دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

مدل محاسباتی الگوی تداخل از پراش دو شکافی.

۱۴۰۰/۱۰/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

دو موج با اختلاف فاز °۱۸۰ , دو موج هم‌فاز

۱۴۰۰/۱۰/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

موج صفحه ای که توسط یک عدسی متمرکز شده است.

۱۴۰۰/۱۰/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

پراش یک موج صفحه زمانی که عرض شکاف برابر با طول موج باشد

۱۴۰۰/۱۰/۳۰ - - علی رضا نقش نیلچی -

اتحاد لاگرانژ

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

ارتباط:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} و \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \ چپ\|\mathbf {a} \راست\|^{2}\چپ\|\mathbf {b} \راست\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{ 2}.$

را می توان با رابطه دیگری که مربوط به سمت راست است مقایسه کرد، یعنی اتحاد لاگرانژ که به صورت زیر بیان می شود: [13]

$\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\| \mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}\ ,$

که در آن a و b ممکن است بردارهای n بعدی باشند. این همچنین نشان می دهد که فرم حجمی ریمانی برای سطوح دقیقاً عنصر سطحی از حساب برداری است. در حالتی که

n = 3 ، ترکیب این دو معادله منجر به بیان بزرگی حاصلضرب خارجی بر حسب اجزای آن می شود: [14]

${\begin{aligned}&\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3} \left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\\equiv {}&\left(a_{1}b_{2}-b_{1} a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}b_{1 }-a_{1}b_{3}\right)^{2}\ .\end{تراز شده}}$

همین نتیجه مستقیماً با استفاده از اجزای محصول متقاطع یافت شده از:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{ \hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.$

در R^ 3 ، معادله لاگرانژ یک مورد خاص از چند برابری | vw | = | v || w | هنجار در جبر رباعی .

این یک مورد خاص از فرمول دیگری است که گاهی اوقات اتحاد لاگرانژ نیز نامیده می شود، که حالت سه بعدی اتحاد بینه-کوشی است :

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c})( \mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d})(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}).$

اگر a = c و b = d این به فرمول بالا ساده می شود.

خاصیت هایی که ضرب خارجی 3 بردار صفر می شود

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .$

خاصیت دوری ضرب خارجی 3 بردار

اگر

$\mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,$

آنگاه

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}$

خاصیت اسکالری ضرب خارجی

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

$(r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

حجم متوازی السطوح

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

مساحت متوازی الاضلاع به روش ضرب خارجی

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\||\sin \theta |.$

ضرب خارجی

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

خواص ساده و مهم ضرب خارجی

۱۴۰۰/۱۰/۲۹ - - علی رضا نقش نیلچی -

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$

$\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0}$