دل نوشته ها ی نقش و آموزش ریاضی

معادلات دیفرانسیل یک معادله ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل می‌باشد. فرض کنید f تابعی معین از x, y و مشتقات y باشد. در این صورت معادله‌ای به فرم زیر:

$F\left(x,y,y',\cdots y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبهٔ n نامیده می‌شود. در حالت کلی تر فرم ضمنی معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به صورت زیر می‌باشد:

$F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0$

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی قابل حل می‌باشد.

قاعدهٔ لایبنیتس

قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع $f\!$ و $g\!$ روی بازهٔ $(a,b)\!$ دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ $n \!$ باشند، آنگاه حاصل‌ضرب $f.g\!$ نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ $n \!$ است و داریم:

$h(x)=f(x)g(x)\;\Rightarrow \;h^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

مشتق مراتب بالاتر

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

مشتق مراتب بالاتر

اگر تابع $f\!$ روی بازهٔ $I\!$ مشتق‌پذیر باشد تابع $f'\!$ خود ممکن است در نقطه‌ای مثل $a\!$ مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر $f''(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(a+h)-f'(a)}{h}}$ موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع $f\!$ در $a\!$ موجود است و آن را با $f''(a)\!$ نمایش می‌دهیم.

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. به‌طوری‌که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

$f^{(n)}(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f^{(n-1)}(a+h)-f^{(n-1)}(a)}{h}}$

مشتق کل

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

مشتق کل

هرگاه $f\!$ تابعی از $R^{n}\!$ به $R^{m}\!$ باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار $f\!$ در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی $f\!$ در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه $n>1\!$ باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.

برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع $f(t,x,y)\!$ نسبت به متغیر $t\!$ ، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به $t\!$ بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}$

مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت $x\!$ به صورت زیر محاسبه می‌کند:

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\partial }{\partial x}}+\sum _{j=1}^{k}{\frac {\operatorname {d} y_{j}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}$

مشتق جهت‌دار

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

مشتق جهت‌دار

مشتق جزئی تابع $f(x,y,z)\!$ میزان تغییرات $f\!$ را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد در حالیکه مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات $f\!$ را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر $f\!$ در همسایگی نقطهٔ $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})\!$ تعریف شده باشد و ${\vec {l}}\!$ برداری شامل نقطهٔ $P_{0}\!$ باشد، مشتق جهت‌دار $f\!$ در $P_{0}\!$ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\dfrac {\partial f(P_{0})}{\partial l}}={\dfrac {\partial f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial l}}=\lim _{P\to P_{0}}{\dfrac {f(P)-f(P_{0})}{|P_{0}P|_{s}}}\!$

که در آن نقطهٔ $P\!$ باید متعلق به ${\vec {l}}\!$ باشد و $|P_{0}P|_{s}\!$ فاصلهٔ علامت‌دار $P_{0}\!$ تا $P\!$ است یعنی اگر ${\vec {P_{0}P}}\!$ و ${\vec {l}}\!$ هم‌جهت باشند $|P_{0}P|\!$ و در غیر این صورت $-|P_{0}P|\!$ در نظر گرفته می‌شود.

مشتق ضمنی

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

مشتق ضمنی

در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی $y=f(x)\!$ ، رابطهٔ ضمنی آن به صورت $f(x,y)=0\!$ قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:

استفاده از قاعدهٔ زنجیری: در این روش، از طرفین رابطه نسبت به $x\!$ مشتق می‌گیریم و با فاکتورگیری، $y'\!$ را بدست می‌آوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به $x\!$ حساب کنیم آنگاه $x'_{x}=1\!$ و $y'_{x}=y'\!$ خواهد بود)
استفاده از مشتق جزئی: در این روش از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:

$f(x,y)=0\;\Rightarrow \;y'_{x}=-{\cfrac {\dfrac {\partial f}{\partial x}}{\dfrac {\partial f}{\partial y}}}=-{\dfrac {\partial _{x}f(x,y)}{\partial _{y}f(x,y)}}\!$

مشتق جزئی

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

مشتق جزئی

نوشتار اصلی: مشتق جزئی

مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ { $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\!$ نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق جزئی را به جای $\operatorname {d} \!$ با $\partial \!$ نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» یا «پارشال» خوانده می‌شود. برای مثال، مشتق جزئی تابع $f(x,y)\!$ نسبت به $x\!$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$z=f(x,y)\;\Rightarrow \;{\dfrac {\partial z}{\partial x}}={\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\!$

به‌طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ $f\!$ نسبت به $x_{i}\!$ در $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\!$ است:

${\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\lim _{h\to 0}{\dfrac {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+h,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}{h}}$

مشتق تابع

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

مشتق تابع

میزان تغییرات تابع

خط قاطع نمودار تابع $f\!$ که شیب آن برابر مقدار خارج قسمت تفاضلی $f\!$ در $x\!$ است.

با میل کردن $h\!$ به سمت صفر، شیب خط قاطع به مقدار شیب خط مماس در نقطهٔ $x\!$ میل می‌کند.

خط مماس نمودار تابع $f\!$ در $x\!$ که شیب آن برابر مقدار مشتق تابع در $x\!$ است.

اگر $(x,f(x))\!$ نقطه‌ای از نمودار تابع $y=f(x)\!$ و $(x+h,f(x+h))\!$ نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه $\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)\!$ و شیب خط قاطع عبارت است از:

$m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\!$

کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی $f\!$ در $x\!$ نامیده می‌شود. اگر $x\!$ ثابت نگه داشته شود و $h\!$ به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی $f\!$ در $x\!$ اگر فقط به $x\!$ بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع $f\!$ در $x\!$ را بدست می‌دهد:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

تعریف مشتق تابع

برای تابع $f\!$ که در همسایگی نقطهٔ $a\!$ تعریف شده‌است، اگر $f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ وجود داشته باشد، $f\!$ در $a\!$ مشتق‌پذیر است. این حد (ریاضی) یکتا را با $f'(a)\!$ نمایش داده و آن را مشتق تابع $f\!$ در نقطهٔ $a\!$ می‌نامند.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.[۳]

با تبدیل $h\!$ به $x-a\!$ تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:

$f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

نمادهای مشتق

لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.

لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی $\Delta \!$ خارج قسمت تفاضلی ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ را به شکل ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ نوشت و برای مشتق تابع $f\!$ در $x\!$ نماد ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\!$ را معرفی کرد که به صورت ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}f(x)$ نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل ${\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}f(x)$ نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\!$ در می‌آید.

شیب خط مماس

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

در هر نقطه، مشتق شیب خط مماس است. در نقاطی که خط سبز است؛ مشتق مثبت، در نقاطی که خط سیاه است؛ مشتق صفر و در نقاطی که خط قرمز است؛ مشتق منفی است.

مشتق (به انگلیسی: Derivative) ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد.

تابع پیوسته

۱۳۹۹/۰۱/۳۱ - - علی رضا نقش نیلچی -

در ریاضیات، تابع پیوسته در نقطه $a$ تابعی است که در نقطه $a$ تعریف شده، و همچنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر $f(a)$ باشد. در تعریفی شهودی خواهیم داشت تابعی پیوسته‌است که هر تغییر کوچک در ورودی اش، تغییری کوچک در خروجی اش ایجاد کند، و بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.

هر تابع به سه دلیل ممکن است پیوسته نباشد:

حد تابع در آن نقطه موجود نباشد.
تابع در آن نقطه موجود نباشد.
حد موجود با مقدار تابع موجود، برابر نباشد.

تعریف هاینه[ویرایش]

تابع حقیقی $f$ پیوسته است، اگر به ازای هر دنباله $x_{n}$ که $\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n}=L$ ، نتیجه بگیریم $\lim \limits _{{n\to \infty }}f(x_{n})=f(L)$ . ادوارد هاینه ریاضی‌دان آلمانی این تعریف را ارائه داده‌است.

نوشته هائی در باره بازگشت به خود و مسائل ریاضی و آموزش آن

حد به روش بسط تیلور

معادلات دیفرانسیل

قاعدهٔ لایبنیتس

قاعدهٔ لایبنیتس

مشتق مراتب بالاتر

مشتق مراتب بالاتر

مشتق کل

مشتق کل

مشتق جهت‌دار

مشتق جهت‌دار

مشتق ضمنی

مشتق ضمنی

مشتق جزئی

مشتق جزئی

مشتق تابع

مشتق تابع

تعریف مشتق تابع

نمادهای مشتق

شیب خط مماس

تابع پیوسته

تعریف هاینه[ویرایش]

امتحان

عددپی چیست؟چگونه می توان آن را بدست آورد؟

درستی تساویها را تحقیق کنید

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین