مثالی کاربردی از استقرا

۱۴۰۰/۰۹/۰۷ - - علی رضا نقش نیلچی -

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}$

وقتی n یک عدد صحیح مثبت باشد (این قانون حتی اگر n مثبت نباشد یا یک عدد صحیح نباشد درست است، اما اثبات آن باید بر روش‌های دیگر تکیه کند). اثبات با استقرای ریاضی بر توان n است . اگر n = 0 باشد، x n ثابت است و nx n - 1 = 0. این قانون در آن حالت صادق است زیرا مشتق یک تابع ثابت 0 است. اگر این قانون برای هر توانگر خاص n برقرار است ، برای مقدار بعدی، n + 1، ما داریم

${\begin{aligned}{d \over dx}x^{n+1}&{}={d \over dx}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[12pt]&{ }=x{d \over dx}x^{n}+x^{n}{d \over dx}x\qquad {\mbox{(قانون محصول در اینجا استفاده می‌شود)}}\\[12pt]&{ }=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1\qquad {\mbox{(فرضیه استقرا در اینجا استفاده می شود)}}\\[12pt]&{}= (n+1)x^{n}.\end{تراز شده}}$

بنابراین، اگر گزاره برای n صادق باشد، برای n + 1 نیز صادق است و بنابراین برای همه n طبیعی نیز صادق است .

دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن