برای شمارش تعداد عناصر در اجتماع دو مجموعه (A و B)، باید تعداد آیتم های مجموعه A، تعداد آیتم های مجموعه B و تعداد آیتم های هر دو A و B را بدانیم. (اشتراک الف و ب).

صرف جمع کردن عناصر A و B با یکدیگر، عناصر موجود در اشتراک را دو بار می‌شماریم، بنابراین برای بدست آوردن تعداد صحیح عناصر در اجتماع A و B، باید محل اشتراک A و B را کم کنیم. با استفاده از فرمول ریاضی زیر بیان شده است:

راه دیگر برای نگاه کردن به این مفهوم استفاده از نمودار ون یا نمایش بصری مجموعه ها است. در شکل 1 زیر، دایره سمت چپ نشان دهنده مجموعه A، دایره سمت راست مجموعه B، و همپوشانی نشان دهنده اشتراک A و B است. هر چیزی که در هر دو دایره باشد نشان دهنده اجتماع A و B است. هر دو دایره، باید کم شود تا فقط یک بار شمارش شود. توجه داشته باشید که جهان U شامل همه چیز در کل جعبه است.

شکل 1: نمودار ون با دو مجموعه

برای باز کردن قفل این درس باید عضو Study.com باشید. حساب کاربری برای خود بسازید

گنجاندن-خروج با سه مجموعه

اکنون که با دو مجموعه تمرین کرده ایم، بیایید نحوه شمارش عناصر شامل سه مجموعه (A، B و C) را در نظر بگیریم. اگر تعداد عناصر هر یک از سه مجموعه را اضافه کنیم، دوباره عناصری را که در بیش از یک مجموعه قرار دارند، چندین بار می شماریم، همانطور که در شکل 2 زیر نشان داده شده است. مناطقی که دو مجموعه با هم تداخل دارند دو بار و منطقه ای که هر سه مجموعه با هم همپوشانی دارند سه بار شمارش می شود.

شکل 2: نمودار ون با سه مجموعه و تعداد منطقه

اگر هر یک از جفت‌ها را کم کنیم، فرمول به شکل زیر است:

مشکل این روش این است که ناحیه وسطی که هر سه مجموعه در آن تلاقی می کنند به هیچ وجه شمارش نمی شود. این در شکل 3 نشان داده شده است.

شکل 3: نمودار ون با سه مجموعه و تعداد منطقه تنظیم شده است

برای رفع این مشکل، به سادگی می‌توانیم اشتراک هر سه مجموعه را دوباره به داخل اضافه کنیم، به طوری که فرمول اکنون به شکل زیر در می‌آید:

فرمول کلی شمول و عدم شمول

اصل شمول و عدم شمول را می توان به هر تعداد مجموعه n تعمیم داد ، که در آن n یک عدد صحیح مثبت است. اصل کلی شمول و عدم شمول به شرح زیر تعریف می شود:

بگذارید A 1 , A 2 , …, A n مجموعه های متناهی باشند. سپس

به عنوان مثال، اعمال این فرمول برای چهار مجموعه نتیجه می دهد:

خلاصه درس

این درس اصل

برای شمارش تعداد عناصر در اجتماع دو مجموعه (A و B)، باید تعداد آیتم های مجموعه A، تعداد آیتم های مجموعه B و تعداد آیتم های هر دو A و B را بدانیم. (اشتراک الف و ب).

صرف جمع کردن عناصر A و B با یکدیگر، عناصر موجود در اشتراک را دو بار می‌شماریم، بنابراین برای بدست آوردن تعداد صحیح عناصر در اجتماع A و B، باید محل اشتراک A و B را کم کنیم. با استفاده از فرمول ریاضی زیر بیان شده است:

راه دیگر برای نگاه کردن به این مفهوم استفاده از نمودار ون یا نمایش بصری مجموعه ها است. در شکل 1 زیر، دایره سمت چپ نشان دهنده مجموعه A، دایره سمت راست مجموعه B، و همپوشانی نشان دهنده اشتراک A و B است. هر چیزی که در هر دو دایره باشد نشان دهنده اجتماع A و B است. هر دو دایره، باید کم شود تا فقط یک بار شمارش شود. توجه داشته باشید که جهان U شامل همه چیز در کل جعبه است.

شکل 1: نمودار ون با دو مجموعه

برای باز کردن قفل این درس باید عضو Study.com باشید. حساب کاربری برای خود بسازید

گنجاندن-خروج با سه مجموعه

اکنون که با دو مجموعه تمرین کرده ایم، بیایید نحوه شمارش عناصر شامل سه مجموعه (A، B و C) را در نظر بگیریم. اگر تعداد عناصر هر یک از سه مجموعه را اضافه کنیم، دوباره عناصری را که در بیش از یک مجموعه قرار دارند، چندین بار می شماریم، همانطور که در شکل 2 زیر نشان داده شده است. مناطقی که دو مجموعه با هم تداخل دارند دو بار و منطقه ای که هر سه مجموعه با هم همپوشانی دارند سه بار شمارش می شود.

شکل 2: نمودار ون با سه مجموعه و تعداد منطقه

اگر هر یک از جفت‌ها را کم کنیم، فرمول به شکل زیر است:

مشکل این روش این است که ناحیه وسطی که هر سه مجموعه در آن تلاقی می کنند به هیچ وجه شمارش نمی شود. این در شکل 3 نشان داده شده است.

شکل 3: نمودار ون با سه مجموعه و تعداد منطقه تنظیم شده است

برای رفع این مشکل، به سادگی می‌توانیم اشتراک هر سه مجموعه را دوباره به داخل اضافه کنیم، به طوری که فرمول اکنون به شکل زیر در می‌آید:

فرمول کلی شمول و عدم شمول

اصل شمول و عدم شمول را می توان به هر تعداد مجموعه n تعمیم داد ، که در آن n یک عدد صحیح مثبت است. اصل کلی شمول و عدم شمول به شرح زیر تعریف می شود:

بگذارید A 1 , A 2 , …, A n مجموعه های متناهی باشند. سپس

به عنوان مثال، اعمال این فرمول برای چهار مجموعه نتیجه می دهد:

خلاصه درس

این درس اصل گنجاندن-حذف را پوشش می‌دهد که می‌توان از آن برای شمارش تعداد آیتم‌های درون مجموعه‌هایی که موارد مشترک دارند، استفاده کرد. ما با مفاهیم بنیادی تئوری مجموعه‌ها ، از جمله اجتماع و اشتراک ، که برای حل مسائل شمارش با استفاده از اصل شمول - طرد ضروری هستند، شروع کردیم. سپس فرمول‌ها و مثال‌های هر کدام، از جمله نمونه‌های دو مجموعه و سه مجموعه را بررسی کردیم. در نهایت، ما یک فرمول کلی برای اصل گنجاندن-خروج اعمال شده برای n مجموعه ارائه کردیم.

را پوشش می‌دهد که می‌توان از آن برای شمارش تعداد آیتم‌های درون مجموعه‌هایی که موارد مشترک دارند، استفاده کرد. ما با مفاهیم بنیادی تئوری مجموعه‌ها ، از جمله اجتماع و اشتراک ، که برای حل مسائل شمارش با استفاده از اصل شمول - طرد ضروری هستند، شروع کردیم. سپس فرمول‌ها و مثال‌های هر کدام، از جمله نمونه‌های دو مجموعه و سه مجموعه را بررسی کردیم. در نهایت، ما یک فرمول کلی برای اصل گنجاندن-خروج اعمال شده برای n مجموعه ارائه کردیم.

2

یک شیشه مرمر شامل 4 تیله آبی، 5 مرمر قرمز، 1 مرمر سبز و 2 تیله سیاه است.

یک سنگ مرمر به طور تصادفی از شیشه انتخاب می شود. پس از تعویض آن ، سنگ مرمر دوم انتخاب می شود.

احتمال موارد زیر را بیابید:

P (سبز و قرمز)

P (آبی و مشکی)

توجه داشته باشید که مشکل بیان می کند که یک سنگ مرمر انتخاب شده و سپس جایگزین می شود. از آنجا که سنگ مرمر جایگزین شده است، این دو رویداد مستقل از یکدیگر هستند.  

هنگامی که مرمر دوم انتخاب می شود، شیشه حاوی همان تیله هایی است که برای اولین انتخاب وجود داشت. 

بنابراین، می‌توان این دو رویداد را به عنوان رویدادهای مستقل طبقه‌بندی کرد. این به ما امکان می دهد از فرمول احتمال خود استفاده کنیم:

P(A و B) = P(A) • P(B)

راه حل:

راه حل ها

کیسه 4 تیله آبی، 5 تیله قرمز، 1 مرمر سبز و 2 تیله سیاه وجود دارد. فرض کنید یک سنگ مرمر را به طور تصادفی انتخاب کرده اید. هر احتمال را بیابید.

P (سیاه)

P (آبی)

P (آبی یا سیاه)

P (سبز نیست)

P (بنفش نیست)

​

 نمودار ون مسائل با 3 دایره

اجازه دهید سه مجموعه A، B و C را در نظر بگیریم.

مجموعه A شامل یک عنصر، B حاوی عناصر b و C شامل عناصر c است.

هر دو A و B حاوی عناصر w هستند، B و C حاوی عناصر x، A و C حاوی عناصر y، هر سه مجموعه A، B و C حاوی عناصر z هستند.

می توانیم از نمودار ون با 3 دایره برای نشان دادن اطلاعات بالا مانند شکل زیر استفاده کنیم. 

اجازه دهید تغییرات زیر را در نمودار ون انجام دهیم. 

می توانیم نتایج زیر را از نمودار ون که در بالا نشان داده شده است به دست آوریم.

تعداد عناصر مربوط به A است 

= a - (w + y - z)

تعداد عناصر مربوط به B است 

= b - (w + x - z)

تعداد عناصر مربوط فقط به C است 

= c - (y + x - z)

تعداد عناصر مربوط فقط به (الف و ب) است

= w - z

تعداد عناصر مربوط فقط به (B و C) است

= x - z

تعداد عناصر مربوط فقط به (A و C) است

= y - z

تعداد عناصر مربوط به هر سه مجموعه A، B و C است 

= z

تعداد کل عناصر مربوط به هر سه مجموعه A، B و C می باشد

= [a-(w+yz)] + [b-(w+xz)] + [c-(y+xz)] + (wz) + (xz) + (yz) + z 

مثال ها

مثال 1:

در نظرسنجی از دانشجویان دانشگاه، 64 نفر درس ریاضی، 94 نفر درس شیمی، 58 نفر دروس فیزیک، 28 نفر ریاضی و فیزیک، 26 نفر ریاضی و شیمی ، 22 نفر دروس شیمی و فیزیک و 14 نفر گذرانده بودند. هر سه دوره را گذرانده است. بیابید که چند نفر فقط یک دوره را گذرانده اند.

راه حل :

مرحله 1:

بگذارید M، C و P به ترتیب دروس ریاضی، شیمی و فیزیک را نشان دهند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال: 

گام 2 :

از نمودار ون بالا داریم

تعداد دانش‌آموزانی که فقط ریاضی را 24 خوانده بودند

تعداد دانش آموزانی که فقط شیمی خوانده بودند = 60

تعداد دانش آموزانی که فقط فیزیک خوانده بودند = 22

مرحله 3:

تعداد کل دانش آموزانی که فقط یک درس را گذرانده اند:

= 24 + 60 + 22

= 106

بنابراین تعداد کل دانشجویانی که فقط یک درس را گذرانده اند 106 نفر می باشد.

مثال 2:

در گروهی از دانش‌آموزان، 65 نفر با توپ فوتبال، 45 نفر هاکی، 42 نفر کریکت، 20 نفر با توپ و هاکی، 25 نفر با توپ و کریکت، 15 نفر هاکی و کریکت و 8 نفر هر سه بازی را انجام می‌دهند. تعداد کل دانش آموزان گروه را بیابید  (فرض کنید هر دانش آموز در گروه حداقل یک بازی انجام می دهد.)

راه حل :

مرحله 1:

بگذارید F، H و C به ترتیب نشان دهنده بازی های فوتبال، هاکی و کریکت باشند. 

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

گام 2 :

تعداد کل دانش آموزان گروه:

= 28 + 12 + 18 + 7 + 10 + 17 + 8

= 100

بنابراین تعداد کل دانش آموزان گروه 100 نفر می باشد.

مثال 3:

در یک کالج، 60 دانشجو در رشته شیمی، 40 دانشجو در رشته فیزیک، 30 نفر در زیست شناسی، 15 نفر در شیمی و فیزیک، 10 نفر در رشته فیزیک و زیست شناسی، 5 نفر در رشته زیست شناسی و شیمی ثبت نام کردند. هیچ کس در هر سه ثبت نام نکرد. تعداد افرادی که حداقل در یکی از موضوعات ثبت نام کرده اند را بیابید.

راه حل :

فرض کنید C، P و B به ترتیب نشان دهنده موضوعات شیمی، فیزیک و زیست شناسی هستند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون فوق، تعداد دانش آموزانی که حداقل در یکی از موضوعات ثبت نام  کرده اند:

= 40 + 15 + 15 + 15 + 5 + 10 + 0

= 100

بنابراین تعداد دانش آموزانی  که حداقل در یکی از دروس ثبت نام کرده اند 100 نفر است.

مثال 4:

در یک شهر 85 درصد مردم تامیل، 40 درصد انگلیسی و 20 درصد هندی صحبت می کنند. همچنین 32٪ تامیل و انگلیسی صحبت می کنند، 13٪ تامیل و هندی صحبت می کنند و 10٪ انگلیسی و هندی صحبت می کنند، درصد افرادی که می توانند به هر سه زبان صحبت کنند را بیابید.

راه حل:

بگذارید T، E و H نشان دهنده افرادی باشند که به ترتیب به زبان های تامیل، انگلیسی و هندی صحبت می کنند. 

اجازه دهید x درصد افرادی باشد که به هر سه زبان صحبت می کنند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون بالا می توانیم داشته باشیم 

100 = 40 + x + 32 – x + x + 13 – x + 10 – x – 2 + x – 3 + x

100 = 40 + 32 + 13 + 10 - 2 - 3 + x 

100 = 95 - 5 + x

100 = 90 + x

x = 100 - 90

x = 10٪ 

بنابراین، درصد افرادی که به هر سه زبان صحبت می کنند 10٪ است. 

مثال 5:

یک آژانس تبلیغاتی دریافت که از 170 مشتری خود، 115 نفر از تلویزیون، 110 نفر از رادیو و 130 نفر از مجلات استفاده می کنند. همچنین 85 نفر از تلویزیون و مجلات، 75 نفر از تلویزیون و رادیو، 95 نفر از رادیو و مجلات، 70 نفر از هر سه استفاده می کنند. برای نمایش این داده ها، نمودار ون را رسم کنید. پیدا کردن 

(i) چند نفر فقط از رادیو استفاده می کنند؟

(ii) چند نفر فقط از تلویزیون استفاده می کنند؟

(iii) چند نفر از تلویزیون و مجله استفاده می کنند اما از رادیو استفاده نمی کنند؟

راه حل:

بگذارید T، R و M به ترتیب نشان دهنده افرادی باشند که از تلویزیون، رادیو و مجلات استفاده می کنند.

نمودار ون مربوط به اطلاعات داده شده در سوال:

از نمودار ون بالا داریم

(i) تعداد افرادی که فقط از رادیو استفاده می کنند 10 نفر است

(ii) تعداد افرادی که فقط از تلویزیون استفاده می کنند 25 نفر است

(iii) تعداد افرادی که از تلویزیون و مجله استفاده می کنند اما از رادیو استفاده نمی کنند 15 نفر است.

​

​

جداسازی مجموعه ها با استفاده از نمودار ون

جداسازی مجموعه ها با استفاده از نمودار ون توسط دو ناحیه بسته غیر همپوشانی نشان داده می شود و اجزای گفته شده با نشان دادن یک منحنی بسته که به طور کامل در داخل دیگری قرار دارد نشان داده می شوند.

دو مجموعه A و B در صورتی که هیچ عنصر مشترکی نداشته باشند جدا هستند.

بنابراین، A = {1، 2، 3} و B = {5، 7، 9} مجموعه‌های جدا هستند. اما مجموعه های C = {3، 5، 7} و D = {7، 9، 11} جدا نیستند. برای، 7 عنصر مشترک A و B است.

اگر A ∩ B = ϕ به دو مجموعه A و B جدا گفته می شود. اگر A ∩ B ≠ ϕ، A و B مجموعه هایی متقاطع یا همپوشانی هستند.

نمونه هایی برای نشان دادن جدایی مجموعه ها با استفاده از نمودار ون:

1.

اگر A = {1، 2، 3، 4، 5، 6}، B = {7، 9، 11، 13، 15} و C = {6، 8، 10، 12، 14}، A و B جدا نیستند. مجموعه ها از آنجایی که هیچ عنصر مشترکی ندارند در حالی که A و C مجموعه های متقاطع هستند زیرا 6 عنصر مشترک در هر دو است.

2. (i) اجازه دهید M = مجموعه ای از دانش آموزان کلاس VII

و N = مجموعه ای از دانش آموزان کلاس هشتم

از آنجایی که هیچ دانش آموزی نمی تواند در هر دو کلاس مشترک باشد. بنابراین مجموعه M و مجموعه N جدا هستند.

(ii)  X = {p، q، r، s} و Y = {1، 2، 3، 4، 5}

واضح است که مجموعه X و مجموعه Y هیچ عنصر مشترکی برای هر دو ندارند. بنابراین مجموعه X و مجموعه Y مجموعه‌های جدا هستند.

3.

A = {a، b، c، d} و B = {یکشنبه، دوشنبه، سه شنبه، پنج شنبه} از هم جدا هستند زیرا هیچ عنصر مشترکی ندارند.

4.

P = {1، 3، 5، 7، 11، 13} و Q = {ژانویه، فوریه، مارس} از هم جداسازی ه هستند زیرا هیچ عنصر مشترکی ندارند.

توجه داشته باشید:

1. محل تلاقی دو مجموعه مجزا همیشه مجموعه خالی است.

2. در هر نمودار ون ∪ مجموعه جهانی و A، B و C زیر مجموعه های ∪ هستند.

​

جزییات از نمودار ون برای استفاده از احتمالات چند رویداد مفید است. در شماره 1 زیر استفاده از بررسی و تعیین احتمالات رویدادهای فردی، رویدادها و تعریف یک رویداد را می کنیم. در شماره 3  به بررسی احتمال شرطی و نحوه استفاده از نمودار ون برای حل این مسائل و همچنین فرمول شرطی تصمیم پرداخت.

بیایید از نمودار ون زیر برای یافتن احتمالات زیر استفاده کنیم.

توجه داشته باشید که مجموع تمام اسناد در نمودار است 0.4+0.3+0.2+0.1=1. این تصویر کل فضای نمونه را برای دو رویداد نشان می دهد،A و B.

1. P(A)

برای پیدا کردن P(A)، ما فقط احتمال آن را اضافه می کنیم A به این احتمال رخ می دهد که A و B رخ می دهد برای گرفتن 0.4+0.3=0.7. بنابراینP(A)=0.7.

2. P(B)

به همین ترتیب، P(B)=0.2+0.3=0.5.

3. P(A∩B)

اکنون، P(A∩B) مقدار در ناحیه همپوشانی 0.3 است.

P(A∪B)

P(A∪B)=0.4+0.3+0.2=0.9. که با استفاده از فرمول نیز قابل یافتن استP(A)+P(B)−P(A∩B)=0.7+0.5−0.3=0.9.

P(A′∩B′)

P(A′∩B′) با یافتن خارج از محل که در باید همه چیز از آن مشخص شود A با همه چیز خارج از آن همپوشانی دارد B. این منطقه خارج از هر دویره خواهد بود و احتمال آن 0.1 است. راه دیگری برای فکر کردن به این استP(A∪B)′، یا 1−P(A∪B).

قانون دی مورگان

چند نماد مجموعه معادل در مورد احتمالات وجود دارد و آنها را قوانین دی مورگان می نامند.

(A∩B)′=(A′∪B′) برای مجموعه یا P(A∩B)′=P(A′∪B′) برای احتمالات

و

(A∪B)′=(A′∩B′) برای مجموعه یا P(A∪B)′=P(A′∩B′) برای احتمالات

حال بیایید مشکلات زیر را حل کنیم.

1. داده شده است P(A)=0.6، P(B)=0.3 و P(A∪B)=0.7، پیدا کردن P(A∩B) و P(A′∪B′).

ابتدا مجموعه ای از فرمول اتحاد دو برای تعیین تقاطع استفاده کنیم.

P(A)+P(B)−P(A∩B)0.6+0.3−P(A∩B)0.9−0.70.2=P(A∪B)=0.7=P(A∩B)=P(A∩B)

اکنون می از قانون دی مورگان برای پیدا کردن استفاده کنیم P(A′∪B′).

P(A′∪B′)=P(A∩B)′=1−P(A∪B)=1−0.2=0.8.

ما همچنین می توانیم یک نقشه را برای احتمالات ایجاد کنیم و تفسیر کنیم P(A′∪B′) و مناطق خارج از کشور A اتحاد با مناطق خارج B که همه چیز در نظر خواهد بود به همپوشانی دو منطقه یا P(A∩B).

2. داده‌های یک نظرسنجی از 140 دانش‌آموز نشان داد که 37 نفر موسیقی مطالعه می‌کنند، 103 نفر ورزش می‌کنند و 25 نفر هیچ کدام را انجام نمی‌دهند. یک نمودار ون ایجاد کنید تا داده های جمع آوری شده را نشان دهد و سپس این احتمال را تعیین کنید که اگر دانش آموزی به طور تصادفی انتخاب شود،

1. او موسیقی خواهد خواند
2. او با توجه به اینکه یک ورزش انجام می دهد، موسیقی را مطالعه می کند.

اجازه دهید M نشان دهنده مجموعه دانش آموزانی است که موسیقی می خوانند و Sنشان دهنده مجموعه دانش آموزانی است که ورزش می کنند. ابتدا تعداد دانش‌آموزانی که موسیقی مطالعه می‌کنند و ورزش می‌کنند را مشخص می‌کنیم تا ناحیه همپوشانی در نمودار را پر کنیم و سپس می‌توانیم مقادیر دیگر را پیدا کنیم.

n(M)+n(S)−n(M∩S)37+103−n(M∩S)n(M∩S)=n(M∪S)=115=25

1. احتمال اینکه یک دانش آموز به طور تصادفی انتخاب شده موسیقی را مطالعه کند، تعداد دانش آموزانی است که موسیقی مطالعه می کنند تقسیم بر تعداد کل دانش آموزان مورد بررسی یا P(M)=n(M)140=37140≈0.264.
2. احتمال اینکه دانش آموزی که به طور تصادفی انتخاب می شود با توجه به اینکه یک ورزش را انجام می دهد، موسیقی مطالعه کند، احتمال شرطی نامیده می شود. ما از علامت گذاری استفاده می کنیمP(M|S) به نمایندگی از P(M) با توجه به اینکه Sقبلا رخ داده است. برای یافتن این احتمال با استفاده از نمودار ون، تعداد دانش‌آموزانی که موسیقی مطالعه می‌کنند و یک ورزش را انجام می‌دهند را پیدا می‌کنیم و بر تعداد دانش‌آموزانی که ورزش می‌کنند یا تقسیم می‌کنیم.P(M|S)=n(M∩S)n(S)=25103≈0.243. این طور فکر کنید، وقتی می گوییم می دانیم که دانش آموز یک ورزش را انجام می دهد، پس شمارش به دانش آموزانی محدود می شود که موسیقی می خوانند و یک ورزش انجام می دهند و مخرج محدود به کسانی است که ورزش می کنند.

همچنین یک فرمول برای احتمال شرطی وجود دارد: P(A|B)=P(A∩B)P(B)

در زمینه مشکل ما این است: P(M|S)=P(M∩S)P(S)=25140103140=25140⋅140103=25103.

توجه داشته باشید که احتمال به دست آمده همان است که قبلا تعیین شده است. از هر دو روش می توان استفاده کرد.

مثال ها

مثال 1

پیش از این، از شما خواسته شد که  این احتمال را پیدا کنید که یکی از آن مشتریانی که به طور تصادفی انتخاب شده اند، آب نبات پنبه دندی را بخواهند. 

نمودار ون برای این وضعیت 12 را نشان می دهد، تعداد مشتریانی که هر دو طعم را دوست دارند، به عنوان تقاطع. بنابراین تعداد مشتریانی که فقط طعم Pumpernickel را دوست دارند، خواهد بود32−12=20 در حالی که تعداد مشتریانی که فقط طعم آب نبات پنبه را دوست دارند، خواهد بود 58−12=46. از آنجایی که 21 مشتری وجود دارد که هیچ طعمی را دوست ندارند، تعداد کل مشتریان مورد نظرسنجی است12+20+46+22=100 و این احتمال وجود دارد که یکی از آن مشتریانی که به طور تصادفی انتخاب شده است طعم آب نبات پنبه را بپسندد 58100=58%.

مثال 2

در کلاسی متشکل از 260 نفر از سالمندان، 93 نفر اسپانیایی، 95 نفر شیمی، 165 نفر ریاضی، 18 نفر اسپانیایی و شیمی، 75 نفر شیمی و ریاضی، 20 نفر ریاضی و اسپانیایی و 15 نفر در هر سه موضوع مطالعه می‌کنند. یک نمودار ون برای نشان دادن داده ها بسازید و سپس احتمال انتخاب دانش آموز در مطالعات تصادفی را بیابید:

فقط اسپانیایی

P(S∩M′∩C′)=70260=726≈0.269

ریاضی و شیمی اما اسپانیایی نه

P(M∩C∩S′)=60260=313≈0.231

 هیچ کدام از این موضوعات

P(M′∩C′∩S′)=5260=152≈0.0192

اسپانیایی، با توجه به اینکه او ریاضی می خواند

P(S|M)=P(S∩M)P(M)=20260165260=433≈0.121

مثال 3

داده شده P(A∩B)=0.4، P(A∩B′)=0.2 و P(A′∩B′)=0.3، پیدا کردن P(B) و P(A|B).

اطلاعات نمودار ون را به ما می دهد:

مقدار گمشده، P(B∩A′)، باید 0.1 باشد تا مجموع احتمالات موجود در فضای نمونه برابر 1. بنابراین، P(B)=0.5. P(A|B)=P(A∩B)P(B)=0.40.5=45=0.8.

مرور

برای سؤالات 1-3، احتمالات نشان داده شده را پیدا کنید P(A)=0.5، P(B)=0.65 و P(A∪B)=0.75.

1. P(A∩B)
2. P(A′∩B′)
3. P(B|A)

برای سؤالات 4-6، احتمالات داده شده را پیدا کنید P(A)=0.6، P(B)=0.8 و P(A∪B)′=0.2.

4. P(A∩B′)
5. P(B|A)
6. P(A|B)

برای سؤالات 7-9، احتمالات داده شده را پیدا کنید P(A∩B′)=0.3، P(B∩A′)=0.2 و P(A∪B)=0.8.

7. P(A∩B)
8. P(A)
9. P(B|A)
10. داده شده P(A)=2P(B)، P(A∪B)=0.8 و P(A∩B)=0.1، پیدا کردن P(A).
11. باشگاه بین المللی در یک مدرسه دارای 105 عضو است که بسیاری از آنها به چندین زبان صحبت می کنند. رایج ترین زبان های این باشگاه انگلیسی، اسپانیایی و چینی است. از نمودار ون زیر برای تعیین احتمال انتخاب دانش آموزی استفاده کنید که:
    1. انگلیسی صحبت نمی کند
    2. با توجه به اینکه انگلیسی صحبت می کند اسپانیایی صحبت می کند.
    3. با توجه به اینکه چینی صحبت می کند انگلیسی صحبت می کند.
    4. اسپانیایی و انگلیسی صحبت می کند اما چینی را نه.

پاسخ برای  مشکلات بررسی