تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع به کمک سری‌های نامتناهی

۱۳۹۹/۱۰/۰۸ - - علی رضا نقش نیلچی -

مانند تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع را نیز می‌توان به کمک سری‌های نامتناهی محاسبه کرد:

${\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{{n=0}}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{{2n+1}}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{{n=0}}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{{2n+1}}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{{2n+1}}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname{arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{{2n+1}}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname{arcsec} z&{}=\arccos {(1/z)}\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{{-1}}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{{-3}}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{{-5}}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{{-7}}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{{n=0}}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{{-(2n+1)}}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname{arccsc} z&{}=\arcsin {(1/z)}\\&{}=z^{{-1}}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{{-3}}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{{-5}}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{{-7}}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{{n=0}}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{{-(2n+1)}}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}$

همچنین لئونارد اویلر برای وارون تانژانت، سری کارآمدتری را پیدا کرد، که عبارت است از:

$\arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\prod _{{k=1}}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$

هشدار: به ازای n= ۰ عبارت به یک ضرب تهی تبدیل می‌شود که خود برابر با ۱ است. همچنین در ادامه می‌توان نشان داد که:

$\arctan z=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {2^{{\,2n}}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {z^{{\,2n+1}}}{\left(1+z^{2}\right)^{{n+1}}}}$

دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن

تابع سینوس و کسینوس، وارون این توابع به کمک سری‌های نامتناهی

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین