مشتقات بالاتر یا فرمول فا دی برونو

۱۴۰۰/۰۹/۰۷ - - علی رضا نقش نیلچی -

فرمول فا دی برونو قانون زنجیره را به مشتقات بالاتر تعمیم می دهد. با فرض اینکه y = f ( u ) و u = g ( x ) ، پس چند مشتق اول عبارتند از:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\\[4pt]{\frac { d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left({\frac {du}{dx}}\ راست)^{2}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\\[4pt]{\frac {d^{3} y}{dx^{3}}}&={\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{3 }+3\,{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}{\frac {du}{dx}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2 }}}+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\\[4pt]{\frac {d^{4}y}{ dx^{4}}}&={\frac {d^{4}y}{du^{4}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{4}+6 \,{\frac {d^{3}y}{du^{3}}}\left({\frac {du}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2} u}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{du^{2}}}\left(4\,{\frac {du}{dx}}{\frac { d^{3}u}{dx^{3}}}+3\,\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)^{2}\right )+{\frac {dy}{du}}{\frac {d^{4}u}{dx^{4}}}.\end{تراز شده}}$

مشتق توابع معکوس

۱۴۰۰/۰۹/۰۷ - - علی رضا نقش نیلچی -

فرض کنید که Y = g ( X ) است تابع معکوس . تابع معکوس آن را f بنامیم تا x = f ( y ) داشته باشیم . یک فرمولی برای مشتق f بر حسب مشتق g وجود دارد . برای مشاهده این موضوع، توجه داشته باشید که f و g فرمول را برآورده می کنند

$f(g(x)) = x.$

و چون توابع $f(g(x))$ و x مساوی هستند، مشتقات آنها باید برابر باشند. مشتق x تابع ثابت با مقدار 1 و مشتق از است $f(g(x))$ توسط قانون زنجیره تعیین می شود. بنابراین، ما داریم که:

$f'(g(x)) g'(x) = 1.$

برای بیان f' به عنوان تابعی از متغیر مستقل y ، جایگزین می کنیم $f(y)$ برای x هر کجا ظاهر شود. سپس می توانیم برای f را حل کنیم .

${\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\[5pt]f'(y)g'(f(y))& =1\\[5pt]f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}.\end{تراز شده}}$

قانون مشتق گیری از قانون زنجیری ترکیب از سه تابع

۱۴۰۰/۰۹/۰۷ - - علی رضا نقش نیلچی -

قانون زنجیره بیان می کند که مشتق ترکیب آنها در نقطه x = a است:

${\begin{تراز شده}(f\circ g\circ h)'(a)&=f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\ \[10pt]&=f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)=(f'\circ g\circ h)(a) \cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a).\end{تراز شده}}$