دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی  

مماس ، وتر و سکوت یک دایره

این تصور بصری که یک خط مماس "منحنی" را لمس می کند ، می تواند با در نظر گرفتن توالی خطوط مستقیم ( خطوط جداکننده ) که از دو نقطه A و B عبور می کند ، صریح تر شود ، آنهایی که بر روی منحنی تابع قرار دارند. مماس در A محدودیتی است که نقطه B تقریباً به A نزدیک یا تمایل پیدا می کند .وجود و منحصر به فرد بودن خط مماس ، بستگی به نوع خاصی از روان بودن ریاضی دارد ، که به آن "متفاوت بودن" معروف است. به عنوان مثال ، اگر دو قوس دایره ای در یک نقطه تیز (یک راس) قرار بگیرند ، هیچ مماس مشخص شده منحصر به فرد در راس وجود ندارد ، زیرا حد پیشرفت خطوط ترشح بستگی به جهتی دارد که در آن "نقطه B"به راس نزدیک می شود.

در بیشتر نقاط ، مماس بدون عبور از آن منحنی را لمس می کند (گرچه ممکن است در صورت ادامه ، از منحنی در سایر نقاط دور از نقطه مماس عبور کند). نقطه ای که مماس (در این مرحله) از منحنی عبور می کند ، نقطه عطف نامیده می شود . دایره ها ، پارابولا ها ، هایپربولاها و بیضی ها هیچ نقطه احتقایی ندارند ، اما منحنی های پیچیده تری مانند نمودار یک تابع مکعب ، که دقیقاً یک نقطه تورم دارد یا سینوسی وجود دارد که در هر دوره از آن دارای دو نقطه تورم است . سینوسی .

در مقابل ، ممکن است اتفاق بیفتد که منحنی کاملاً در یک طرف یک خط مستقیم قرار داشته باشد و از یک نقطه روی آن عبور کند ، اما هنوز این خط مستقیم یک خط مماس نیست. به عنوان مثال ، برای خطی كه از راس مثلث عبور كرده و در غیر این صورت تقاطع نداشته باشد - در صورتی كه خط مماس به دلایلی كه در بالا توضیح داده شد وجود ندارد. در هندسه محدب ، چنین خطوطی خطوط حمایت کننده خوانده می شوند .

در هر نقطه ، خط متحرک همیشه مطابق با منحنی است . شیب آن مشتق است . سبز مشتق مثبت ، علائم قرمز مشتق منفی و سیاه مشتق صفر را نشان می دهد. نقطه (x، y) = (0،1) که در آن مماس از منحنی عبور می کند ، حداکثر یا دقیقه نیست ، بلکه نقطه عطف است .

رویکرد تحلیلی [ ویرایش ]

ایده هندسی خط مماس به عنوان حد خطوط جداکننده به عنوان انگیزه ای برای روش های تحلیلی است که برای پیدا کردن صریح خطوط مماس استفاده می شود. سوال یافتن خط مماس به یک نمودار یا مشکل خط مماسیکی از سؤالات محوری بود که منجر به توسعه حساب در قرن 17 شد. در کتاب دوم هندسه خود ، رنه دکارت [8] درباره مشکل ساخت مماس به یک منحنی گفت: "و به جرات می گویم که این تنها مفیدترین و عمومی ترین مشکل در هندسه نیست که من می دانم ، بلکه حتی که من همیشه آرزو کرده ام بدانم ". [9]

توصیف بصری [ ویرایش ]

فرض کنید که یک منحنی به عنوان نمودار یک تابع ، y = f ( x ) داده شده است. برای یافتن خط مماس در نقطه p = ( a ، f ( a )) ، نقطه مجاور دیگری را در نزدیکی q = ( a + h ، f ( a + h )) در نظر بگیرید. شیب از خط قاطع عبور از ص و س به برابر استخارج قسمت تفاوت

با نزدیک شدن نقطه q به p ، که مربوط به کوچکتر و کوچکتر شدن h است ، مقدار اختلاف تفاوت باید به یک مقدار محدودکننده خاص k ، یعنی شیب خط مماس در نقطه p نزدیک شود . اگر k شناخته شده باشد ، معادله خط مماس را می توان در فرم شیب نقطه یافت:

توضیحات دقیق تر [ ویرایش ]

برای استدلال قبلی سختگیرانه ، باید توضیح داد که منظور از تفاوت سهم نزدیک به یک مقدار محدود کننده خاص k است . فرمول دقیق ریاضی توسط کوشی در قرن نوزدهم ارائه شده است و مبتنی بر مفهوم حد است . فرض کنید که نمودار یک استراحت و یا یک لبه تیز در ندارد ص و آن را نه بطور عمودی و نه خیلی نزدیک است نمودار ص . سپس مقدار منحصر به فردی از k به وجود می آید که با نزدیک شدن به h 0 ، اختلاف اختلاف به k نزدیک تر می شود و فاصله بین آنها در مقایسه با اندازه h ناچیز می شود ، در صورت hبه اندازه کافی کوچک است این منجر به تعریف شیب خط مماس به نمودار به عنوان حد اختلاف مقدار برای تابع f می شود . این حد مشتق تابع f در x = a است ، با علامت f  ′ ( a ). با استفاده از مشتقات می توان معادله خط مماس را به شرح زیر بیان کرد:

حساب محاسبه قوانینی را برای محاسبه مشتقات توابع که توسط فرمول ها ارائه می شود ، مانند عملکرد قدرت ، توابع مثلثاتی ، عملکرد نمایی ، لگاریتم و ترکیبات مختلف آنها فراهم می کند. بنابراین ، معادلات مماسها به نمودارهای همه این توابع ، و همچنین بسیاری دیگر ، با روشهای حساب می توان یافت.