دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی  

متوجه شدم. شما درخواست طرح مسائلی پیرامون احتمال شرطی (Problems concerning Conditional Probability) را دارید. 🧠

در اینجا سه مسئله با سطوح دشواری متفاوت (مقدماتی، متوسط، و پیشرفته) در حوزه احتمال شرطی ارائه شده است.

۱. مسئلهٔ مقدماتی: آزمایش پزشکی (تشخیص بیماری)

صورت مسئله

فرض کنید یک بیماری خاص در ۱ درصد (P(B)=0.01) از جامعه وجود دارد. یک آزمایش پزشکی برای تشخیص این بیماری طراحی شده است که دارای ویژگی‌های زیر است:

• حساسیت (Sensitivity): اگر فرد بیمار باشد، آزمایش در ۹۵% موارد نتیجه مثبت می‌دهد. (P(+∣B)=0.95).

• اختصاصیت (Specificity): اگر فرد سالم باشد، آزمایش در ۹۰% موارد نتیجه منفی می‌دهد. (P(−∣B′)=0.90).

اگر نتیجهٔ آزمایش فردی مثبت (+) باشد، احتمال اینکه او واقعاً به بیماری مبتلا باشد چقدر است؟ (یعنی P(B∣+) را بیابید).

حل (با استفاده از قضیهٔ بیز)

1. احتمالات اولیه:

   • P(B)=0.01 (احتمال بیماری)

   • P(B′)=1−0.01=0.99 (احتمال سلامت)

2. احتمالات شرطی و خطای نوع اول:

   • P(+∣B)=0.95 (آزمایش مثبت در صورت بیماری)

   • P(+∣B′)=1−P(−∣B′)=1−0.90=0.10 (آزمایش مثبت کاذب، یعنی فرد سالم است اما نتیجه مثبت)

3. احتمال کل وقوع (+):

   P(+)=P(+∣B)P(B)+P(+∣B′)P(B′)

   P(+)=(0.95)(0.01)+(0.10)(0.99)

   P(+)=0.0095+0.099=0.1085

4. احتمال شرطی مورد نیاز (قضیهٔ بیز):

   P(B∣+)=P(+)P(+∣B)P(B)​

   P(B∣+)=0.10850.0095​≈0.0875

پاسخ: احتمال اینکه فرد واقعاً بیمار باشد، با وجود نتیجه مثبت، تنها حدود ۸.۷۵% است. (این مثال اهمیت شیوع اولیه (Base Rate) را در احتمال شرطی نشان می‌دهد).

۲. مسئلهٔ متوسط: پرتاب تاس و سکه (ترکیب پیشامدها)

صورت مسئله

شما یک تاس شش‌وجهی (Dice) و یک سکه (Coin) در اختیار دارید. مراحل زیر را دنبال می‌کنید:

1. تاس را پرتاب می‌کنید.

2. اگر نتیجهٔ تاس عددی زوج باشد، سکه را یک بار پرتاب می‌کنید.

3. اگر نتیجهٔ تاس عددی فرد باشد، سکه را دو بار پرتاب می‌کنید.

اگر در نهایت دقیقاً یک شیر (H) مشاهده کرده باشیم، احتمال اینکه پرتاب تاس عدد ۴ بوده باشد چقدر است؟

حل

1. تعریف پیشامدها:

   • E: پیشامد اینکه تاس عدد زوج باشد (۲، ۴، ۶). P(E)=3/6=1/2.

   • O: پیشامد اینکه تاس عدد فرد باشد (۱، ۳، ۵). P(O)=3/6=1/2.

   • A: پیشامد مشاهدهٔ دقیقاً یک شیر.

2. محاسبهٔ احتمال پیشامد A به شرط E و O:

   • P(A∣E): اگر تاس زوج باشد، سکه یک بار پرتاب می‌شود. احتمال H یا T بودن هرکدام 1/2 است.

     P(A∣E)=P(دقیقاً یک شیر در یک پرتاب)=1/2

   • P(A∣O): اگر تاس فرد باشد، سکه دو بار پرتاب می‌شود. فضای نمونه (HH,HT,TH,TT) و پیشامد {HT,TH} است.

     P(A∣O)=P(دقیقاً یک شیر در دو پرتاب)=2/4=1/2

3. محاسبهٔ احتمال کل پیشامد A:

   P(A)=P(A∣E)P(E)+P(A∣O)P(O)

   P(A)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)=1/4+1/4=1/2

4. احتمال شرطی مورد نیاز: ما P(تاس=4∣A) را می‌خواهیم. توجه کنید که (تاس=4) زیرمجموعه‌ای از E است.

   P(تاس=4∣A)=P(A)P(A∩(تاس=4))​

   P(A∩(تاس=4))=P(A∣تاس=4)×P(تاس=4)

   • P(تاس=4)=1/6

   • P(A∣تاس=4)=P(دقیقاً یک شیر در یک پرتاب)=1/2

   P(A∩(تاس=4))=(1/2)(1/6)=1/12

   P(تاس=4∣A)=1/21/12​=1/6

پاسخ: احتمال اینکه پرتاب تاس عدد ۴ بوده باشد، در صورت مشاهدهٔ دقیقاً یک شیر، ۱/۶ است.

۳. مسئلهٔ پیشرفته: خانواده و جنسیت فرزندان (پارادوکس شرطی)

صورت مسئله (مسئلهٔ پسر بزرگ‌تر)

فرض کنید می‌دانیم یک خانواده دو فرزند دارد. اگر می‌دانیم یکی از فرزندان حتماً پسر است، احتمال اینکه هر دو فرزند پسر باشند چقدر است؟ (فرض کنید P(پسر)=P(دختر)=1/2

و جنسیت فرزندان مستقل است).

حل

1. فضای نمونهٔ اولیه: فضای نمونه برای دو فرزند:

   S={(B,B),(B,G),(G,B),(G,G)}

   که B نشان‌دهندهٔ پسر و G نشان‌دهندهٔ دختر است. (به ترتیب فرزند اول و دوم).

2. تعریف پیشامدها:

   • A: پیشامد اینکه هر دو فرزند پسر باشند: A={(B,B)}.

   • E: پیشامد اینکه حداقل یکی از فرزندان پسر باشد: E={(B,B),(B,G),(G,B)}.

3. محاسبهٔ احتمال پیشامدها:

   • P(A)=1/4

   • P(E)=3/4

4. محاسبهٔ احتمال اشتراک:

   A∩E=A={(B,B)}

   P(A∩E)=P(A)=1/4

5. محاسبهٔ احتمال شرطی:

   P(A∣E)=P(E)P(A∩E)​=3/41/4​=1/3

پاسخ: احتمال اینکه هر دو فرزند پسر باشند، به شرط اینکه حداقل یکی از آن‌ها پسر باشد، ۱/۳ است.

توضیح نکتهٔ مهم (پارادوکس):

اگر سؤال این بود که "خانواده‌ای دو فرزند دارد و فرزند بزرگ‌تر پسر است"، پاسخ ۱/۲ می‌شد.

• در آن حالت، فضای نمونهٔ شرطی جدید E′ فقط {(B,B),(B,G)} می‌شد و P(A∣E′)=(1/4)/(2/4)=1/2 بود.

اما در این مسئله، اطلاعات فقط این است که "یکی" پسر است، و مشخص نمی‌کند که کدام فرزند (اول یا دوم). این تفاوت ظریف در تعریف پیشامد شرطی، پاسخ را از 1/2 به 1/3 تغییر می‌دهد و یکی از مثال‌های کلاسیک برای نشان دادن اهمیت تعریف دقیق پیشامد در احتمال شرطی است.