📐 گره‌گشایی از یک سوال پرکاربرد: تالس و نسبت مساحت‌ها در هندسه (۱)
به نام نگارنده‌ی نظم و صورت. در هندسه پایه دهم، پیوند میان قضیه تالس و مساحت شکل‌های متشابه همواره از پرسش‌های کلیدی و ترازساز آزمون‌هاست. در این یادداشت، نمونه‌سوالی استاندارد را گام‌به‌گام و با بیانی دقیق کالبدشکافی می‌کنیم.
📌 صورت مسئله:
در مثلث ABC، خط DE به موازات قاعده BC رسم شده است به‌گونه‌ای که نقطه D روی ضلع AB و نقطه E روی ضلع AC قرار دارد (DE || BC).
اگر اندازه‌ها بدین قرار باشند:
AD = 2 | DB = x + 1 | AE = 3 | EC = 2x
الف) مقدار عددی مجهول x را محاسبه کنید.
ب) نسبت مساحت مثلث کوچک‌تر (ADE) به مساحت ذوزنقه حاصل (DBCE) را بیابید.
🔍 مراحل گام‌به‌گام حل تشریحی
گام نخست: استفاده از قضیه تالس جزء‌به‌جزء
چون پاره‌خط DE با ضلع BC موازی است، نسبت قطعات روی دو ساق برابرند:
| AD |
| DB |
=
| AE |
| EC |
⟹
| 2 |
| x + 1 |
=
| 3 |
| 2x |
با طرفین و وسطین کردن تساوی جبری به دست می‌آوریم:
2 × (2x) = 3 × (x + 1)
4x = 3x + 3 ⟹ x = 3
گام دوم: به‌دست آوردن نسبت تشابه (k)
با قرار دادن مقدار x = 3 اندازه ضلع مثلث بزرگ معلوم می‌شود:
DB = 3 + 1 = 4
AB = AD + DB = 2 + 4 = 6
نسبت تشابه دو مثلث ADE و ABC عبارت است از:
k =
| AD |
| AB |
=
| 2 |
| 6 |
=
| 1 |
| 3 |
گام سوم: محاسبه نسبت مساحت‌ها
طبق قاعده بنیادین تشابه، نسبت مساحت‌های دو مثلث متشابه برابر با مجذور نسبت تشابه است:
| S(ADE) |
| S(ABC) |
= k2 =
(
| 1 |
| 3 |
)2 =
| 1 |
| 9 |
پس اگر مساحت مثلث بالا را S بنامیم، مساحت کل مثلث بزرگ 9S خواهد بود. در نتیجه مساحت ذوزنقه باقی‌مانده برابر است با:
S(ذوزنقه DBCE) = 9S - S = 8S
سرانجام نسبت مساحت مثلث به ذوزنقه بدین صورت به دست می‌آید:
| S(ADE) |
| S(DBCE) |
=
| S |
| 8S |
=
| 1 |
| 8 |
💡 نکته مهم: خطای رایج داوطلبان این است که نسبت تشابه را مستقیماً به جای نسبت مساحت می‌گذارند؛ همواره به یاد بسپارید که مساحت از جنس بعد دوم و نیازمند به توان دو رسیدن است.
🏷 برچسب‌ها: هندسه دهم، قضیه تالس، نسبت مساحت‌ها، نمونه سوال امتحانی هندسه ۱، آموزش گام به گام ریاضی
در این وبلاگ شما با ریاضی در سطوح مختلف آشنا خواهید شد.