فرض می‌کنیم ‎f(x)‎ تابعی حقیقی باشد. آن‌گاه f، زوج است اگر رابطهٔ زیر برای تمام xهای در دامنهٔ f برقرار باشد:

‎

به طور هندسی، یک تابع زوج، نسبت به محور yها قرینه است، که معنی آن این است که با بازتاباندن هر قسمتی از تابع نسبت به محور yها، تابع بدون تغییر بماند.

فرض می‌کنیم ‎f(x)‎ تابعی حقیقی باشد. آن‌گاه f، فرد است اگر رابطهٔ زیر برای تمام xهای در دامنهٔ f برقرار باشد:

 -f(x)=f(-x).

فرض می‌کنیم ‎f(x)‎ تابعی حقیقی باشد. آن‌گاه f، زوج است اگر رابطهٔ زیر برای تمام xهای در دامنهٔ f برقرار باشد:

‎

نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس مانند در 0

یا

1. بگذارید y = f ( x ) = x ^1/3 .
    آ.   یک گراف از F با استفاده از تکنولوژی های نموداری.
    ب   براساس نمودار ، f در هر دو حالت پیوسته و مشتق پذیر است ؟ ج براساس نمودار ، f کجاست اما فاقد مشتق پذیر است ؟
     

راه حل

آ.

ب   بر اساس نمودار ، f هم در همه جا پیوسته و مشتق پذیر است به جز در x = 0.

ج   براساس نمودار ، f در حالت x = 0 مشتق پذیر ندارد .

2.  بگذارید f با 

f ( x ) = | x 2 + 2 x - 3 | 

تعریف شود . آ. نشان دهید که f در همه جا پیوسته است. ب با استفاده از تعریف مشتق نشان دهید که f در همه جا به جز x = - 3 و x = 1 مشتق پذیر است .
      
      

راه حل

آ.   ما  داریم  | (f ( x ) = | ( x + 3 ) ( x - 1  . در جدول زیر علائم ( x + 3 ) ( x - 1 ) نشان داده شده است .

    بنابراین ما:

    به طور مشابه ، f نیز در x = 1. پیوسته است. به این ترتیب که f در همه جا پیوسته است.

     مورد که در آن x <- 3 یا x > 1. ما داریم:  

     در مورد بازه   (1و 3-).  ما داریم:

     بنابراین f دربازه (1و 3-) مشتق پذیر است.

     مورد که در آن x = - 3. ما داریم:  

     و بنابراین

 f ' (- 3)

وجود ندارد. در نتیجه ، f در x = - 3 مشتق پذیرنیست.

     مورد از کجا x = 1 .   به طور مشابه ، f در x = 1 مشتق پذیر نیست.

     به طور خلاصه ، f در همه جا به جز x = - 3 و x = 1 مشتق پذیر است.