فهرست سری‌های ریاضی

صفحه اصلی ایمیل آرشیو وبلاگ عناوین نوشته ها ☰

فهرست سری‌های ریاضی

۱۳۹۹/۱۰/۱۵ - - علی رضا نقش نیلچی -

$\sum _{m=1}^{n}m={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{n}m^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{n}m^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left(\sum _{m=1}^{n}m\right)^{2}\,\!$
$\sum _{m=1}^{n}m^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {6n^{5}+15n^{4}+10n^{3}-n}{30}}\,\!$
$\sum _{m=0}^{n}m^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!$

که $B_{k}\,$ عدد برنولی $k\,$ -اُم، و $B_{1}\,$ عددی منفی است.

$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,\!$
$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$
$\sum _{m=1}^{\infty }m^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!$

$\zeta (s)\,$ تابع زتای ریمان است.

سری‌های توانی

برای حالت‌های نامتناهی: $|x|<1$

$\sum _{m=0}^{\infty }x^{m}={\frac {1}{1-x}}\,\!$

$\sum _{m=0}^{n}x^{m}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)$ که $r>0$ و $x={\frac {1}{1+r}}.\,\!$

$\sum _{m=0}^{\infty }x^{2m}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }mx^{m}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{n}mx^{m}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{2}x^{m}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{n}m^{2}x^{m}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{3}x^{m}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!$

$\sum _{m=1}^{\infty }m^{4}x^{m}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!$

مشخصات وب

در این وبلاگ شما با ریاضی در سطوح مختلف آشنا خواهید شد.

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

پربازدیدترین مطالب

B L O G F A . C O M