ویژگی های تابع های برداری

۱۳۹۹/۱۰/۱۳ - - علی رضا نقش نیلچی -

یک تابع با ارزش بردار است ، ثابت کنید که در باز بودن فاصله قابل تغییر است اگر و فقط اگر برای تمام داشته های ما باشد

$\ [F '(t) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} (F (t + h) - F (t)). \]$

اثبات اول ، فرض در قابل تغییر است . سپس ، با تعریف تفاوت برای توابع ارزش بردار ما

$\ [F '(t) & = (f_1' (t) ، \ ldots ، f_n '(t)) \]$

و هر یک از آنها وجود دارد. بنابراین با تعریف معمول مشتق که داریم

$\ start {align *} F '(t) & = \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {f_1 (t + h) - f_1 (t)} {h}، \ ldots، \ lim_ {h \ به 0} \ frac {f_n (t + h) - f_n (t)} {h} \ راست) \\ [9pt] & = \ lim_ {h \ به 0} \ frac {1} {h} \ چپ ((f_1 (t + h) ، \ ldots ، f_n (t + h)) - (f_1 (t) ، \ ldots ، f_n (t)) \ راست) \\ [9pt] & = \ lim_ {h \ به 0} \ frac {1} {h} (F (t + h) - F (t)). \ end {align *}$

برعکس ، فرض کنید که

$\ [F '(t) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} (F (t + h) - F (t)). \]$

سپس ، حد

$\ [\ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} (f_i (t + h) - f_i (t)) \]$

برای هر یک وجود دارد $من = 1 ، \ ldots ، n$ . بنابراین ، برای هر یک وجود دارد . بنابراین ، وجود دارد $. \ qquad \ blacksquare$

ویژگی محدودیت توابع با ارزش بردار را ثابت کنید

ثابت کنیم که

$\ [\ lim_ {t \ to p} F (t) = A \ iff \ lim_ {t \ to p} \ lVert F (t) - A \ rVert = 0. \]$

اثبات اجازه دهید

$\ [F (t) = (f_1 (t) ، \ ldots ، f_n (t)) ، \ qquad \ text {و} \ qquad A = (a_1 ، \ ldots ، a_n). \]$

سپس،

$\ start {align *} \ lim_ {t \ to p} F (t) = A && \ iff && \ lim_ {t \ to p} (f_1 (t)، \ ldots، f_n (t)) & = (a_1 ، \ ldots ، a_n) \\ && \ iff && \ چپ (\ lim_ {t \ به p} f_1 (t) ، \ ldots ، \ lim_ {t \ به p} f_n (t) \ سمت راست) & = (a_1 ، \ ldots ، a_n). \ end {align *}$

این اگر و فقط در صورت وجود دارد

$\ [\ lim_ {t \ to p} f_i (t) = a_i \ qquad \ text {for} i = 1، \ ldots، n. \]$

از حد معمول این درست است و فقط اگر

$\ [\ lim_ {t \ to p} | f_i (t) - a_i | = 0 \ qquad \ text {for} i = 1، \ ldots، n. \]$

این در صورتی است که فقط اگر باشد

$\ start {align *} && \ left (\ lim_ {t \ to p} | f_1 (t) - a |، \ ldots، \ lim_ {t \ to p} | f_n (t) - a | \ right) & = (0 ، \ ldots ، 0) \\ \ iff && \ lim_ {t \ to p} | F (t) - A | = 0. \ qquad \ blacksquare \ end {align *}$

G ute را محاسبه کنید اگر G = FF ′ x F ′

بگذارید ضرب سه گانه اسکالر باشد . ثابت کنیم که .

اثبات ما محاسبه می کنیم ،

بدون نظر

***G ′* را محاسبه کنید اگر *G = F x F***

اجازه دهید $G = F \ دفعات F '$ . محاسبه از نظر و .

با استفاده از قانون ضرب برای ضرب متقابل ما محاسبه می کنیم ،

$\ start {align *} G = F \ times F '&& \ implies && G' & = (F \ times F ')' \\ && \ implies && G '& = F' \ times F '+ F \ times F '' \\ && \ دلالت بر && G '& = F \ بار F' '\ پایان {تراز *}$

از آنجا $F '\ بار F' = 0$ که یک بردار که با خودش تلاقی می کند 0 است.

**ثابت کنید که (F ′ ′ (t همان جهت( F (t معین را دارد**

اجازه بدهید می شود غیر صفر بردار و

$\ [F (t) = e ^ {2t} A + e ^ {- 2t} B. \]$

ثابت کنید که همان جهت را دارد .

اثبات نشان می دهد که و دارای جهت یکسان باید نشان دهیم که وجود دارد که ثابت وجود دارد به طوری که . بنابراین ، ما محاسبه می کنیم ،

**ثابت کنید که (F ”(t در شرایط معین نسبت به (F '(t متعامد است**

بگذارید یک بردار غیر صفر باشد و یک تابع با بردار با ارزش $F (t) \ cdot B = t$ برای همه داشته باشد ، به گونه ای که زاویه بین و ثابت باشد. ثابت کنید و متعامد هستند.

اثبات از آنجا که $F (t) \ cdot B = t$ ما $F '(t) \ cdot B = c$ برای برخی از ثابت است . از آنجا که زاویه بین و ثابت است ، داریم

$\ [\ frac {F '(t) \ cdot B} {\ lVert F' (t) \ rVert \ lVert B \ rVert} = d \]$

برای برخی ثابت است . بنابراین ، $\ lVert F '(t) \ rVert$ ثابت است. از این رو ، $\ lVert F '(t) \ rVert ^ 2$ ثابت است ، می گویند . بنابراین ، ما داریم

2 نظر

ضرب نقطه ای یک بردار و یک انتگرال با ارزش را محاسبه کنید

بگذار $A = 2 \ mathbf {i} - 4 \ mathbf {j} + \ mathbf {k}$ و بگذار

$\ [B = \ int_0 ^ 1 (te ^ {2t} \ mathbf {i} + t \ cosh (2t) \ mathbf {j} + 2te ^ {2t} \ mathbf {k}) \، dt. \]$

ضرب نقطه را محاسبه کنید $A \ cdot B$ .

ابتدا ، انتگرال را با ارزش ارزیابی می کنیم ،

$\ start {align *} B & = \ int_0 ^ 1 (te ^ {2t} \ mathbf {i} + t \ cosh (2t) \ mathbf {j} + 2te ^ {2t} \ mathbf {k}) \، dt \\ [9pt] & = \ left (\ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} e ^ 2، \ frac {1} {4} + \ frac {1} {2} \ sinh 2 - \ frac {1} {4} \ cosh 2، \ frac {1} {2} - \ frac {3} {2} e ^ {- 2} \ right). \ end {align *}$

بنابراین ، ضرب نقطه است

$\ start {align *} A \ cdot B & = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} e ^ 2 - 1 - 2 \ sinh 2 + \ cosh 2 + \ frac {1} { 2} - \ frac {3} {2} e ^ {- 2} \\ [9pt] & = \ frac {1} {2} e ^ 2 - e ^ 2 + e ^ {- 2} + \ frac { 1} {2} e ^ 2 + \ frac {1} {2} e ^ {- 2} - \ frac {3} {2} e ^ {- 2} \\ [9pt] & = 0. \ end { تراز کردن *}$

محاسبه یک انتگرال با ارزش بردار

محاسبه بردار با ارزش انتگرال

$\ [\ int_0 ^ 1 (te ^ t \ mathbf {i} + t ^ 2 e ^ t \ mathbf {j} + te ^ {- t} \ mathbf {k}) \، dt. \]$

ما محاسبه می کنیم

$\ start {align *} \ int_0 ^ 1 (te ^ t \ mathbf {i} + t ^ 2 e ^ t \ mathbf {j} + te ^ {- t} \ mathbf {k}) \، dt & = \ سمت چپ (\ int_0 ^ 1 te ^ t \، dt ، \ int_0 ^ 1 t ^ 2 e ^ t \، dt، \ int_0 ^ 1 te ^ {- t} \، dt \ right) \\ [9pt] & = \ چپ (1 ، e-2 ، 1 - \ frac {2} {e} \ راست). \ end {align *}$

دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن

ویژگی های تابع های برداری

ویژگی محدودیت توابع با ارزش بردار را ثابت کنید

G ute را محاسبه کنید اگر G = FF ′ x F ′

***G ′* را محاسبه کنید اگر *G = F x F***

**ثابت کنید که (F ′ ′ (t همان جهت( F (t معین را دارد**

**ثابت کنید که (F ”(t در شرایط معین نسبت به (F '(t متعامد است**

ضرب نقطه ای یک بردار و یک انتگرال با ارزش را محاسبه کنید

محاسبه یک انتگرال با ارزش بردار

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین