دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

در انتظار مهدي 2

۱۳۹۲/۰۴/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

سجده كردند فرشته گان برآدم در انتظار مهدي

از بهشت برون شد آدم و حوا در انتظار مهدي

سالها بساخت نوح كشتي در انتظار مهدي

به ميان آتش پا نهاد ابراهيم در انتظار مهدي

اسماعيل به مذبح برد ابراهيم در انتظار مهدي

يوسف به جاه فرستاد يعقوب در انتظار مهدي

نيل را شكافت موسي در انتظار مهدي

بسوي صليب روانه شد مسيح در انتظار مهدي

علي به جاه گذاشت محمد در انتظار مهدي

اصغر به تيغ جفا سپرد حسين در انتظار مهدي

جهان روانه کرد خدا در انتظار مهدي

انتظار مهدی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

انتطار یعنی سوختن شمع

انتطار یعنی پروانه ی در آتش

انتطار یعنی نماز مدام

انتطار یعنی نشستن مقابل شاهد

انتظار یعنی از آتش نمرود یان رسیدن به گلستان توحید

انتظار یعنی موسی در جنگ با فرعون

انتطار یعنی دیدن عیسی میان در و دشت

انتظار یعنی شمشیر علی در بدر، دراحد، در خیبر

انتطار یعنی علی خاموش در خانه

انتظار یعنی علی در جنگ با زر و زوروتزویر

انتظار یعنی صلح حسن

انتظار یعنی عباس

انتظار یعنی تیغ بر گلوی اصغر

انتظار یعنی خنجرشمربر گلوی حسین

انتظار یعنی آرمان محمد

در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که به‌وسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

جمله عمومی دنباله

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله‌ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند.

جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که به‌وسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت {۲n} است که همانند ضابطه تابع به‌وسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام دنباله را بدست آورد.

البته لازم به ذکر است جمله عمومی همه دنباله‌ها را نمی‌توان تعیین کرد.

به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده‌است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه‌ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت. حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می‌توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟

پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

$\{t_n\}=\{3,5,7,... \}$

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم. با مشاهدهٔ جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگ‌تر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

$\{t_n\}=\{2n+1\}$

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند و جمله چهارم این دنباله عددی چون ۹ نباشد!

چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

$\{a_n\}=\{(n-1)(n-2)(n-3)+2n+1\}$

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

$\{a_n\}=\{3,5,7,15,... \}$

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله {t_n} است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی‌کند.

پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده‌ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی

$\{t_n\}=\{2n+1\}$

برای این دنباله و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

دنباله اعداد زوج طبیعی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb{N}_e=\{2,4,6,8,... ,2n,... \}$

اولین عضو این مجموعه عدد ۲ است و n امین عضو آن ۲n است.

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,... ,n,... \}$

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که هر عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.

به عبارت دقیقتر می‌توان تابع $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}_e$ را با ضابطه $\forall n\in \mathbb{N}:f(n)=2n$ تعریف کرد. اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

$f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),... ,(n,2n),... \}$

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، و هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند.

دنباله‌ای حقیقی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

دنباله {f_n} را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد.

به عنوان مثال دنباله

$\{a_n\}=\{\frac{n+3}{2n-1}\}$

دنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله‌ای حقیقی است.

نمودار دنباله

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را به‌وسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم.

به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

به‌وسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم.

به‌وسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم.

دنباله یکنوا

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

دنباله {a_n} را:

صعودی (نا نزولی) می‌گوییم هرگاه

$a_1\le a_2\le a_3\le...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\ge a_n$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند صعودی بودن دنباله را می‌توان با شرط زیر بیان کرد:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1$

نزولی(ناصعودی) گوییم هرگاه

$a_1\ge a_2\ge a_3\ge...$

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}\le a_n$

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند نزولی بودن دنباله را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1$

دنباله صعودی یا نزولی را یکنوا می‌گوییم.

همچنین دنباله {a_n} را اکیداً صعودی می‌گوییم هرگاه برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

$a_{n+1}>a_n$

و دنباله را اکیداً نزولی می‌گوییم هرگاه

$a_{n+1}<a_{n}$

یک دنباله را اکیداً یکنوا می‌گوییم هرگاه اکیداً صعودی یا نزولی باشد.

بردار ویژه

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

مسأله اول در مورد فضاهای برداری با بعد متناهی است. ماتریس مربعی $A \!$ را در نظر می‌گیریم. بردار غیر صفر $x \!$ را بردار ویژه $A \!$ ، و اسکالر $\lambda \!$ رامقدار ویژه نظیر آن بردار می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر اقناع شود:

$A x = \lambda x\!$

در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: بردار ویژه $x \!$ و مقدار ویژه $\lambda \!$ . پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.

مثال:

ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

معادله ماتریسی بالا خواهد شد:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$

ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$ را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:

$\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} = 0$

در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب $\lambda$ در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:

$\begin{bmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 2 & 1 - \lambda \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix} = 0$

معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:

$a y = 0 \!$

که در اینجا $a \!$ عددی ثابت است. متغیر مجهول $y \!$ ، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:

$a = 0 \!$

که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.

برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم. یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{bmatrix}$ لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس $A \!$ می‌انجامد. پس، داریم:

$\det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2\\2 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1 - \lambda)^2 - 4 = 0.$

با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:

$\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1 \!$

سری فیبوناچی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود:

$F(n):= \begin{cases} 0 & \mbox{if } n = 0; \\ 1 & \mbox{if } n = 1; \\ F(n-1)+F(n-2) & \mbox{if } n> 1. \\ \end{cases}$

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از تصاعد حسابی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:

$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)$ $S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.$

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

$\ 2S_n=n(a_1+a_n).$

در نتیجه:

$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}.$

برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

$S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.$

فرمول اولر (Euler's formula)

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

فرمول اولر (Euler's formula)، منتسب به لئونارد اولر، اتحادی است در آنالیز مختلط که رابطهٔ مابین تابع نمایی مختلط و توابع مثلثاتی را به صورت زیر بیان می‌دارد:

$e^{ix} = \cos x + i\sin x \!$

که در اینجا $e \!$ پایه لگاریتم طبیعی، $i = \sqrt{-1} \!$ واحد موهومی، و متغیر $x \!$ عددی دلخواه وحقیقی بر حسب واحد رادیان است.

تصاعد حسابی

۱۳۹۲/۰۴/۰۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

در ریاضیات تصاعد حسابی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلا $d$ باشد. به عدد ثابت $d$ قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک تصاعد حسابی $a_1$ و قدر نسبت آن $d$ باشد آنگاه جملهٔ $i$ ام این تصاعد برابر خواهد بود با

$a_i=a_1+(i-1)d$ .

در حالت کلی رابطهٔ تصاعد حسابی برای جمله‌های $n$ ام و $m$ ام خواهد بود:

$a_n=a_m+(n-m)d$

مقدار $d$ می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن تصاعد به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن $d$ تصاعد به سوی منفی بینهایت می‌رود.