دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

ماهواره‌های مدار زمین ثابت (Geo)

۱۳۹۹/۰۲/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

ماهواره‌های مدار زمین ثابت (Geo)

مَدار زمین‌ایست

این نوع ماهواره‌ها در حالت کلی به روی مدار زمین‌ایست و بر بالای خط استوا، در فاصله ۳۵۷۸۶ کیلومتری از سطح زمین قرار داند.

مدارهای زمین‌ایست دوره گردِشی، درست برابر گردش زمین دارند. این مدار، مدار۲۴ ساعته نیز خوانده می‌شود. این ماهواره‌ها با سرعتی حدود سه کیلومتر درثانیه در مدار زمین‌ایست حرکت می‌کنند. برای ردیابی ماهواره احتیاج به سیستم پیچیده‌ای نیست ماهواره‌ها در مدار ثابت زمینی، با تعداد کم، امکان ایجاد پوشش زیادی را در روی زمین دارند. به عنوان مثال سه ماهواره در روی این مدار برای پوشش بیشتر سطح زمین (به جز قطبها) کافی هستند.

ماهواره نسبت به زاویه‌ای که ایستگاه زمینی آن را می‌بیند، ثابت است، در نتیجه احتیاجی به تغییر جهت آنتن نیست ولی تنظیم آن ضروری است تعداد زیادی از ایستگاه‌های زمینی می‌توانند تحت پوشش یک ماهواره در این مدار قرار گیرند به‌طوری‌که آنتن هر ماهواره می‌تواند حداکثر ۴۲/۴ درصد سطح کره زمین را بپوشاند. این نوع ماهواره‌های در فضا در مکانی ثابت قرار دارند و همراه با دوران زمین بدور خود، می‌گردند و به دلیل همین ثبات دارای سایه‌ای ثابت (معروف به «جای‌پا») بر زمین هستند. به مدار geosynchronous مدار مدار زمین‌ایست یا مدار کلارک نیز گفته می‌شود.

تمام ماهواره‌های مخابراتی و تلویزیونی از این نوع هستند.

ماهواره‌های مدار بیضوی

۱۳۹۹/۰۲/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

ماهواره‌های مدار بیضوی

این ماهواره‌ها دارای مداری بیضوی هستند. دو نقطه مهم از مدار این ماهواره‌ها نقطه اوج و نقطه حضیض آن‌ها است.

قسمتی که به سطح زمین نزدیک می‌شوند به نام نقطه حضیض یا perigee نامیده می‌شود.
قسمتی که از سطح زمین دور می‌شود به نام نقطه اوج یا apogee نامیده می‌شود.

مسیر حرکت و دوران این نوع ماهواره مانند ماهواره‌های قطبی از سمت شمال به جنوب است.

چون اکثر ماهواره‌های مخابراتی در مدار زمین‌ایست قرار گرفته‌اند، این ماهواره‌ها هیچ پوششی بروی قطب‌های شمال و جنوب ندارند. به همین دلیل و جهت پوشش قطب‌ها از ماهواره‌های مدار قطبی استفاده می‌شود. در واقع این نوع از ماهواره‌ها شمالی‌ترین و جنوبی‌ترین قسمت نیمکره‌ها را پوشش می‌دهند.

مدار ماهواره‌ها

۱۳۹۹/۰۲/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

مدار ماهواره‌ها

نوشتار اصلی: مدار (سیاره)

حرکت مداری

ماهواره‌ها به دور زمین در یک مسیرِ بسته، که آن را مَدار می‌نامند در حال گردش هستند. ناظری که خارج از جو زمین قرار گرفته و به زمین می‌نگرد، مشاهده می‌کند که ماهواره‌ها در مسیرهایی به دور زمین در حال چرخشند. این مسیرها می‌توانند دایره‌ای یا بیضوی یا حتی مربعی باشند؛ اما مرکز زمین در هر حالت در مرکز این مسیر یا در نقطه کانونی آن قرار می‌گیرد. ماهواره در صورتی که تحت تأثیر نیروهای جاذبهٔ دیگری قرار نگیرد، همواره در صفحه‌ای به نام صفحه مداری به گردش خود به دور زمین ادامه می‌دهد. حرکت این صفحهٔ مداری، به دورهٔ مداری و زاویهٔ صفحه، با مدار استوا بستگی دارد. اگر این زاویه صفر باشد، صفحهٔ مداری منطبق بر صفحهٔ استوایی زمین می‌شود.

عناصر مداری؛ عناصری ششگانه‌اند و به تقلید از یوهان کپلر و بر اساس قوانین حرکت سیاره‌ای‌اش (قوانین کپلر) نامگذاری شده‌اند. هر مدار، توسط این شش عنصر به‌طور کامل تعریف می‌شود و مقدارِ «مبدأ» زمانِ اعتبارِ پارامترها را مشخص می‌کند. برای این پارامترها، به دلیل تغییر جزئی مبناها، هر ۵۰ سال یک مبدأ جداگانه در نظر گرفته می‌شود تا تغییرات مبناها اصلاح گردد.

مدار واقعیِ (و عناصر مداری آن) اجرام، هنگامی که در معرض آشفتگی‌های گرانشی قرار می‌گیرند، تغییر می‌کند؛ بنابراین، مدارِ تعریف شده بوسیلهٔ عناصر مداری، فقط تَقریب ریاضیِ مداری در یک زمان خاص است، که مشخصهٔ مبدا؛ بیان‌کنندهٔ آن است.

اصل لانه کبوتری (صورت تعمیم یافته)

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

اصل لانه کبوتری (صورت تعمیم یافته)

صورت تعمیم یافته از این اصل بیان می‌کند که اگر n شی گسسته در m جعبه قرار داده شوند در این صورت حداقل یک جعبه داریم که در آن حداقل $\lceil n/m\rceil$ شی وجود دارد. $\lceil x\rceil$ سقف x کوچکترین عدد صحیح بزرگتر یا مساوی x را نشان می‌دهد به‌طور مشابه در حداقل یک ظرف نباید بیش از $\lfloor n/m\rfloor$ شی داشته باشیم. صورت تعمیم یافتهٔ این اصل در احتمال بیان می‌کند که اگر n کبوتر با احتمال یکسان 1/m به صورت تصادفی در m لانه قرار بگیرند در این صورت حداقل یک لانه بیشتر از یک کبوتر را با احتمال $1-{\frac {(m)_{n}}{m^{n}}}\!$ نگهداری می‌کند که در آن

(m)n=m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1)

تعمیم بیشتر آن در احتمال این است که وقتی یک متغیر تصادفی حقیقی X میانگین متناهی(E(X را دارد، احتمال آن غیر صفر است که X بزرگتر یا مساوی (E(X باشد و به‌طور مشابه احتمال آن غیر صفر است که X کوچکتر یا مساوی (E(X باشد. برای این که ببینیم این نتیجهٔ اصل لانه کبوتری است هر ترکیب ثابت از n کبوتر در m لانه را در نظر می‌گیریم و X را تعداد کبوترهایی در نظر می‌گیریم که به‌طور تصادفی و یک نواخت در یک لانه قرار گرفته‌اند. میانگینX برابر n/m است؛ بنابراین اگر کبوترهای بیشتری از تعداد لانه‌ها داشته باشیم میانگین بیشتر از یک است بنابراین X اغلب حداکثر ۲ است.

مثال اصل لانه کبوتری

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

روز تولد

مسئلهٔ روز تولد بیان می‌کند برای یک مجموعهٔ n نفری از افراد انتخاب شده به‌طور تصادفی احتمال وجود افراد با روز تولد یکسان چقدر است؟ با استفاده از اصل لانه کبوتری می‌توان نشان داد اگر ۳۶۷ نفر را در یک اتاق جمع کنیم حداقل ۲ نفر وجود دارند که روز تولد یکسان دارند.

مثال اصل لانه کبوتری

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

شمارش مو

می‌توانیم نشان بدهیم در لندن حداقل ۲ نفر وجود دارند که تعداد موی یکسانی بر سر خود دارند. از آنجا که یک فرد معمولی به‌طور متوسط ۱۵۰۰۰۰ مو بر روی سر خود دارد منطقی است که فردی با بیش از ۱۰۰۰۰۰۰ تار مو بر سر خود وجود نداشته باشد. در لندن بیش از یک میلیون نفر زندگی می‌کند اکنون تعداد لانه‌ها را برابر یک میلیون در نظر گرفته و کبوترها را تعداد افرادی که در لندن زندگی می‌کنند در نظر می‌گیریم(n>1000000) پس طبق اصل لانه کبوتری حداقل ۲ نفر وجود دارن که تعداد موی یکسانی بر روی سر خود دارند.

مثال اصل لانه کبوتری

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

دست دادن

فرض کنیم n نفر وجود دارند (n>1) که هر کدام می‌توانند با دیگری دست بدهند. اصل لانهٔ کبوتری نشان می‌دهد که همیشه ۲ نفر وجود دارند که با تعداد یکسانی از افراد دست داده‌اند. هرکس می‌تواند با ۰ تا n-1 شخص دیگر دست بدهد اما تعداد لانه‌ها را n-1 در نظر می‌گیریم زیرا اگر شخصی با ۰ نفر دست دهد شخص دیگری نمی‌تواند با n-1 نفر دست بدهد و بلعکس. اکنون n-1 لانه داریم و طبق اصل لانه کبوتری حد اقل ۲ شخص (کبوتر که تعداد آنها n است) وجود دارند که با تعداد یکسان دیگری دست داده‌اند .

مثال اصل لانه کبوتری

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

انتخاب جوراب

فرض کنید n جوراب آبی و m جوراب مشکی دارید(m). حداقل تعداد جوراب‌هایی که لازم است تا مطمئن شویم که یک جفت غیر همرنگ داریم برابر m+1 است. (زیرا ممکن است از بین m جوراب همگی هم‌رنگ باشند)

مثال اصل لانه کبوتری

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

تیم بیسبال
فرض کنیم ۵ نفر می‌خواهند در ۴ تیم بیسبال بازی کنند(n=5 ,m=۴). اصل لانه کبوتری می‌گوید که همهٔ آن‌ها نمی‌توانند در تیم‌های مختلف بازی کنند. حد اقل ۲ نفر باید در یک تیم مشابه بازی کنند.

اصل لانه کبوتری

۱۳۹۹/۰۲/۲۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

اصل لانه کبوتری (به انگلیسی: Pigeonhole principle)، که با نام اصل جعبه (یا کشوی) دیریکله نیز شناخته می‌شود، بیان می‌کند که اگر دو عدد طبیعی n و m را با خاصیت n>m داشته باشیم، اگر n شیء در m لانه کبوتر قرار گیرد، آن‌گاه حداقل یک لانه کبوتر (یا قفسه) دارای بیش از یک شیء خواهد بود. بیانی دیگر از این اصل به این صورت است که اگر در m لانه حداکثر m شیء آن هم با شرط در هر لانه یک شیء، قرار گرفته‌است؛ اضافه کردن یک شیء دیگر ما را مجبور می‌کند که از یکی از لانه‌ها بار دیگر استفاده کنیم (با این شرط که m متناهی باشد).

تجسمی برای نام اصل: کبوترها در لانه‌ها. در این‌جا n = 7 و m = 9 بنابراین می‌توانیم نتیجه بگیریم که حداقل دو لانه کبوتر خالی وجود دارد. (که اگر دقیقاً دو کبوتر در یک لانه قرار گرفته باشند، سه خانهٔ خالی وجود دارد)

قانون نیوتن یا بسط دو جمله ای

۱۳۹۹/۰۲/۲۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

تعداد اعضای اجتماع 4 مجموعه

۱۳۹۹/۰۲/۲۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

با استفاده از اصل شمول و خروج برای نمودار زیر یک سوال بنویسید و روابط آنرا بنویسید و حل کنید

۱۳۹۹/۰۲/۲۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

با استفاده از اصل شمول و خروج برای نمودار زیر یک سوال بنویسید

۱۳۹۹/۰۲/۲۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

تعداد توابع پوشا

۱۳۹۹/۰۲/۲۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

تعداد توابع پوشا
با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان دریافت که تعداد توابع پوشا از A به B برابر است با:
$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}(-1)^{j}(n-j)^{k}.$
که $|A|=k$ و $|B|=n$

اصل شمول و عدم شمول : مثال n مجموعه

۱۳۹۹/۰۲/۲۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

فرض کنید n کارت داریم، هر کارت شماره‌ای از ۱ تا n دارد فرض کنید کارت با شمارهٔ m در جای درست قرار دارد اگر mامین کارت باشد. به چند طریق می‌توان کارت‌ها را بُر زد به طوری که حداقل یک کارت در جای درستش قرار داشته باشد؟
Am را مجموعه‌ای از جایگشت بگیرید که کارت با شمارهٔ m در جای درستش قرار دارد. در این صورت تعداد جایگشت‌های مورد نظر (W) برابر است با:
$W={\biggl |}\bigcup _{m=1}^{n}A_{m}{\biggr |}.$
با استفاده از اصل شمول و عدم شمول داریم:
$W=\sum _{m_{1}=1}^{n}\left|A_{m_{1}}\right|{}-\sum _{1\leq m_{1}<m_{2}\leq n}\left|A_{m_{1}}\cap A_{m_{2}}\right|{}+\sum _{1\leq m_{1}<m_{2}<m_{3}\leq n}\left|A_{m_{1}}\cap A_{m_{2}}\cap A_{m_{3}}\right|{}-\cdots {}+(-1)^{p-1}\sum _{1\leq m_{1}<\cdots <m_{p}\leq n}\left|A_{m_{1}}\cap \cdots \cap A_{m_{p}}\right|\cdots .$
هر مقدار $A_{m_{1}}\cap \cdots \cap A_{m_{p}}$ بیانگر مجموعهٔ جایگشت‌هایی است که در آن‌ها p کارت mp، …، m۱ در جای درست قرار دارند. توجه کنید که تعداد جایگشت‌های با p مقدار درست تنها به p بستگی دارد نه به مقادیر $m$ . به عنوان مثال، تعداد جایگشت‌هایی که اولین و سومین و ۱۷امین کارت در جای درست قرار دارند برابر با تعداد جایگشت‌هایی است که ۲امین و ۵امین و ۱۳امین کارت در جای درست قرار دارند. تنها این مهم است که از n کارت ۳ کارت انتخاب شده که در جای درست قرار گیرد. چون به تعداد ${n \choose p}$ مورد در هر مجموع وجود دارد، داریم:
$W={n \choose 1}\left|A_{1}\right|-{n \choose 2}\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+{n \choose 3}\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\right|-\cdots +(-1)^{p-1}{n \choose p}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{p}\right|\cdots .$
$\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{p}\right|$ تعداد جایگشت‌هایی است که p عنصر دارند که در جای درست قرار گرفته‌اند که برابر است با $(n-p)!$ . بنابراین در نهایت داریم:
$W={n \choose 1}(n-1)!-{n \choose 2}(n-2)!+{n \choose 3}(n-3)!-\cdots +(-1)^{p-1}{n \choose p}(n-p)!\cdots W=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{p-1}{n \choose p}(n-p)!.$
با توجه به اینکه ${n \choose p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}$ بدست می‌آید:
$W=\sum _{p=1}^{n}(-1)^{p-1}\,{\frac {n!}{p!}}.$
یک جایگشت که در آن هیچ عنصری سر جایش نیست یک پریش نامیده می‌شود. وقتی $n!$ تعداد کل جایگشت‌ها است، احتمال (Q) این که یک جایگشت تصادفی یک پریش باشد برابر است با:
$Q=1-{\frac {W}{n!}}=\sum _{p=0}^{n}{\frac {(-1)^{p}}{p!}},$