سری‌های کسری فاکتوریلی

۱۳۹۹/۱۰/۱۵ - - علی رضا نقش نیلچی -

بسیاری از سری‌های توانی که از بسط تیلور به دست می‌آیند، ضریب‌های فاکتوریلی دارند.

$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{m!}}=e^{x}$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!}}x^{m}={\frac {1}{e^{x}}}$
$\sum _{m=0}^{\infty }m{\frac {x^{m}}{m!}}=xe^{x}$ (توزیع پواسون)
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{2}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+x^{2})e^{x}$ (مشتق دوم توزیع پواسون)
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{3}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}$
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{4}{\frac {x^{m}}{m!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}$
$\sum _{m=0}^{\infty }m^{n}{\frac {x^{m}}{m!}}=x{\frac {d}{dx}}\sum _{m=0}^{\infty }m^{n-1}{\frac {x^{m}}{m!}}$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m+1)!}}x^{2m+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{(2m)!}}x^{2m}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m+1}}{(2m+1)!}}=\sinh x$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {x^{2m}}{(2m)!}}=\cosh x$

$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}(2m)!}{4^{m}(m!)^{2}(2m+1)}}x^{2m+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!$
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(4m)!}{16^{m}{\sqrt {2}}(2m)!(2m+1)!}}x^{m}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-x}}}{x}}}$ [۱]
$\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {4^{m}(m)!^{2}}{(m+1)(2m+1)!}}x^{2m}=\left({\frac {\arcsin {x}}{x}}\right)^{2}$ [۱]

دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی