مسئله فوق رئوس تصویر هستند

A'(-4، -4)، B'(-2، 4) و C'(4، 2)

7. وقتی این نقاط را روی کاغذ گراف رسم می کنیم، شکل تصویر (شکل گشاد شده) را به دست می آوریم.

مرکز تجانس خارج از تصویر

مرکز تجانس می تواند داخل یا خارج تصویر اصلی و تصویر  گشاد شده باشد. مرکز تجانس می تواند در هر نقطه ای از صفحه مختصات باشد  تا زمانی که خطوطی که هر جفت رئوس متناظر را بین  تصویر اصلی و گشاد شده به هم متصل می کنند در مرکز تجانس قطع می کنند.

مثال 1:

مثلث PQR نشان داده شده در شبکه، تصویر قبلی است. اگر مرکز تجانس  مبدأ و ضریب مقیاس 3 باشد، تصویر گشاد شده P'Q'R' را رسم کنید.

راه حل : 

مرحله 1:

مختصات رئوس تصویر پیش را فهرست کنید. 

P(1، 3)،  Q(3، 1) و  R(1، 1)

گام 2 :

از آنجایی که ضریب مقیاس 3 است، قانون به دست آوردن  مختصات رئوس تصویر است 

 (x، y) → (3x، 3y)

مرحله 3:

مختصات رئوس تصویر را فهرست کنید. 

P(1، 3) ---> P'(3، 9)

 Q(3، 1) ---> Q'(9، 3)

R(1، 1) ---> R'(3، 3)

مرحله 4: 

تصویر P'Q'R را رسم کنید.

مثال 2:

مثلث ABC نشان داده شده در شبکه، تصویر پیشین است. اگر مرکز تجانس  مبدا و ضریب مقیاس 1/3 باشد، تصویر گشاد شده A'B'C' را رسم کنید.

راه حل : 

مرحله 1:

مختصات رئوس تصویر پیش را فهرست کنید. 

A(3، 9)، B (9، 9) و C (3، 3)

گام 2 :

از آنجایی که ضریب مقیاس 1/3 است، قانون به دست آوردن  مختصات رئوس تصویر است 

 (x، y) → [(1/3)x، (1/3)y]

مرحله 3:

مختصات رئوس تصویر را فهرست کنید. 

A(3، 9) ---> A'(1، 3)

 B (9، 9) ---> B'(3، 3)

C(3، 3) ---> C'(1، 1)

مرحله 4: 

تصویر A'B'C را رسم کنید.

مثال 3:

مستطیل JKLM که روی شبکه نشان داده شده است، تصویر قبلی است. اگر مرکز تجانس  مبدا و ضریب مقیاس 2 باشد، تصویر متسع J'K'L'M' را رسم کنید.

راه حل : 

مرحله 1:

مختصات رئوس تصویر پیش را فهرست کنید. 

J(1، 1)، K (3، 1)، L (3، 4) و M(1، 4)

گام 2 :

از آنجایی که ضریب مقیاس 2 است، قانون به دست آوردن  مختصات رئوس تصویر است 

 (x، y) → (2x، 2y)

مرحله 3:

مختصات رئوس تصویر را فهرست کنید. 

J(1، 1) ---> J'(2، 2)

 K (3، 1) ---> K'(6، 2)

L(3، 4) ---> L'(6، 8)

M(1، 4) ---> M'(2، 8)

مرحله 4: 

تصویر J'K'L'M' را رسم کنید.

مساحت مثلث قائم الزاویه ساخته شده در نمودار با استفاده از قضیه فیثاغورث تعیین کنید.

• مثلث قائم الزاویه  را تحلیل کنید و مساحت آن را محاسبه کنید.

   

   

   

• با کمک قضیه فیثاغورث، مساحت مثلث کدام است؟

   

   

   

• مساحت مثلث قائم الزاویه  را در تصویر زیر بیابید.