اثبات حجم و مساحت استوانه قائم

صفحه اصلی ایمیل آرشیو وبلاگ عناوین نوشته ها ☰

اثبات حجم و مساحت استوانه قائم

۱۴۰۲/۱۰/۱۲ - - علی رضا نقش نیلچی -

$V=\pi r^{2}h$

و سطح آن عبارت است از:

مساحت بالا ( $\pi r^{2}$ )+
مساحت پایین ( $\pi r^{2}$ )+
مساحت جانبی ( $2\pi rh$ ).

بنابراین، بدون بالا یا پایین (ناحیه جانبی)، مساحت سطح عبارت است از:

$A=2\pi rh$ .

با بالا و پایین، مساحت سطح برابر است با:

$A=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h)$ .

برای حجم معین، استوانه ای با کمترین مساحت سطح دارد $h=2r$ . برای یک سطح معین، استوانه ای با بیشترین حجم دارد $h=2r$ ، یعنی استوانه در یک مکعب قرار می گیرد (ارتفاع = قطر).

حجم

داشتن یک استوانه دایره ای راست با ارتفاع $h$ و شعاع قاعده $r$ با محورهای مختصاتی انتخاب شده اند که مبدأ در مرکز یک قاعده باشد و ارتفاع در امتداد محور x مثبت اندازه گیری شود. یک بخش فضادر فاصله $ایکس$ واحد از مبدا دارای مساحت $A(x)$ واحدهای مربع که در آن

$A(x)=\pi r^{2}$

یا

$A(y)=\pi r^{2}$

یک عنصر حجم، یک استوانه سمت قائم از سطح قاعده است $Aw^{i}$ واحد مربع و ضخامت $\Delta _{i}x$ واحدها بنابراین اگر V واحد مکعب حجم استوانه دایره ای راست باشد، با مجموع ریمان ،

$\mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x$

$=\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy$

$=\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

با استفاده از مختصات استوانه ای، حجم را می توان با انتگرال محاسبه کرد

$=\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz$

$=\pi \,r^{2}\,h\,$

مشخصات وب

در این وبلاگ شما با ریاضی در سطوح مختلف آشنا خواهید شد.

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

پربازدیدترین مطالب

B L O G F A . C O M